2022-2023学年河南省新乡市高三第一次模拟考试数学（文）含解析

  新乡市高三第一次模拟考试

数学（文科）

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.若，则的虚部为（    ）

A. B.1 C. D.

3.设x，y满足约束条件则的最小值为（    ）

A.6 B. C. D.

4.如图，程序框图的输出值，则输人值x的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

5.对2021年某地某款汽车的销售价格（单价：万元）与销售数量进行统计，随机选取1000台汽车的信息，这1000台汽车的销售价格都不低于5万元，低于30万元，将销售价格分为，，，，这五组，统计后制成如图所示的频率分布直方图，则在选取的1000台汽车中，销售价格在内的车辆台数为（    ）

A.175 B.375 C.75 D.550

6.设等差数列，的前n项和分别为，，若，则（    ）

A. B. C. D.

7.在中，D，E分别为边AB，AC的中点，且CD与BE交于点G，记，，则（    ）

A. B. C. D.

年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转.最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同.已知一个沙漏的沙池形状为圆雉形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（    ）

A.小时 B.小时 C.小时 D.小时

9.已知，，则（    ）

A. B. C. D.

10.函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ）

A.0 B.2 C. D.

11.已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则下列选项不正确的是（    ）

A.

B.若，则M到x轴的距离为3

C.若，则

D.的最小值为4

12.已知正三棱柱的侧棱长为l，底面边长为a，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（    ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.等比数列的前n项和，则______.

14.若直线是曲线在处的切线，则实数______.

15.已知函数对任意的，都有，若的图象关于直线对称，且，则______.

16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，，的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4b，则椭圆C的离心率为______；若椭圆C过点，过点作直线l与椭圆C交于A，B两点，则的最大值与最小值的和为______.（本题第一空2分，第二空3分）

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

如图，在四棱雉中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的中点.

（1）证明：平面PAD.

（2）若四棱雉的体积为32，的面积为4，求B到平面DEF的距离.

18.（12分）

某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，随机选了100位市民调查，结果统计如下.

（1）根据已有数据，把表格填写完整.

（2）能否有的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关？

（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有6名男性，其中3名是医生，现从这6名男性中随机抽取3人，求至少有2名医生的概率.

附：，.

19.（12分）

在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，点D是BC的中点，求AD的取值范围.

20.（12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3.

（1）求动点C的轨迹方程E.

（2）过点作直线交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线的平行线交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21.（12分）

已知函数.

（1）求的最值；

（2）若函数存在两个极小值点，求实数a的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为.

（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；

（2）若，且直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知关于x的不等式有解.

（1）求实数t的最大值M；

（2）在（1）的条件下，已知a，b，c为正数，且，求的最小值.

新乡市高三第一次模拟考试

数学参考答案（文科）

1.C因为，所以.

2.B因为，所以，所以，所以，所以的虚部为1.

3.C作出可行域（图略），当直线经过点时，有最小值，最小值为.

4.D由得；由得.

所以输人值x的取值范围是.

5.B由频率分布直方图知，，所以，所以销售价格在内的频率为，故销售价格在内的车辆台数为.

6.D因为，，所以.

7.A因为点G为的重心，所以.

8.D因为沙池中沙的高度漏至一半，所以漏下的沙子体积为总体积的，故记时时间为小时.

9.C因为，所以.因为，

所以，故.

10.C由图可知，，所以.

因为所以，，

所以，故.

11.C设点，.

因为，所以的最小值为，所以，故A正确.

若，则，所以M到x轴的距离为，故B正确.

当AB过F点时，设AB的方程为，与联立可得，则.

由，得，所以或（舍去），所以，故C错误.

过点A作抛物线的准线l：的垂线，垂足为点E，

由抛物线的定义可得，所以，当且仅当P，A，E三点共线，即当时，取得最小值，故D正确.

12.B因为正三棱柱外接球的体积为，所以，所以.设，当直线与曲线相切时，m最大.联立方程组得，由，得，此时，，所以正三棱柱的体积.

13.因为为等比数列，且前n项和，所以.

14.因为，所以，则解得故.

15.3因为的图象关于直线对称，所以的图象关于y轴对称，即为偶函数.

令，则，所以.

因为，所以，所以，即的周期为8.

因为，所以.

16.；  因为M，O分别为，的中点，所以，，

则四边形OMPN是平行四边形，所以，

所以.因为椭圆C过点，所以.

因为，所以，，，所以椭圆C的方程为.

设直线l的方程为，联立方程组得.

设，，则，.

因为

，

所以.

令，则.

因为，所以.

设的最大值与最小值分别为，，则，是方程的两根，所以.

17.（1）证明：取AB的中点G，连接EG，FG.

因为G，F分别是AB，PB的中点，所以.

因为E是CD的中点，ABCD是平行四边形，所以.

因为，，所以平面平面PAD.

因为平面EFG，所以平面PAD.

（2）解：因为E是CD的中点，所以的面积是平行四边形ABCD面积的.

因为F是PB的中点，所以三棱锥的高是四棱雉的高的.

因为四棱锥的体积我为32，所以三棱锥的体积为.

设B到平面DEF的距离为d，因为的面积为4，所以，得，

即B到平面DEF的距离为3.

18.解：（1）

（2）因为，

所以没有的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关.

（3）记6人分别为a，b，c，d，e，f.其中a，b，c表示医生，

从6人中任意抽3人的所有基本事件有abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def共20个，

其中至少有2名医生的基本事件有abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，bcd，bce，bcf，共10个，

所以所求概率是.

19.解：（1）因为，所以.

因为，，

所以.

因为，所以.

因为，所以.

（2）因为，

所以，

所以.

因为，所以.

因为，所以，

所以.

20.解：（1）设，因为直线AC与直线BC的斜率乘积为3，

所以，

所以，

故动点C的轨迹方程为.

（2）易知直线的斜率存在且不为0.

设直线：，，，，

联立方程组得，

则，.

因为P，Q在y轴两侧，所以，所以，

所以.

因为，所以的方程为.设，则，

联立方程组，得.

所以，，

所以，

所以，即为定值2.

21.解：（1）由题知，的定义域为，

因为，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，无最小值.

（2），则，.

令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

因为，所以.

（1）当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，

所以只有一个极小值点.

（2）当时，方程有两个根，，且，.

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以有两个极小值点.

故实数a的取值范围为.

22.解：（1）由题知，，又，

所以，即曲线C的直角坐标方程为.

因为直线l的极坐标方程为，

所以，4分

又因为，

所以直线l的直角坐标方程为，即.

（2）联立l与C的方程，将代人中，

可得，

要使l与C没有公共点，则无解.

令，，

其对称轴为，开口向下，

所以，.

因为，所以，即，所以m的取值范围为.

23.解：（1）因为，

所以的最大值为3.

因为不等式有解，所以，解得，

所以实数t的最大值.

（2）由（1）知，，

因为（当且仅当时，等号成立），

，当且仅当，

即，时，等号成立，

所以的最小值为36.