2022届上海市第六十中学高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022届上海市第六十中学高三上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届上海市第六十中学高三上学期期中数学试题 一、填空题1．函数的定义域为_______．【答案】【详解】试题分析：【解析】函数的定义域的求法.2．若，则_______【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系式化弦为切,然后解关于的方程即可.【详解】解:因为,所以,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系,属基础题.3．设常数，函数．若的反函数的图象经过点，则___．【答案】7【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【详解】∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为7．【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．等差数列中，，，那么_________【答案】【分析】直接求出等差数列的前项和,然后求出即可.【详解】解:因为在等差数列中,,,所以的前n项和,所以.故答案为:-10.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式,属基础题.5．设定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是______.【答案】【分析】先由解析式求出在时的解集，再由奇函数的定义得，以及时的不等式的解集．综合后可得所求解集．【详解】当时，因为，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，在上单调递增，并且，所以，综上，不等式的解集为，故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式．属于中档题．6．幂函数是偶函数，则________【答案】【分析】根据幂函数的定义建立关于的方程,解出方程,再由是偶函数确定值.【详解】解:因为是幂函数,所以,所以或,当时,为奇函数,不满足条件;当时,为偶函数,满足条件;当时,为偶函数,满足条件;因为是偶函数,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了幂函数的定义和函数的奇偶性,考查了方程思想,属基础题.7．把函数的图像向右平移（）个单位，使得点成为图像的一个对称中心，则的最小值是________【答案】【分析】根据平移变换可得平移后的解析式为，将点的坐标代入该解析式可得，，从而可得的最小值为.【详解】把函数的图像向右平移（）个单位，可得，依题意可得点在函数的图象上，所以，即，所以，，即，，因为，所以时，取得最小值.故答案为：【点睛】本题考查了函数图象的平移变换，考查了函图象数的对称中心，属于基础题.8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_________.【答案】(0,1)【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围．【详解】令g（x）＝f（x）﹣m＝0，得m＝f（x）作出y＝f（x）与y＝m的图象，要使函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，则y＝f（x）与y＝m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为（0，1）．【点睛】本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点，要重视．9．已知是定义在R上不恒为零的函数，且对任意都满足，若，则的值为________【答案】【分析】令,求出的值,再由,结合,求出的值.【详解】解:由对任意的都满足,令,则,所以,所以.因为,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了抽象函数求值问题,关键是合理选择满足条件的值代入等式,属中档题.10．已知（其中且）在区间上是减函数，则实数的取值范围________【答案】【解析】由对数的底数大于0，可得内层函数为增函数，结合复合函数的单调性可得，再由对于恒成立，可得的取值范围，再求交集即可.【详解】是由，复合而成，由题意知：，在区间上单调递增，若函数（其中且）在区间上是减函数，所以单调递减，可得：，所以在上恒成立，所以，解得：，综上：，故答案为：.【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调性，解题时要特别注意对数函数的定义域，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.11．如图，将正整数按下表规律排列，（）（表示第行第列的元素），若，则___【答案】420【分析】发现此数列的阅读规律为先求出的数，然后再求【详解】该数列的阅读规律如图所示，如图所示，把这条对角线的数列列出即可，，运用累加法累加得到：因此，n=1成立因此位于上面的数字递减，左边的数字单调递增，恰好位于的上面一位，因此故答案为： 12．已知，，直线与函数的图像从左至右相交于点，直线与函数的图像从左至右相交于点，记线段和在轴上的投影长度分别为，当变化时，的最小值是__________.【答案】64【分析】设A,B,C,D各点的横坐标分别为,可以得到，再表示，利用基本不等式可求得的最小值，从而可得的最小值.【详解】设A,B,C,D各点的横坐标分别为,则，，所以，因为，所以，又，当且仅当取等号，所以，故答案为64.【点睛】本题考查对数式和指数式的转化，以及基本不等式的运用，关键在于由对数函数的性质得出的表达式，再运用基本不等式求得最小值，属于中档题. 二、单选题13．下列命题中正确的是（    ）A．函数与互为反函数B．函数与都是增函数C．函数与都是奇函数D．函数与都是周期函数【答案】C【分析】根据正弦函数与反正弦函数性质直接可作出判断.【详解】因为函数与互为反函数,所以A错；因为函数有增区间与减区间，所以B错；因为函数与都是奇函数，所以C对；因为不是周期函数，所以D错；故选C【点睛】本题考查正弦函数与反正弦函数性质，考查基本分析判断能力，属基础题.14．已知，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据基本不等式及充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：，，则；当时，．故成立；反之不成立，例如取，，则，但．故当，时，，推不出；因此，，则“”是“”的的充分不必要条件．故选：．15．函数的图像可看成将函数的图像A．向左平移个单位得到 B．各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到C．向右平移个单位得到 D．各点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得到【答案】A【分析】根据指数、对数运算得到，将化成，再根据图像的平移法可得选项.【详解】根据指数、对数运算得，所以，再根据图像的平移法则得将函数的图像向左平移个单位得到的图像，故选A.【点睛】本题考查指数、对数运算法则以及指数对数相互之间的转化关系，和图像的平移法则，属于基础题.16．已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件得到有两个不等的实根，得出的取值范围，再根据的范围得出，所以要满足题意，则有，解之可得实数的取值范围.【详解】函数，集合，中为整数的解有且仅有一个，所以方程有两个实根，即，解得或（舍去），当时，又，，所以要使集合有且只有一个元素，则有，解得，故．故选：． 三、解答题17．若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为.（1）求和的值；（2）已知是的一个内角，若点是函数图像的一个对称中心，求函数，的值域.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式,，通过求出函数的周期求值;（2）由已知条件求得角，再由的范围得出的范围，从而得出的值域.【详解】（1）由已知得，，又当时，得最大值2，所以，故；（2）由（1）得，因为是的一个内角，若点是函数图像的一个对称中心，所以，即，因为 ，所以 ，所以，所以，所以，所以，所以，的值域为.【点睛】本题考查三角函数的公式的应用，三角函数的周期性、值域等性质的灵活运应，考查计算能力,转化思想的应用. 属于基础题.18．已知二次函数，若不等式的解集为（1）解关于的不等式，（2）已知实数，且关于的函数的最小值为，求的值．【答案】（1）（-∞，1）∪（2，+∞）；（2）【分析】(1)根据一元二次不等式与二次方程之间的关系,结合根与系数的关系,求出与的值,再求出不等式的解集;(2)用换元法,得到函数,再求出最小值与已知最小值相等即可解得.【详解】(1)因为二次函数，且不等式的解集为,所以且和是一元二次方程的两根,所以且,且,所以,,所以可化为,所以,所以或,故的解集为:.(2)由(1)知,所以,设,因为,,所以,因为的对称轴,所以函数在上递减,所以,即时,取得最小值,即,解得或(舍去)【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,换元法.一元二次函数的最小值的求法,属于中档题.19．根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析.【详解】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析：（1）（2），即第42个月底，保有量达到最大 ，∴此时保有量超过了容纳量. 20．设为奇函数，为常数.（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）增函数，见解析；（3）.【分析】（1）由奇函数的定义求得a值，（2）根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断f（x）的单调性；（3）不等式f（x）恒成立，等价于f（x）m恒成立，构造函数g（x）＝f（x），x∈，转化为求函数g（x）在上的最值问题即可解决．【详解】（1）∵为奇函数，∴对定义域内的任意都成立，∴，∴，解得或（舍去）．（2）函数在上单调递增，理由如下由（1）知，∵中，的内函数在上为减函数，外函数为减函数，故在上为增函数而在上为增函数，∴在上为增函数，（3）令，，∵在上是减函数，∴由（2）知，，是增函数，∴，∵对于区间上的每一个值，不等式恒成立，即恒成立，∴.【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性及函数恒成立问题，奇偶性、单调性问题常用定义解决，而函数恒成立问题则常转化为最值问题处理．21．设函数．(1)求的值和的解析式；(2)是否存在非负实数，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；(3)定义，且（），①当时，求的解析式；②已知下列正确的命题：当（，）时，都有恒成立；对于给定的正整数，若方程恰有个不同的实数根，确定的取值范围，若将这些根从小到大排列组成数列（），求数列所有项的和．【答案】(1)；(2)存在；或(3)① ；②； 【分析】（1）代入计算得到，从而得到，分两种情况，求出；（2）写出与的解析式，对照系数后得到或；（3）①当时，都有，代入求出；②结合①得到当时，．由解方程，求出时，，从而数列的所有项的和利用分组求和进行求解.【详解】（1）因为，所以；函数，所以．（2），，当时，则有恒成立．当时，当且仅当时有恒成立．综上，当或时，恒成立；（3）①当时，对于任意的正整数，，都有，故有．②由①得当时，有，根据命题的结论可得，当时，有，故有．因此同理归纳得到，当时，．对于给定的正整数，当时，解方程得，，要使方程在上恰有个不同的实数根，对于任意，，必须恒成立，解得：，若将这些根从小到大排列组成数列，由此可得，．故数列所有项的和为．【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.