2022-2023学年北京市延庆区高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市延庆区高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市延庆区高二（上）期末数学试卷题号一二三总分得分    一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，集合，则(    )A.  B.
C.  D. 2.  若复数满足，则的虚部为(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为(    )A.  B.
C.  D. 5.  与圆：和：都外切的圆的圆心在(    )A. 一个椭圆上 B. 一条双曲线上 C. 一条抛物线上 D. 双曲线的一支上6.  已知直线和双曲线，那么“与只有一个公共点”是“与相切”的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.  若双曲线的方程为，则它的离心率与渐近线方程分别为(    )A. ， B. ， C. ， D. ，8.  已知抛物线和点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 9.  过抛物线的焦点的一条直线与此抛物线相交于，两点，已知，则线段的中点到抛物线准线的距离是(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知点在抛物线上，且，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.  函数的定义域为______．12.  双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为______，标准方程为______．13.  函数的值域为______．14.  已知中，，，，则______，______．15.  已知双曲线的左右焦点分别为，，是双曲线上的一点．给出下列四个结论：
的最小值为；
若直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，则直线与双曲线只有一个公共点；
点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为；
若过的直线与双曲线的左支相交于，两点，如果，那么．
其中，所有正确结论的序号为______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
根据下列条件，求圆的标准方程：
Ⅰ圆心在点，且过点；
Ⅱ过点和点，半径为；
Ⅲ，，为直径的两个端点；
Ⅳ圆心在直线：上，且过点和点．17.  本小题分
如图，已知点，，圆：．
Ⅰ求过点的圆的切线方程；
Ⅱ设过点，的直线交圆于，两点，求线段的长；
Ⅲ求经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程．
18.  本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：；
Ⅲ求二面角的大小．
19.  本小题分
已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于，为坐标原点，直线：与椭圆相交于，不重合两点．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ求的取值范围；
Ⅲ求的最大值．20.  本小题分
已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，离心率为，过点的直线与椭圆交于，不重合两点，坐标原点为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ若线段的中点的横坐标为，求直线的方程；
Ⅲ若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程．21.  本小题分
对非空数集，，定义与的和集对任意有限集，记为集合中元素的个数．
Ⅰ若集合，，写出集合与；
Ⅱ若集合满足，且，求．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，集合或，
，或，，
故选：．
先求出集合，，再利用集合的基本运算求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
的虚部为，
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的概念得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：抛物线的焦点是，
，，
抛物线的标准方程是，
故选：．
先求出，再求出抛物线的标准方程即可．
本题考查抛物线标准方程的求法，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：，，动点满足，
动点的轨迹方程是双曲线的上支，
且，．
动点的轨迹方程为．
故选：．
由双曲线的定义得动点的轨迹方程是双曲线的上支，且，由此能求出动点的轨迹方程．
本题考查双曲线的定义及其方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 5.【答案】 【解析】解：设动圆的圆心为，半径为，
圆：的圆心为圆，半径为，
圆：的圆心为，半径为，
由题意可得，，，
则，
点的轨迹是双曲线的一支上．
故选：．
根据两圆的位置关系，以及双曲线的定义，即可求解．
本题主要考查两圆的位置关系，以及双曲线的定义，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：若直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行，
若直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，
所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件．
故选：．
由双曲线的性质可知，当直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了双曲线的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：双曲线的方程为，
，，，
它的离心率为，
渐近线方程为．
故选：．
利用双曲线的离心率、渐近线方程的定义直接求解．
本题考查双曲线的定义、离心率、渐近线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 8.【答案】 【解析】解：设点在准线上的射影为，

则根据抛物线的定义可知，
取得最小值，即求取得最小，
当，，三点共线时最小，
由点坐标为，抛物线的准线方程为，
此时．
即的最小值为．
故选：．
根据题意画出图象，根据抛物线的定义可知，，当，，三点共线时最小，即为的最小值．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：由题意得，焦点，
所在直线方程为，
直线与抛物线联立，
得，
由韦达定理得，中点横坐标为，
线段的中点到抛物线准线的距离是．
故选：．
求得所在直线方程，利用韦达定理求得中点坐标，即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：设点的坐标为，点在抛物线上，
，
，时取得最小值．
故选：．
根据两点间距离公式求得的函数，求函数的最小值即可．
本题考查抛物线的性质，是中档题．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意，函数，则，则或，
则函数的定义域为，
故答案为：
根据对数函数的定义可解．
本题考查对数函数的定义，属于基础题．
 12.【答案】  【解析】解：双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，
设双曲线的标准方程为，
且，，
双曲线的实轴长为，
，
双曲线的标准方程为．
故答案为：；．
设双曲线的标准方程为，则，，由此能求出双曲线的实轴长和双曲线的标准方程．
本题考查双曲线的定义、方程、实轴长、标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为函数函数
则当时，，则，
当时，，则，
则函数的值域为，
故答案为：．
根据幂函数和指数函数的性质，可解分段函数的值域．
本题考查幂函数和指数函数的性质，属于基础题．
 14.【答案】  【解析】解：中，，，，
由正弦定理，得，
由余弦定理，得，
，，
故答案为：；．
由正弦定理求出，再利用余弦定理求出．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：，是双曲线上的一点，的最小值为，正确，
，若直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，则直线与双曲线只有一个公共点或无公共点，错误，
，双曲线的渐近线方程为，即，设，
是双曲线上的一点，，，
则点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为，正确，
，若过的直线与双曲线的左支相交于，两点，则，
，错误，
故答案为：．
利用双曲线的性质判断，利用直线与双曲线的位置关系判断，利用双曲线的渐近线方程和点到线的距离公式判断，利用双曲线的定义判断．
本题考查双曲线的定义和性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
 16.【答案】解：Ⅰ由题意得，，
圆的标准方程为．
Ⅱ设圆的标准方程为，
点和点在圆上，
，解得：，
圆的标准方程为．
Ⅲ，，的中点坐标为，即圆心坐标为，
，
圆的标准方程为．
Ⅳ设圆的标准方程为，
由题意得，，解得：，
圆的标准方程为． 【解析】Ⅰ即为半径，求得圆的半径即可求解；
Ⅱ设圆的标准方程为，利用待定系数法即可求解；
Ⅲ，中点即为圆心，求得圆心坐标与半径即可求解；
Ⅳ设圆的标准方程为，利用待定系数法即可求解．
本题主要考查圆的标准方程的求解，是基础题．
 17.【答案】解：Ⅰ当斜率不存在时，，与圆相切；
当斜率存在时，设斜率为，切线方程为，
圆心到切线的距离为，
解得，
此时切线方程为，
综上所述，过点的圆的切线方程为或．
Ⅱ由题意得，所在直线方程为，
圆心到直线的距离，
．
Ⅲ由垂径定理可知，过点且与垂直的直线被圆截得弦长最短，
的斜率为，
直线的斜率，
直线方程为，即． 【解析】Ⅰ当斜率不存在时，满足题意，斜率存在时，设斜率为，圆心到直线的距离为半径，求得，即可求得切线方程；
Ⅱ求得所在直线方程，利用，即可求解；
Ⅲ由垂径定理可知，过点且与垂直的直线被圆截得弦长最短，即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
 18.【答案】Ⅰ证明：连接，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
Ⅱ证明：在正方形中，，
由正方体的性质知，平面，
因为平面，所以，
又，B、平面，
所以平面，
因为平面，所以

Ⅲ解：设与相交于点，过点作于点，连接，则为二面角的大小，
因为正方体的棱长为，所以由勾股定理得，，，，，
所以，即，
所以，
在中，，所以，
而二面角与二面角互补，
所以二面角的大小为． 【解析】Ⅰ连接，先证四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判定定理，得证；
Ⅱ由，，结合线面垂直的判定定理与性质定理，得证；
Ⅲ设与相交于点，过点作于点，连接，则为二面角的大小，结合勾股定理与三角函数，求得，再利用二面角与二面角互补，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 19.【答案】解：Ⅰ由已知可设椭圆的标准方程为，
所以，可得，因为，所以，
所以椭圆的标准方程为；
Ⅱ直线：与椭圆的方程联立，
消去，整理得，
由，可得，
即的取值范围是；
Ⅲ设，，
由Ⅱ可得，，
则，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为． 【解析】Ⅰ根据题意可求得，，的值，从而可得椭圆的标准方程；
Ⅱ直线与椭圆方程联立，消去，利用即可求解的取值范围；
Ⅲ利用根与系数的关系以及弦长公式即可求解的最大值．
本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆方程的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 20.【答案】解：Ⅰ由已知可设椭圆的标准方程为，
所以，，解得，，所以，
所以椭圆的标准方程为；
Ⅱ由题意可设直线的方程为，设，，
则，，
又，，
两式相减可得，
所以，
即，解得，
所以直线的方程为，即或．
Ⅲ由题意可设直线的方程为，设，，
直线：与椭圆的方程联立，
消去，整理得，
，解得，
所以，，
若点在以线段为直径的圆上，则，
即，
即，
即，
所以，
解得，
所以直线的方程的方程为． 【解析】Ⅰ由题意可得，，从而可求得，的值，由，，的关系可得的值，从而可得椭圆的标准方程；
Ⅱ由题意可得直线的方程为，利用点差法即可求解的值；
Ⅲ由题意可设直线的方程为，设，，由直线与椭圆方程联立可得根与系数的关系，结合即可求解的值．
本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 21.【答案】解：Ⅰ集合，，
根据题意可得：，
；
Ⅱ集合满足，
，
中至少有个元素，
即，又，
． 【解析】Ⅰ根据新定义列举即可求解；
Ⅱ根据新定义，不等式性质，即可求解．
本题考查新定义，不等式性质，化归转化思想，属中档题．