2023届高考数学重难点专题07导数应用函数零点问题专练C卷

专题07导数应用函数零点问题专练C卷

一、单选题

1.  函数，若函数有三个不同零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C. ， D.

2.  定义在上的函数满足，，当时，，则方程在上解的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知正实数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D. 或

6.  若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  设，，函数若函数恰有个零点，则(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  已知函数恒有零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

9.  已知函数，则(    )

A. 在定义域上单调递增
B. 函数无最小值
C. 直线与曲线的公共点最多有个
D. 经过点可作的三条切线

10.  已知函数，则(    )

A. 函数在原点处的切线方程为
B. 函数的极小值点为
C. 函数在上有一个零点
D. 函数在上有两个零点

11.  已知函数，则下列命题正确的是(    )

A. 若方程有两个不同的解，则
B. 若与的图象有且仅有一个公共点，则或
C. 对任意，都有恒成立
D.

三、填空题

12.  已知函数，曲线在不同的三点，，处的切线均平行于轴，则的取值范围是          ．

13.  已知函数有个零点，则实数的取值范围是          ．

14.  已知函数，，若存在实数使在上有个零点，则的取值范围为          ．

四、解答题

15.  已知函数与  

 证明：当时，；

 若函数与图象有公共点，求的取值范围．

16.  已知函数．

若，讨论在区间上的单调性；

证明：当时，在区间上有且只有两个零点．

17.  已知函数．

求在的极值；

证明：函数在有且只有两个零点．

18.  已知函数．
讨论函数的零点个数
记较大的零点为，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系和数形结合思想，属于中档题．
利用导数研究函数的单调性，结合对数函数的图象得函数的图象，再利用函数的零点与方程根的关系把问题转化为函数与的图象有三个不同的交点，最后利用数形结合得结论．

【解答】

解：令，则，
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，且．
要函数有三个零点，
即函数与的图象有三个不同的交点．
作函数与的图象如下：

因此．
故本题选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质，体现了函数与方程思想，数形结合思想，转化思想，属于中档题．
解本题时，根据题意分析出函数为周期为的偶函数，分析函数和的图象和性质，即可求出结果．

【解答】

解：，， 
原函数的周期                          
又函数满足，函数关于成轴对称图形，
再由，，可得，令，即，
 函数是偶函数，
又时，，可分析出函数在上的最大值为，最小值为，方程在上解的个数，等价于变形为和图象交点的个数．
先研究的性质，对其求导，令，求得，可判断出
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
在时取得极大值，且，结合两函数的单调性和极限值，
可以判断出交点的个数为个．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的应用，属于较难题．
求出直线恒过的定点，利用函数的导数，转化求解表达式的值即可．

【解答】

解：由题意得直线过定点，且斜率，
由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，
所以，，，
则切线方程过点，，
所以，即，
而．
故选：．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数判断单调性，单调性的应用，指数对数运算，属于较难题．

通过分离变量，将分离为两个函数，再通过指数对数恒等变换以及的单调性得到正确选项．

【解答】

解：若，则，即，作出函数与的图象如图所示：

显然无交点，则方程无解，故选项A错误；

因为，则，，

令，则，

所以在区间上单调递增，所以，即，

因此，故选项B正确．

因为，所以，故，即，故选项C错误；

若，则，作出函数与的图象如图所示：

显然有交点，则方程有解，故选项D错误．

故选：

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象交点与方程的关系，考查利用导数研究函数单调性和极值，考查数形结合思想，属于难题．
令，化简，令，，且，得，利用导数研究函数的单调性并作出图象，根据图象以及二次函数的性质，即可求得满足条件的的取值范围．

【解答】

解：函数与，，
令，即，整理得，
令，，且，则，
则，设，
求导，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
则当时，，如图所示，

由题意可知方程有一个根在内，另一个根或或，
当时，方程无意义，
当时，，不满足题意；
则，
由二次函数的性质可知 ，即，解得，
故本题选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，属于较难题．
解题的关键是将问题转化为恰有两个整数解，然后利用导数研究函数的单调性，数形结合求解即可．

【解答】

解：不等式恰有两个整数解，即恰有两个整数解，
令，，
得，
令，，
，则在上为减函数，且，
当时，，，单调递增
当时，，，单调递减．
作的大致图象如下：

，，，
由题意恰有两个整数解，可得：，
，
故选D．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数与方程的综合运用，属于难题．
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．

【解答】

解：当时，，最多一个零点；
当时，
，
，
当，即时，，在上递增，最多一个零点，不合题意；
当，即时，
令得，函数递增，
令得，函数递减，函数最多有个零点；
根据题意函数恰有个零点，
所以函数在上有一个零点，在上有个零点，
如右图：

且
解得，，，
，，
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的零点或方程的根，属于较难题．
令，得，可知：，令，利用导数求出函数的最大值，即可求解．

【解答】

解：令，得，可知：，
令，则，
所以，
即，
所以，
令，
则，
构造函数，可得，
在时，，函数单调递减，在时，，函数单调递增，
则时，函数取得最小值，，
则恒成立，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，，当时，，
所以时，函数与函数恒有交点，
即函数恒有零点，
即，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数函数研究函数的单调性及其最值，考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
先对函数求导，得到函数的单调性，研究其走向，画出函数图像，判断，的正误，利用直线过定点旋转可以判断项正误，分是切点和不是切点两种情况讨论得项正误，从而得到正确选项．

【解答】

解：由题可得的定义域为，
，
所以函数在，上均单调递增，但不能说函数在整个定义域上递增，A错误；
当且时，，当时，，
当时，，
作出的大致图象如图所示，所以函数无最小值，B正确；

易知直线过点，
当足够大时，直线与的图象有两个交点，
与的图象有一个交点，
故直线与函数的图象最多有个公共点，C正确；
易知点在的图象上，故以为切点可作曲线的一条切线，
当不为切点时，设切点为，则，即，得或舍，
故经过点可作图象的条切线，D错误．
故选BC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查导数的几何意义、函数的极值以及函数的零点问题，属于中档题．
根据导数的几何意义可以求出在原点与函数图象相切的直线方程，再根据函数的单调性判断函数的极值，根据函数零点与方程根的关系判断函数的零点个数．

【解答】

解：函数，得．
对于选项，因为，所以当切点为原点时，，
从而函数在原点处的切线方程为，故A正确；
对于选项，令，得或，
时，，时，，
所以函数的极大值点为，故B不正确；
对于选项，时，恒成立，故C错误；
对于选项，令，解得或，
故函数在上有两个零点，故D正确．
故选AD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的运用：求单调性，不等式的恒成立，考查函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
利用导函数判断的单调性，即可判断是否正确，将方程的解问题转化为两个函数图像交点问题即可判断是否正确．

【解答】

解：，
故在上单调递增，上单调递减，，
且时，，易得若有两个不同解，则，
则，故A错误；
当时，与显然有且仅有个交点，
当时，则与相切时，有且仅有个交点，设切点为，
切线方程为，
将原点代入：则
，，
故或，故B正确；
恒成立，在上单调递减，
，故C正确；
，
即，
即比较与大小，
又因为，在上单调递减，
故，故D正确．
故选BCD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值，属于中档题．
根据题意对函数求导，问题转化为有个不同的解，分离参数结合函数图像即可求解．

【解答】

解：因为函数，所以．
又曲线在不同的三点，，处的切线均平行于轴，
所以有个不同的解．
易知不是的解，故有个不同的解，
令，则，
当时，解得或，为增函数，
当时，解得，为减函数，
当时，函数有极小值，
结合函数图象可知，，即．
故答案为
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点与方程根的关系，考查导数在解决函数问题中的运用，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
令，可得，而作图可知有两个不同的实数根，于是问题转化为函数与直线的图象有两个不同的交点，然后作出函数的图象，观察图象即可得解．

【解答】

解：令，可得，
或，
作出函数与直线的图象如下图所示，

由图象可知，函数与直线的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根，，
依题意，方程也有两个不同的实数根且与，均不等，
于是有两个不同的实数根，即函数与直线的图象有两个不同的交点，
而，
易知当或时，，单调递减，当时，，单调递增，且，时，，
其函数图象如下，

由图象可知，要使函数与直线的图象有两个不同的交点，则需且，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

 本题考查由函数的零点个数求参数取值范围问题，属于难题．

将函数的零点问题转化为与的图象交点问题，利用数形结合分为和两种情况求得的取值范围，其中后者需在存在性问题中进一步研究的范围．

【解答】

解：已知实数使在上有个零点，
等价于与的函数图象在上有个交点，

显然与轴的交点为，的图象关于对称，

当时，若要有个交点，由数形结合知一定小于，即；

当时，若要有个交点，则存在使得在有两解，所以，

因为，即，显然存在这样的使上述不等式成立；

由数形结合知须大于在处的切线与轴交点的横坐标，即．

综上所述，的范围为．

15.【答案】解：，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．

故即当时，．

当时，，故存在，使得，故两函数图象有交点．

当时，考虑到与互为反函数，故与公共点必在上反之，与的公共点也是与交点．

令．

令．

令得．

当时，，单调递增．

当时，，单调递减．

故

即，即．

综上所述，当且时，与图象有公共点．

【解析】

【分析】本题考查利用导数判断单调性，用导数求最值，指数与对数互为反函数。属于难题。通过构造求出单调性，求得最值．

考虑到与互为反函数，故与公共点必在上

构造，研究单调性利用隐零点求出最值即可．

16.【答案】解：若，则，
当时，，，，令，
则．
由，得在上单调递减，
又，
所以，所以在上单调递增．
当，时，，，
，
所以在上单调递减，，
若，则，
所以在上单调递增．
又，，
所以在上有唯一零点
若，则，又，
所以存在，使得，
且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以在上有唯一零点．
当，时，，，
所以在上单调递减，
又，，
所以在上有唯一零点．
当，时，，，，
所以，所以在上无零点．
综上，时，在上有且只有两个零点． 

【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数中的零点问题，考查了学生的综合应用能力，属较难题．
由题意若，对函数进行求导得在区间上的单调性；
由题意对，取值分类讨论，再根据函数的单调性得出当时，在区间上有且只有两个零点情况．
 

17.【答案】解：由得，，令得，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，无极大值．
证明：，，则，
令，则．
当时，，则在上单调递减，
，
所以，存在，使得 
当变化时，，变化如下表：

而，，
则，又，
令，其中，
则，所以，函数在上单调递增，
则，所以，，
由零点存在定理可知，函数在上有两个零点． 

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查导数中的零点问题，属于较难题．
由题知，可得，，令得，，利用导数即可得解；
，，则，
令，则，由函数的单调性可知函数的性质，根据，令，其中，利用导数研究函数的单调性，则，，由零点存在定理可知，即可得证．
 

18.【答案】解：的定义域为，．
，
令，则，所以单调递减．
因为，，由此可得存在唯一，使得．
所以在单调递增，在单调递减，所以，
又，所以存在，使得．
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减．
因为，所以，而，所以在之间存在唯一零点．
综上所述：有两个零点．
由可得函数较大的零点为，则，
则故只需证明，
等价于证明．
不妨设，，则等价于证明．
设，，
则，
因为，，，所以，
所以在单调递增，因此．
所以，
设，，注意到，
则，
令，注意到，
则，
令，注意到，则，，
所以在单调递减，所以，则在恒成立．
因此在单调递增，所以在恒成立．
所以在单调递增，则在恒成立．
所以在单调递增，则在恒成立．
故，
综上所述：． 

【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及函数零点的判断，考查了利用导数及函数性质证明不等式，属于拔高题．