2023届广东省汕头市高三上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2023届广东省汕头市高三上学期期末数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广东省汕头市高三上学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则以下命题为真命题的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】利用集合的关系分析即可.【详解】由题知，集合，集合，所以是的真子集，所以，或，或，，只有A选项符合要求，故选：A.2．已知复数z满足，则（    ）A． B．1 C． D．5【答案】B【分析】根据复数的除法及模长公式运算求解．【详解】由题意，所以，故选：B.3．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（    ）A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差【答案】B【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确.故选：B4．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（    ）A．24 B．39 C．104 D．52【答案】D【分析】根据等差数列的性质化简已知条件可得的值，再由等差数列前项和等差数列的性质即可求解.【详解】由等差数列的性质可得：，，所以由可得：，解得：，所以数列的前13项之和为，故选：D.5．已知某运动员每次射击击中目标的概率是，假设每次射击击中目标与否互不影响，设为该运动员次射击练习中击中目标的次数，且，，则值为（    ）A．0.6 B．0.8C．0.9 D．0.92【答案】B【分析】由服从，根据二项分布的均值和方差公式列式求解．【详解】由题意，所以，解得．故选：B．6．如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（    ）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【分析】利用两个图形装水的体积相等即可求解.【详解】在图1中，在图2中，，.故选：A.7．的展开式中的系数为（    ）A．60 B．24 C． D．【答案】B【分析】首先写出展开式通项，再考虑通项与相乘得到含的项，即可得系数.【详解】由的展开式通项为，所以的展开式项为，故系数为.故选：B8．如图为函数的部分图象，则（    ）A．函数的周期为B．对任意的，都有C．函数在区间上恰好有三个零点D．函数是偶函数【答案】C【分析】A选项，利用函数图象求出函数解析式，利用正弦函数的周期性得到A错误；B选项，计算，B错误；C选项，整体法得到，计算出，C正确；D选项，计算出为奇函数，D错误.【详解】从图象可看出的最小正周期为，因为，所以，解得：，故A错误；，代入，，因为，所以，故，，故不满足对任意的，都有，B错误；，则，由可得：，可得：，故函数在区间上恰好有三个零点，C正确；，为奇函数，D错误.故选：C 二、多选题9．已知同一平面内的两个向量，，则（    ）A．与同向的单位向量是 B．不能作为该平面的基底C．和的夹角是 D．在上的投影向量等于【答案】ACD【分析】A选项，利用进行求解；B选项，求出与不平行，从而B错误；C选项，利用向量余弦夹角公式进行求解；D选项，利用求解.【详解】，，则与同向的单位向量是，A正确；，故与不平行，且为非零向量，故可以作出该平面的基底，B错误；，因为，所以，故和的夹角是，C正确；在上的投影向量等于，D正确.故选：ACD10．为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查，得到下表：体育性别合计男性女性喜欢280p280＋p不喜欢q120120＋q合计280＋q120＋p400＋p＋q 附：，．0.050.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828 已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的，则下列说法正确的是（    ）A．列联表中q的值为120，p的值为180B．随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能性喜欢体育锻炼C．根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异D．根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异【答案】ACD【分析】根据题意求出q、p，补全列联表，分析数据，利用卡方计算公式求出，结合独立性检验的思想依次判断选项即可.【详解】A：由题意知，男生喜欢该项运动的人数占男生人数的，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的，则，，解得，故A正确；B：补全列联表如下： 男性女性合计喜欢280180460不喜欢120120240合计400300700 所以随机抽一名学生进行调查，喜欢该项运动的概率约为，故B错误；C：，而，所以根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异D：由选项C知，根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异.故选：ACD11．在直四棱柱中，，，.（    ）A．在棱AB上存在点P，使得平面B．在棱BC上存在点P，使得平面C．若P在棱AB上移动，则D．在棱上存在点P，使得平面【答案】ABC【分析】通过线面平行的判定定理来判断AB选项的正确性，根据线线垂直、线面垂直的知识来判断C选项的正确性，利用向量法判断D选项的正确性.【详解】A选项，当是的中点时，依题意可知，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面,平面,所以平面,A选项正确.B选项，设是的中点，是的中点，由上述分析可知平面.由于，平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.B选项正确.C选项，根据已知条件可知四边形是正方形，所以，由于,，，所以平面，所以.由于，所以平面，所以.C选项正确.D选项，建立如图所示空间直角坐标系，，.设.，此方程组无解，所以在棱上不存在点P，使得平面.D错误.故选：ABC12．已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（    ）A．函数的单调减区间为B．函数的极小值是C．当时，对于任意的，都有D．函数的图像有条切线方程为【答案】AB【分析】对函数进行求导，对A令即可解决问题；B选项把增减区间求出来后即可得极值；C选项做差法证明即可；D由切线斜率为3出发反向分析即可得答案.【详解】因为所以，，所以的单调减区间为，故A正确．令，则或 所以在，单调递增在单调递减所以函数的极小值为，故选项B正确；由，若即 矛盾，故选项C错误．，解的或，当时切点不在上当时切点不在上，故选项D错误，故选：AB． 三、填空题13．若等比数列的前项和为，且，，则_____．【答案】511【分析】利用等比数列的性质可得成等比数列，代入数据即可求解.【详解】因为等比数列中成等比数列，所以成等比数列，所以，即，解得：.故答案为：511【点睛】本题考查等比数列性质的应用，熟练掌握各个性质，可大大简化计算步骤，节约时间，提高正确率.考查计算化简的能力，属基础题.14．已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为______．【答案】##【分析】利用椭圆定义及简单几何性质，明确a与c，即可得到椭圆的离心率.【详解】由题知，，解得，，由椭圆的定义知：，解得，所以椭圆的离心率．故答案为：．15．写出符合如下两个条件的一个函数______．①，②在内单调递增．【答案】（答案不唯一）【分析】先求出对称轴，再结合单调性即可．【详解】函数的图象关于对称，又函数在内单调递增，符合条件的一个函数解析式可以是：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．16．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径，需要剪去四边形，可以经过对折，沿裁剪，展开就可以得到．已知点在圆上且，．则镂空四边形的面积的最小值为______．【答案】【分析】由对称性可得，所以求面积的最小值即可，设，根据可得，根据的面积公式可得的关系，再根据基本不等式即可求面积的最小值.【详解】由对称性可得，所以求面积的最小值即可，如图所示，设为圆心，连接，作于，由题意，所以，所以，设，由面积公式得 ，由余弦定理可得，又根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号，所以，所以四边形的面积的最小值为，故答案为： 四、解答题17．已知数列的前n项积为，且，．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解；（2）利用裂项相消法即可求解．【详解】（1）数列的前n项积为，，，时，，即，解得，即，故数列是以为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知，所以，所以，因此，，所以，即化简得：．18．设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．(1)求证：B＝2A；(2)求的取值范围．【答案】(1)证明过程见解析.(2) 【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到，结合角的范围，得到；（2）利用正弦定理得到，根据三角形为锐角三角形，得到，，从而求出取值范围.【详解】（1），由正弦定理得：，由积化和差公式可得：，因为，所以，因为三角形ABC为锐角三角形，故，所以，故，即；（2）由（1）知：，由正弦定理得：，其中，因为，所以，由得：，由，解得：，结合可得：，，故在上单调递增，所以，即.19．如图，在三棱柱中，平面平面，且，，．(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)求三棱柱的高h．【答案】(1)(2) 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，求出夹角的余弦值；（2）在第一问的基础上，利用点到平面的向量求距离公式进行求解.【详解】（1）取的中点，连接，在上取点E，使得，连接，因为，所以为等边三角形，故⊥，因为平面平面，交线为，平面，故⊥平面，因为，，，所以，则为等边三角形，，因为，所以，在中，由余弦定理得：，故，则，故，则，因为平面平面，交线为，平面，所以DE⊥平面，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，故，平面的法向量为，设平面与平面夹角为，则平面与平面夹角的余弦值；（2）点到平面的距离即为三棱柱的高h，由（1）知：平面的法向量为，，故.20．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．场上位置边锋前卫中场出场率0.50.30.2球队胜率0.60.80.7 (1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．【答案】(1)0.32(2)(3)边锋，理由见解析. 【分析】（1）根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球员参加比赛时，球队赢球的概率，再用1去减即可．（2）根据条件概率的计算公式即可求解，（3）由三个位置上的赢球几率，即可做出判断.【详解】（1）设表示“甲球员担当边锋”； 表示“甲球员担当前卫”； 表示“甲球员担当中场”； 表示“球队赢了某场比赛”，则，该球队某场比赛输球的概率为，（2）由（1）知： ,所以 ，所以球员甲担当前卫的概率为（3）同（2）由于，所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的几率.21．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)曲线上是否存在不同两点、，使得直线AB与曲线在点处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)答案见解析；(2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）求定义域，求导，分情况分类讨论，得到的单调性；（2）利用直线AB的斜率与曲线在点处的切线斜率相等，列出方程，化简整理得：，，再证明出，，恒成立，从而说明不存在这样的不同两点、.【详解】（1）定义域为，则，当，即时，，此时在上单调递增，当时，此时，令得：，令时，故在上单调递增，在上单调递减，当时，此时，令得：，令时，，故在上单调递增，在上单调递减，当时，，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，当时，，舍去，此时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增.（2），在点处的切线斜率为，因为、为函数曲线上的不同两点，故，直线AB的斜率为，令，整理得：，接下来证明，，恒成立，不妨设，变形为，即，令，则构造，，则恒成立，故在上单调递增，则，故，，恒成立，从而不存在不同两点、，使得直线AB与曲线在点处的切线平行.【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明.22．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，记四边形的内切圆为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P、Q．(1)试探究直线TP与TQ斜率之积是否为定值，并说明理由；(2)记点O为坐标原点，求证：P、O、Q三点共线．【答案】(1)直线TP与TQ斜率之积为定值，理由见解析(2)证明过程见解析 【分析】（1）先求出：，不妨取，则，利用点到直线距离等于半径，得到，得到，将代入可得直线TP与TQ斜率之积为；（2）设直线，得到，直线与椭圆联立，根据韦达定理得到，同理设出直线，联立后得到，从而，同理可得，证明出P、O、Q三点共线．【详解】（1）由题意得：，直线方程为，即，原点到直线的距离为，故内切圆的半径为，由对称性可知圆心为，所以：，不妨取，则，此时切线方程为，则，整理得：，设过点引圆的两条切线斜率分别为，则，由得：，将其代入上式中，，故直线TP与TQ斜率之积为；（2）设直线，则，解得：，与椭圆联立得：，设，则，将代入，可得：，设直线，则，整理得：，与椭圆联立得：，设，则，将代入可得：，显然，设直线，则，解得：，与椭圆联立得：，设，则，将代入得：，设直线，则，解得：，与椭圆联立得：，设，则，将代入得：，故，所以P、O、Q三点共线.【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.