2022-2023学年四川绵阳市高三上学期12月二诊模拟考试（3）理科数学试题（word版）

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2020级绵阳二诊理科数学模拟试题（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（ ）A． B． C． D．2．“直线与直线相互垂直”是“”的（ ）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知正数x，y满足：，则下列关系式恒成立的是（ ）A． B． C． D．4．已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．5．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：与声音强度单位：满足．一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍6．的展开式中含项的系数为（ ）A．10 B．12 C．4 D．57．下列说法中，正确的命题的是（ ）A．一台晩会有6个节目，其中有2个小品，如果2个小品不连续演出，共有不同的演出顺序240种B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3C．若事件与事件互斥，则事件与事件独立D．若样本数据，，…的方差为2，则数据，，…，的方差为168．若离散型随机变量的分布列如下，若，，则（ ）A． B． C． D．9．若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．10．蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法．某同学根据蒙特·卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率的值，每次用计算机随机在区间内取两个数，共进行了2000次实验，统计发现这两个数与3能构成以3为最长边的钝角三角形的情况有565种，则由此估计的近似值为（ ）A．3.15 B．3.14 C．3.13 D．3.1211．已知点在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A． B． C． D．12．对于函数，给出下列四个命题：①该函数的值域是； ②当且仅当时，该函数取最大值1；③该函数的最小正周期为； ④当且仅当时，；其中所有正确命题个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．是虚数单位，复数的虚部是______．14．已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影为______．15．已知数列的各项互异，且，，则______．16．已知曲线，拋物线，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有______．①直线是曲线和的公切线②曲线和的公切线有且仅有一条；③最小值为；④当轴时，最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列的首项，且．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求使不等式成立的最小正整数．18．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻．为进一步增强学生的防控意识，让全体学生充分了解新冠肺炎疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，某中学组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）；（3）用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．（1）求角的大小；（2）若角的内角平分线交于，且，求的最小值．20．已知函数．（1）讨论函数的极值点的个数；（2）若函数有两个极值点，，证明：．21．在中，已知点，，边上的中线长与边上的中线长之和为6．记的重心的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）如图，若圆，，过坐标原点且与轴不重合的任意直线与圆相交于点A，B，直线，与曲线的另一个交点分别是点P，M，求面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．已知的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，（1）求的直角坐标方程，（2）过作直线交圆于P，Q两点，且，求直线的斜率．23．已知．（1）解不等式．（2）记的最小值为，若，求的最小值．2020级绵阳二诊理科数学模拟试题（三）答案8．【详解】由题意知，①；由，即，得②；由，即整理得③联立①②③解得，，；又因为所以．故选：D．9．【详解】因为有最小值，当时，，显然在上单调递增，且，即在上没有最小值；当时，，易知在上必有最小值，因为开口向上，对称轴为，当时，，易知，故不是在上的最小值，则在上没有最小值，不满是题意；当时，，要使得是在上的最小值，则，即，解得或，所以；综上：，即．故选：B．11．【详解】解：因为，，不妨设，，，由椭圆定义可知：，，由勾股定理可知：，即，化简可得：，点在延长线上，且在椭圆内部，所以，，解得：．令在上单调递增，所以，解得：，∴．又，且在椭圆内部，所以，则，∴．作出函数f（x）的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项．12．【详解】因为，所以，，对于（3），，所以，函数为周期函数，作出函数的图象（图中实线）如下图所示：结合图形可知，函数的最小正周期为，（3）对；对于（1），由图可知，函数的值域为，（1）错；对于（2），由图可知，当且仅当或时，函数取得最大值1，（2）错；对于（4），由图可知，当且仅当时，，（4）对．故选：B．13． 14． 15．2 16．①③④．15．【详解】由题意，得，则，,即．所以．故答案为：216．选项①，对于曲线，，当时，，．故直线与曲线相切与点；联立，可得，故此时直线与切于点，故直线是曲线和的公切线，故①正确：对于②，设公切线分别与，切于点，，则曲线的切线为：，曲线的切线为，桹据与表示同一条直线，则有，解得，令，则有，可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，则有，，根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线故曲线和的公切线有且仅有2条，故②错误；对于③，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，故有：，，设点的坐标为，则有：，令，可得，再次求导可得：，故在上单调递增，又，可得：当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；故，则，故，故③正确；对于④，当轴时，设，则，则有：，记，则有，令，解得：，故当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增；故有，故，故选项④正确．故答案为：①③④．17．（1）由题意得：根据，得：，可知数列是以为首项，公比为的等比数列。∴．（2）∵ ∴∴．解得或，又 ∴使不等式成立的最小正整数为11．18．（1），解得．（2），故中位数为．平均数为．（3），，，内应各抽人数分别为：，，．19．（1）若选条件①，由正弦定理得：，∵，∴，∴，则，又，∴．若选条件②，由得：，∴，则，又，∴．若选条件③，由得：，∴，即，又，，∴．（2）∵，∴，即，∴，∴，∴（当且仅当，即时取等号），∴的最小值为9．20．（1）解∵函数，∴，，∵，∴当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴当时，有极小值；当时，，故，∴在上单调递减，故此时无极值；当时，，方程有两个不相等的实数根，．可得，，易知，则当及时，，单调递减；当时，，单调递增．∴在处有极小值，在处有极大值．综上所述：当时，有1个极值点；当时，没有极值点；当时，有2个极值点．（2）证明由（1）可知当时有极小值点和极大值点，且，是方程的两个正根，则，。∴，令，∴，，∴在上单调递减，故，∴．21．（1）解：根据三角形重心的性质及已知条件，得∵，∴曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆（不含轴上的两点）由，，得，∴C的方程为；（2）解：法一，因为，由题意知直线，的斜率存在且不为0，，不妨设直线的斜率为，则．由，解得或，∴∴，用代替，可得，∴，设，由，可得匙，当且仅当，即时，取等号，∴，∴，令，函数在上递增，∴，∴，当时，取等号，∴面积的最大值为．法二、设，，易知斜率存在，设直线为由得，∴，∵，．∴，得，即整理得：，∴舍去，∴与轴交于∴设，∴在时单调递减，∴当，即时，22．（1）的极坐标方程为：，则，所以所以的直角坐标方程为（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为：（为参数），与联立，得，化简得，，点对应的参数为，点对应的参数为，则，因为，所以，联立可得，所以，解得，所以直线的斜率为或23．（1）①当时，原不等式化为，即，解得；②当时，原不等式化为，即，无解；③当时，原不等式化为，即，解得；综上，不等式的解集为（2）（当且仅当时“=”成立）∴即，由均值不等式可得：，当且仅当，即，时“=”成立，因此，即的最小值是．012题号123456789101112答案AADCBABDBCDB