2023届黑龙江省大庆市东风中学高三上学期第一次月考数学试卷含答案

东风中学2022-2023学年高三上学期第一次月考

数学试题

一、单项选择题

1．设集合，，则（       ）

A．            B．               C．               D．

2．已知（其中i为虚数单位），则复数（       ）

A．i                   B．－i                  C．1                    D．2

3．的展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的含x项的系数是（       ）

A．112                B．－112                C．60                   D．－60

4．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口正式举行．某高校甲、乙、丙、丁4名志愿者将被随机分配到北京和张家口赛区参加冬奥服务工作，要求每个赛区至少一人，每人只分配到一个赛区，则甲．乙被分在同一赛区的概率为（       ）

A．                 B．                   C．                  D．

5．m，n为不重合的直线，，为互不相同的平面，下列说法错误的是（       ）

A．若，则经过m，n的平面存在且唯一

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，，则

6．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点。其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（       ）

A．20m                B．30m                 C．m             D．m

7．若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是（       ）．

A．            B．             C．           D．

8．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（       ）

A．              B．                C．               D．

二、多项选择题

9．已知在△ABC中，，，，则下列结论中正确的是（       ）．

A．

B．若，则△ABC为锐角三角形

C．若，则△ABC为直角三角形

D．若，则△ABC为直角三角形

10．已知是的导函数，且，则（       ）．

A．                                 B．

C．的图象在处的切线的斜率为0      D．在上的最小值为1

11．已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于点成中心对称

C．的图象关于直线对称

D．的单调递增区间是

12．已知双曲线C：的左焦点为F，过点F的直线交C的左支于M，N两点，直线l：为C的一条渐近线，则下列说法正确的有（       ）

A．

B．存在点M，使得

C．的最小值为1

D．点M到直线：距离的最小值为2022

三、填空题

13．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．则数列       ．

14．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是          ．

15．某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．若下面是尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），则的值为           ．

16．设定义域为R的函数满足，则不等式的解集为           ．

四、解答题

17．已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且．

（1）求A；

（2）若，△ABC的面积为3，求b，c．

18．在①，②是公差为1的等差数列，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答。

问题：在递增的等差数列中，为数列的前n项和，已知，           ，数列是首项为2，公比为2的等比数列，设，为数列的前n项和，求使成立的最小正整数n的值。

19．如图，△ABC的外接圆O的直径，CE垂直于圆O所在的平面，，，．

（1）求证：平面AEC⊥平面BCED．

（2）若，求二面角C－AM－D的余弦值．

20．某地有A、B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区．

（1）如果B、C、D受到A感染的概率均为，那么B、C、D三人中恰好有一人受到A感染新型冠状病毒的概率是多少？

（2）若B肯定受A感染，对于C，因为难以判断他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是，在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X为一个随机变量，求随机变量X的均值和方差．

21．已知函数，是其导函数．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）若a1，证明：在区间内至多有1个零点．

22．已知椭圆E：的离心率，且椭圆上的点到其右焦点F的最远距离为3．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）当直线l（斜率不为0）经过点F，且与椭圆E交于A，B两点时，问x轴上是否存在定点P，使得x轴平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．答案：A

2．答案：C

3．答案：A

4．答案：C

5．答案：D

6．答案：D

7．答案：B

8．答案：C

9．答案：ACD

10．答案：BC

11．答案：BCD

12．答案：AC

13．答案：

14．答案：

15．答案：510

16．答案：

17．（1）答案：

因为，

由正弦定理得：，

因为，

所以．

因为A为锐角，

所以．

（2）答案：

由，

得：．

又△ABC的面积为，

即．

所以．则．

解得．

18．答案：

解：设数列的公差为，

若选条件①：

因为，

所以，

化简可得，，所以，

因为，所以，

故．

若选条件②：

因为是公差为1的等差数列，，

于是，

当时，．

当时，，

所以．

若选条件③：

因为，

所以，

整理得．

因为，所以，

从而数列的通项公式为．

由已知可得，

所以，

，

，

两式相减可得，，

，

所以，

，

显然，当时，，即，

又因为，，

所以最小正整数n的值为7．

19．答案：

（1）证明：

∵△ABC的外接圆O的直径AB

∴AC⊥BC．

又因为EC⊥平面ABC，

所以EC⊥BC

又∵

∴BC⊥平面ACE，又平面BCDE，

∴平面AEC⊥平面BCED．

（2）以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CE为z轴建立空间直角坐标系，则，，，．

设，

∵

设平面CAM的法向量为，

∵，

则，取

设平面AMD的法向量为

∵，

∵取

则，

因为二面角C－AM－D的平面角为锐角

∴二面角C－AM－D的余弦值．

20．答案：

（1）概率．

（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3，则

，

，

．

故X的分布列为

所以，

所以．

21．（1）答案：

当时，，则，

又，则在处的切线方程为：，即．

（2）答案：

∵，

又，设，

∴，

∴，，

因，故，

又时，故对恒成立，即在区间单调递增；

又，；

故时，，此时在区间内恰好有1个零点．

当，，此时在区间内没有零点．

22．答案：

（1）由题意可得，，

又椭圆上一点到其右焦点的最远距离，且，

联立得，，，

所以椭圆E的方程为．

（2）假设存在点P符合题意．

设，设直线l的方程为，，，

联立方程组，

得，

则，，

由x轴平分∠APB，所以，

即，

整理得，

即，

解得，故存在满足题意．