江苏省南通市启东市长江中学2022—2023学年九年级上学期期末考试数学试卷

这是一份江苏省南通市启东市长江中学2022—2023学年九年级上学期期末考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了若点M在抛物线y＝，下列事件，是必然事件的是，已知点A等内容，欢迎下载使用。
启东市长江中学2022—2023学年度第一学期
期末考试九年级数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若点M在抛物线y＝（x+3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（　　）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，0） C．（3，0） D．（0，﹣4）
2．下列事件，是必然事件的是（　　）
A．投掷一枚硬币，向上一面是正面 B．同旁内角互补
C．打开电视，正播放电影《英雄儿女》 D．任意画一个多边形，其外角和是360°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在函数y＝的图象上有一点A（1，2），将点A先向右平移3k（k＞0）个单位，再向下平移k个单位后恰好又落在图象上，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
第4题图 第5题图 第6题图






5．温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径OC为5m，水面宽AB为m，则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（　　）
A．4m B．7m C．5+m D．6 m
6．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
7．已知点A（0，3），B（﹣4，8），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（2，﹣1）或（﹣2，1）
8．对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt﹣gt2，其中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝20m/s，则下列说法正确的是（　　）
A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点 B．当h＝25 m时，对应一个时刻点
C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点 D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点
9．如图，△ABC三个顶点分别在反比例函数y＝，y＝的图象上，若∠C＝90°，AC∥y轴，BC∥x轴，S△ABC＝8，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
第9题图 第10题图







10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（本大题共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分）
11．抛掷六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子两枚，向上一面的点数之和为5的概率为 　   　．
12．已知一个圆锥的母线长为10cm，将侧面展开后所得扇形的圆心角是144°，则这个圆锥的底面圆的半径是　   　cm．
第13题图 第14题图 第15题图


13．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴是直线x＝﹣1，若y≥3，则x的取值范围是 　   　．






14．如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 　   　．
15．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”
根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　   　步．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，该函数取得最小值﹣4，设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＞5，则a的取值范围是 　   　．
第17题图 第18题图
17．如图，∠XOY＝45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB＝2，那么OC的最大值为　   　．





18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA，使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标为　   　．
三．解答题（本大题共8小题，共90分）
19．（本小题满分10分）
计算：．（1）（3﹣π）0﹣3﹣2+||+2sin60°； （2）．




20．（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．


21．（本小题满分10分）
小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．
假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．
（1）利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）；
（2）在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？




22． （本小题满分10分）
如图，点M为△ABC内切圆的圆心，⊙O是△ABC的外接圆，BM的延长线交AC于点N，交⊙O于点D，连接CD，过点D作直线DE，使∠CDE＝∠ABD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：CD＝DM；
（3）若DN＝2，BN＝4，求DM的长．



23． （本小题满分10分）
校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．




24． （本小题满分13分）
已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）b＝　   　；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣4＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．











25． （本小题满分13分）
如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）写出GF与AE之间的位置关系是：　   　；
（2）求证：AE＝2GF；
（3）连接CP，若sin∠CGP＝，GF＝，求CE的长．











26． （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，若对于任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2），都有x1+x2＝y1+y2，则称A、B两点互为“友好点”．已知点A（1，4）．
（1）若B（2，1）、C（0，﹣3）、D（2，﹣2），则点A的“友好点”是 　   　；
（2）若A（1，4）、P（m，n）都在双曲线上，且A、P两点互为“友好点”．请求出点P的坐标；
（3）已知抛物线y＝ax2+2bx+3c（a≠0，a，b，c为常数）．顶点为D点，与x轴交于A、B两点，与直线y＝bx+2c交于P、Q两点．若满足①抛物线过点（0，﹣3）；②△DAB为等边三角形；③P、Q两点互为“友好点”．求（b﹣a﹣199c）的值．




































参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．B．2．D．3．A．4．B．5．D．6．C．7．C．8．C．9．C．10．B．
二．填空题（共8小题）
11．． 12．4． 13．﹣2≤x≤0． 14．38°． 15．4．
16．0＜a＜1． 17．+1． 18．（﹣，﹣）．
二．解答题（共8小题）
19．解：（1）原式＝1﹣+2﹣+2×＝2；
（2）原式＝＝＝．

20．（1）证明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠C．
又∵∠DAE＝∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
（2）∵△AED∽△ADC，
∴＝，即＝，
∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．
又∵AD＝AB，
∴AB＝2．

21．解：（1）列出表格，如图所示：

②
①
③
②
（②，②）
（①，②）
（③，②）
①
（②，①）
（①，①）
（③，①）
③
（②，③）
（①，③）
（③，③）
由列表可知所有等可能的情况有9种；
（2）小明获胜的情况有3种，小颖获胜的情况有3种，
∴P（小明获胜）＝P（小颖获胜）＝＝，
∴P（小凡获胜）＝，
∴这个游戏对三人公平．

22．（1）证明：连接OD，交AC于点F，

∵点M为△ABC内切圆的圆心，
∴BM平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∵∠CDE＝∠ABD，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴AC∥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接CM，

∵点M为△ABC内切圆的圆心，
∴CM平分∠BCA，
∴∠BCM＝∠ACM，
∵∠ABD＝∠CBD，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CBD，
∵∠MCD＝∠ACM+∠ACD，∠CMD＝∠CBD+∠BCM，
∴∠MCD＝∠CMD，
∴DC＝DM；
（3）解：∵DN＝2，BN＝4，
∴BD＝DN+BN＝6，
∵∠CDN＝∠CDB，∠ACD＝∠CBD，
∴△DCN∽△DBC，
∴＝，
∴DC2＝DN•DB＝2×6＝12，
∴DC＝2，
∴DM＝DC＝2，
∴DM的长为2．

23．解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，

由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝6（米），
即点B距水平地面AE的高度为6米；
（2）在Rt△ABM中，
∴NE＝BM＝AB＝6（米），
AM＝AB＝6（米），
∴ME＝AM+AE＝（6+24）米，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（6+24）米，
∴CE＝CN+NE＝（6+30）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝24米，
∴DE＝AE•tan53°≈24×＝32（米），
∴CD＝CE﹣DE
＝6+30﹣32
＝6﹣2
≈8.4（米）
答：广告牌CD的高约8.4米．

24．解：（1）x＝﹣＝﹣1，故b＝2a，
故答案为：2a；

（2）当a＝﹣1时，函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+c，
方程为：x2+2x﹣c＝0，该方程在在﹣4＜x＜1的范围内有解，
则△＝4+4c≥0，即c≥﹣1；
同时要满足：当x＝﹣4时，y＜0或x＝1时，y＜0，
即﹣16+8+c＜0或﹣1﹣2+c＜0，
故c＜8或c＜3，故c＜8，
故﹣1≤c＜8；

（3）抛物线过点（﹣1，﹣1），该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，
当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，
则x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），
将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得：
4＝a（1+1）2﹣1或﹣4＝a（1+1）2﹣1，
解得：a＝或﹣．

25．（1）解：由折叠的性质得：∠AOF＝∠EOF，
∵∠AOF+∠EOF＝180°，
∴∠AOF＝∠EOF＝90°，
∴GF⊥AE，
故答案为：GF⊥AE；
（2）证明：过G作GM⊥AB于M，如图1所示：
则∠FMG＝90°，四边形ADGM是矩形，
∴AD＝GM，∠MFG+∠MGF＝90°，
由（1）得：GF⊥AE，
∴∠MFG+∠FAO＝90°，
∴∠BAE＝∠MGF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°＝∠FMG，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝＝＝＝2，
∴AE＝2GF；
（3）解：过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，如图2所示：
由折叠的性质得：AF＝EF，∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，
∴∠CGP+∠GHP＝90°，
∵∠PEC+∠EHC＝90°，∠GHP＝∠EHC，
∴∠PEC＝∠CGP，
∵∠BFE+∠BFE＝∠BEF+∠PEC＝90°，
∴∠BFE＝∠PEC＝∠CGP，
∵sin∠CGP＝，
∴sin∠BFE＝＝，
设BE＝3x，则AF＝EF＝5x，
∴BF＝＝＝4x，
∴AB＝AF+BF＝9x，
∵AE＝2GF，GF＝，
∴AE＝2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即（9x）2+（3x）2＝（2）2，
解得：x＝或x＝﹣（舍去），
∴AB＝9x＝6，BE＝3x＝2，
∵AB＝2BC，
∴BC＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣2＝1．






26．解：（1）∵1+2≠1+4，
∴点A与点B不是互为“友好点”；
∵1+0＝4+（﹣3），
∴点A与点C是互为“友好点”；
∵1+2≠4+（﹣3），
∴点A与点D不是互为“友好点”，
综上，点A的“友好点”是点C，
故答案为：C（0，﹣3）；
（2）∵A（1，4）在双曲线上，
∴k＝4．
∴P（m，）．
∵A、P两点互为“友好点”，
∴1+m＝4+，
解得：m＝﹣1或m＝4．
∴P（﹣1，﹣4）或（4，1）；
（3）∵抛物线y＝ax2+2bx+3c过点（0，﹣3），
∴3c＝﹣3，
∴c＝﹣1．
∵抛物线y＝ax2+2bx+3c与x轴交于A、B两点，
∴AB＝．
∵抛物线y＝ax2+2bx+3c的顶点为D点，
∴D（﹣，）．
则△DAB中AB边上的高为||．
∵△DAB为等边三角形，
∴||＝×，
∴（2b）2﹣12ac＝12，
∵c＝﹣1，
∴b2+3a＝3．
∵抛物线y＝ax2+2bx+3c与直线y＝bx+2c交于P、Q两点，
∴，
∴ax2+bx﹣1＝0．
设P（x1，bx1﹣2），Q（x2，bx2﹣2），
则x1，x2是方程ax2+bx﹣1＝0的两个根，
∴．
∵P、Q两点互为“友好点”，
∴x1+x2＝bx1﹣2+bx2﹣2，
∴＝b×（）﹣4，
∴b2＝b﹣4a．
∴b﹣4a+3a＝3．
∴b﹣a＝3．
∴b﹣a﹣199c＝3+199＝202．