2023届高考数学重难点专题08极值点偏移问题专练B卷

08极值点偏移问题专练B卷

1.  已知函数，．
   若，求的单调区间；
   若有两个不同的零点，，证明：．

2.  已知函数．
   讨论函数的单调性
   若函数有两个零点，，求证：．

3.  已知函数．

若在上单调递减，求实数的取值范围；

若是方程的两个不相等的实数根，证明：．

3.  已知函数，函数在上存在两个零点，．
   求的单调区间；
   证明：．

5.  已知函数

求函数在定义域内的最值；

当时，若有两个不同的零点，，求证：

6.  已知函有两个极值点，．

求的取值范围；

当时，证明：．

7.  已知函数为自然对数的底数．

若在上单调递增，求的取值范围；

若，函数的两个极值点为，证明：．

8.  已知函数，
讨论极值点的个数
若有两个极值点，，且，证明：．

答案和解析

1.【答案】解：当时，，，则．
因为时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
证明：，是的两个不同的零点，
等价于，是方程的两个不同的根，
也是方程的两个不同的根，
由，可知，．
要证，只需证，只需证，即证．
令，则，
所以时，，单调递增；
时，，单调递减；
不妨设，则，，
令，
则，所以时，，单调递增，
又，所以时，，即
因为时，单调递减，
所以，即．
故原结论正确，即． 

【解析】首先求得导函数的解析式，然后由导函数的符号，即可确定函数的单调区间；
要证，只需证，只需证，即证然后构造函数，判断的单调性，进一步证明结论．
本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，考查了转化思想，属于中档题．
 

2.【答案】解：，
当时，恒成立，函数在上单调递增
当时，时，，时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
证明：由知当即时，有两个零点，
不妨设，是函数的两个零点，则，，两式相除得，
不妨设，设，则，
，，
，
要证，只需证，
即证：，，
令，，
令，
对于函数，，则在上恒成立，
故，故在上恒成立，
故，
故在时单调递增，，
所以，所以在时单调递增，，
即，
． 

【解析】本题考查函数的零点问题以及函数的单调性，利用导数证明不等式，分类讨论思想，属于较难题．
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
不妨设，是函数的两个零点设，设，要证，只需证，即证：，，设，根据函数的单调性证明即可．
 

3.【答案】解：，，
在上单调递减，

在上恒成立，即，

即在上恒成立，

设，，，

当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，

所以函数的最大值是，所以；

若是方程的两个不相等的实数根，

即有个不同实数根，且，，
可得有个不同实数根，显然，

得

所以，

不妨设，则，

要证明，

只需证明，

即证明，即证明，

令，，

令函数，

所以，

所以函数在上单调递减，

当时，，所以，，

所以，即，即得．

【解析】本题考查利用导数由函数的单调性求参，利用导数证明不等式，是较难题．
首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；

将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明，恒成立．

4.【答案】解：函数，，
，
可得函数在单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减．
证明：由，，
化为：，
令，，
，
可得函数在上单调递减，在上单调递增．
可得函数在时取得极小值即最小值，，
函数在上存在两个零点，．
．
由，，
，
令，则，
，解得，
则，
要证明，即证明，
即证明：，
化为：，
令，，，

，
令，，
则，
令，则，
，
，
在上恒成立，
函数在上单调递增，
，
即成立． 

【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的证明、等价转化思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
函数，，利用导数运算法则可得，即可得出函数的单调性．
由，，化为：，令，，利用导数研究函数在上单调性，根据函数在上存在两个零点，可得由，，相除可得，令，解得，用表示．要证明，即证明，代入化简可得，令，，，利用导数研究函数在上单调性，即可证明结论．
 

5.【答案】解：函数的定义域为，
，
当时，，
此时函数为增函数，无最值，
当时，令，得或，
若，则，，
由，得，单调递增，
由，得，单调递减，
所以函数在定义域内有最大值
，无最小值．
若，则，，
由，得，单调递增，
由，得，单调递减，
所以定义域内有最大值，无最小值．
证明：由知，当时，函数在定义域内的最大值为
，
因为有两个不同的零点，，所以，解得，
不妨设，
由题意知，
，
所以，
即，即，
设，
则，
所以当时，，单调递增，
所以，
即，
所以，
令，则上式可化为，
所以，
所以，
即，
所以，
又因为恒成立，
所以． 

【解析】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于较难题．
求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论的正负，的单调性，即可得出答案．
由知，当时，函数在定义域内的最大值为，由于有两个不同的零点，，则，解得，不妨设，进而可得，即，设，求导，分析单调性，可得，令，化简不等式，即可得出答案．
 

6.【答案】解：由题可知，函数的定义域为，

，

令，

因为函数有两个极值点，，

所以函数有两个零点，，
，

当时，，在上单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；

当时，令，得，

所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．

注意到，

所以当，即时，有唯一零点，不符合题意．

当，即时，在单调递减，且有唯一零点，．

，设，，

则，所以在上单调递减，

所以，即，所以．

又，所以在上有唯一零点．

此时有两个零点，符合题意．

当，即时，在上有唯一零点，．

而，所以，
令，
所以函数在上单调递增，所以，即，
所以，

所以在上有唯一零点．

此时有两个零点，符合题意．

综上，的取值范围是．

由知，当时，有两个极值点，，

不妨设，则，．

因为，所以．

设，，

则，

设，，则，

所以在上单调递减，所以，即，

所以在上单调递减．

因为，

所以，，

即证得．

【解析】本题考查利用导数根据极值或极值点求参，利用导数证明不等式，是较难题．
先求定义域为，求导可得，令，由函数有两个极值点，，则函数有两个零点，，再根据函数的性质即可得解；

由知，当时，不妨设，则，，由，所以，考查函数，即可得解．

7.【答案】解：由条件知函数在上恒大于等于零，

即在上恒成立，

则在上恒成立，

所以或

解得．

当时函数存在两个极值点，且是方程的两根，所以，且，，，所以，，所以，又，由可知，设，，则，故要证成立，只要证成立，下面证明不等式成立，构造函数，则，所以在上单调递增，，即成立，令，即得不等式，从而成立．

【解析】本题考查导数单调性求参数，导数与不等式恒成立，属于难题．

由题意得在上恒成立，然后结合二次不等式的恒成立与二次函数的性质可求；

由题意得，是方程的两根，结合方程的根与系数关系可得，且，结合函数零点性质可表示出，

要证不等式成立，问题转化为证成立，然后结合要证不等式特点考虑构造函数，结合导数可求证．

8.【答案】解：，则，
显然不是的零点，
，
令，则，
在单调递减，在单调递减，在单调递增．
(ⅰ)当时，若，则，若，则
(ⅱ)当时，若时，则，若，则，；
当时，有个极值点，
当时，有个极值点，
当时，有个极值点．
证明：由知，，且，，
在单调递减，在单调递增，
先证：，
即证：．

．
即证：，
即证：
令，，
即证：，，

令，则，
令，则，则在单调递减，
，
，即在单调递减，
，证毕．
再证：，
，且，
．
在单调递增，在单调递减，在单调递增，

即证：，
又，
即证：．
令，，
．
令，
，设，
，设，
．
令，，
，
，在单调递减，在单调递增．
，，
，当时，，单调递增
当时，，单调递减．
，，
，在单调递减，在单调递增．
，，
，在单调递增，在单调递减．
，，
当时，，
当时，，
在单调递增，
，
原命题得证． 

【解析】本题考查了利用导数证明不等式以及利用导数研究函数的极值等知识，属困难题．