2023届黑龙江省大庆市东风中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

2023届黑龙江省大庆市东风中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1． 设集合，，则（    ）

A．  B． C． D．

【答案】A

【分析】先求解二次不等式得，再根据集合运算法则算即可

【详解】由题，，则，

故选：A

2．已知（其中i为虚数单位），则复数（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】易得，然后根据复数模长公式计算即可得解.

【详解】因为，所以，

故．

故选：C．

3．的展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的含项的系数是（  ）

A．112 B． C．60 D．

【答案】A

【分析】由二项式系数和求得，写出展开式通项公式，求出含的项的项数后可得系数．

【详解】由题意，．

，令，，

所以含项的系数是．

故选：A．

4．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口正式举行.某高校甲、乙、丙、丁4名志愿者将被随机分配到北京和张家口赛区参加冬奥服务工作，要求每个赛区至少一人，每人只分配到一个赛区，则甲、乙被分在同一赛区的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知两个赛区分配的人数为1个和3个，或者是每个赛区2人，由此求出分配的总的分配方法数，再求出甲、乙被分在同一赛区的方法数，根据古典概型的概率计算求得答案.

【详解】根据题意可知两个赛区分配的人数为1个和3个，或者是每个赛区2人，

当两个赛区分配的人数为1个和3个时，共有 种分配方法，

当两个赛区分配的人数均为2个时，共有种分配方法，

因此共有 种分配方法，

甲、乙被分在同一赛区的分配方法有 种，

故甲、乙被分在同一赛区的概率为 ,

故选：C

5．，为不重合的直线，，，为互不相同的平面，下列说法错误的是（    ）

A．若，则经过，的平面存在且唯一

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，，则

【答案】D

【分析】对于A，由平面的性质判断，对于B，由面面平行的性质判断，对于C，由线面垂直的判定定理判断，对于D，由面面平行的判定定理判断

【详解】对于A，因为，所以由两平行直线确定一个平面，可知经过，的平面存在且唯一，所以A正确，

对于B，因为，，，所以，所以B正确，

对于C，设，在内作，在内作，因为，，所以，所以∥，所以∥，因为，，所以∥，因为，所以，所以C正确，

对于D，当，，，时，与可能平行，可能相交，所以D错误，

故选：D

6．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是15°和60°，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求得，再在三角形中，运用正弦定理可得，再解直角三角形，计算可得所求值．

【详解】解：在直角三角形中，．

在中，，，

故，

由正弦定理，，

故．

在直角三角形中，．

故选：D．

7．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.

【详解】由题意知，则准线为，

点到焦点的距离等于其到准线的距离，

即，∴，则

故选：B.

8．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在定理得出，代入可得选项.

【详解】由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：，

即，解得，

故选：C.

【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题.

二、多选题

9．在中，，，，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．

B．若，则为锐角三角形.

C．若，则为直角三角形

D．若，则为直角三角形

【答案】ACD

【分析】三角形中向量首尾相接，可知选项A正确；通过向量数量积的性质可知选项B、C正确与否；将展开，结合余弦定理，可求出，可知选项D正确.

【详解】中，，，，.

，则只能判定∠ACB是锐角，不能判定是锐角三角形，故B错.

，则，则直角三角形，故C正确.

，即，，

又因为，

所以，所以，则为直角三角形，故D正确.

故选：ACD.

10．已知是的导函数，且，则（    ）

A． B．

C．的图象在处的切线的斜率为0 D．在上的最小值为1

【答案】BC

【分析】由题意，利用方程思想，求导赋值，建立方程，求得的值，可得函数与导函数解析式，

对于A、B，直接代值，可得答案；对于C，利用导数的几何意义，可得答案；对于D，根据导数与单调性关系，可得答案.

【详解】∵，∴，令，则，故B正确；则，，

，故A错误；

的图象在处的切线的斜率为，故C正确；

，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴在上的最小值为，故D错误．

故选：BC．

11．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于点成中心对称

C．的图象关于直线对称

D．的单调递增区间是

【答案】BCD

【分析】化简得，根据三角函数的性质可逐项排除.

【详解】，

A. 的最小正周期为，错误；

B. ，所以图象关于点成中心对称，正确；

C. ，所以图象关于直线对称，正确；

D. 的单调递增区间是，即，正确

故选：BCD.

【点睛】本题考查正弦型三角函数化简、三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.

12．已知双曲线的左焦点为，过点的直线交的左支于两点，直线：为的一条渐近线，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．存在点，使得

C．的最小值为1

D．点到直线：距离的最小值为2022

【答案】ABC

【分析】根据题意得，，进而求解离心率判断A；求解判断B选项；当与轴垂直时取最小值判断C；根据直线与的渐近线平行，且与的左支不相交判断D.

【详解】解：对于A选项，直线：为的一条渐近线，故，故，，，A正确；

对于B选项，当过点的直线斜率不存在时，方程为，或，此时，，

当过点的直线斜率存在时，设方程为，

故联立方程得，

设，因为过点的直线交的左支于两点，

所以，解得或，

当或时，此时直线与双曲线渐近线平行，与双曲线的交点横坐标为，

所以，，

所以，因为，所以存在点，使得，故B正确；

对于C选项，结合B选项讨论，，

所以

，

因为或，所以，，，，即，

因为过点的直线斜率不存在时，，

综上，的最小值为1，故C选项正确.

对于D选项，直线和的渐近线平行，且与的左支不相交，故上的点到直线的距离没有最小值，D错误．

故选：ABC．

三、填空题

13．已知数列是等差数列，是等比数列，且.则数列___________.

【答案】

【分析】根据等比数列定义与等差数列定义，可得答案.

【详解】是等比数列，且，公比，且，

即；，解得，

是等差数列，且，公差，

且，

故答案为：.

14．若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.

【答案】[0，2]

【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合包含关系列不等式求解即可．

【详解】由得或，

若或是的必要不充分条件，

则或，

则或，

，

故答案为：，

【点睛】方法点睛：判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理

15．某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.若下面是尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），则的值为______ .

【答案】510

【解析】结合频率分布表和频率分布直方图中数据,利用频率=频数/样本容量及频率/组距表示频率分布直方图的纵轴即可求出,进而求得的值.

【详解】设样本量为，则，

所以的频数为，

则，，

由频率分布直方图的纵轴为频率/组距可得,

，，

所以.

故答案为:

【点睛】本题主要考查频率分布表和频率分布直方图的应用;属于中档题、常考题型.

16．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．

【详解】设F（x），

则F′（x），

∵，

∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．

∵

∴，即F（x）＜F（2x）

∴，即x＞1

∴不等式的解为

故答案为

【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．

四、解答题

17．已知a，b，c分别为锐角三角形三个内角A，B，C的对边，且．

（1）求A；

（2）若，的面积为，求b，c．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理可得，消去，可得，可得答案；

（2）由（1）所求A及，可得的值，再由余弦定理，可得b，c的值.

【详解】解：（1）因为，

由正弦定理得：，

因为，所以．

因为A为锐角，所以．

（2）由，得：．

又的面积为，即．

所以．则．解得．

【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，需注意公式的灵活运用.

18．在①，②是公差为1的等差数列，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．

问题：在递增的等差数列中，为数列的前项和，已知，______，数列是首项为2，公比为2的等比数列，设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】7

【分析】若选条件①：根据求得公差得出；若选条件②：可得，利用得；若选条件③：根据求得公差可得.

得出，利用错误相减法求得，根据可得单调递增，即可求解.

【详解】设数列的公差为，

若选条件①：

，，解得（舍负），

故；

若选条件②：

是公差为1的等差数列，，则，

当时，，满足，

；

若选条件③：

，，解得（舍去）或，

故.

由已知可得，则，

则，

，

两式相减可得

，

所以，

，

显然，当时，，即，

又，

所以最小正整数的值为7.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

19．如图，的外接圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，.

（1）求证：平面平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）通过证明，证得平面，由此证得平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和平面的法向量计算出二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：的外接圆的直径.

又因为平面，所以

又

∴平面，又平面，

∴平面⊥平面.

（2）以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，则.

设

设平面的法向量为，

则取，

设平面的法向量为，

取

则，因为二面角的平面角为锐角

二面角的余弦值.

【点睛】向量法计算二面角，关键是计算出两个半平面的法向量.

20．某地有A、B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区．

(1)如果B、C、D受到A感染的概率均为，那么B、C、D三人中恰好有一人受到A感染新型冠状病毒的概率是多少？

(2)若B肯定受A感染，对于C，因为难以判断他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是，在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X为一个随机变量，求随机变量X的均值和方差．

【答案】(1)

(2)均值为，方差为

【分析】（1）根据独立重复事件求概率的方式进行运算即可；

（2）随机变量的可能取值为1，2，3，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望与方差.

【详解】(1)B、C、D三人中恰好有一人受到A感染新型冠状病毒的概率；

(2)根据题意，X的可能取值为1，2，3，则

，

，

．

故X的分布列为

所以，

所以．

21．已知函数，是其导函数．

（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；

（Ⅱ）若，证明：在区间内至多有1个零点．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，计算出与利用点斜式求出直线方程；

（Ⅱ）由，设，则，即，对求导，研究其单调性及零点情况，即可得证.

【详解】解：（Ⅰ）当时，，则，

又，

则在处的切线方程为：，

即．

（Ⅱ），

又，设，

，

，

因，故，

又，故对恒成立，即在区间单调递增；

又，；

故当时，，此时在区间内恰好有个零点．

当时，，此时在区间内没有零点；

综上结论得证．

【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、零点，属于中档题.

22．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到其右焦点的最远距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线（斜率不为0）经过点，且与椭圆交于，两点时，问轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用题干中的条件找到关于和的两个方程，求出和，进而求出椭圆的标准方程；（2）假设存在点，使得轴平分，然后把角度问题转化为斜率问题是本题的关键，列出等式，利用韦达定理化简得到结果.

【详解】（1）∵椭圆的左顶点到右焦点距离最远

∴

∵离心率为

∴

联立解得：，

∴

∴椭圆的标准方程为：

（2）轴上存在点，使得轴平分

理由如下：假设轴上存在点，使得轴平分

设直线：，与联立可得：

设，

则，

由题意得：

∴

即

化简得：

把，代入，得：

化简得：

∵直线的斜率变化，且斜率不为0

∴

∴

∴轴上存在点，使得轴平分