2023届高考数学重难点专题12三角恒等变换专练C卷

12三角恒等变换专练C卷

一、单选题

1.  已知，是方程的两根，有以下四个命题：甲：乙：丙：丁：如果其中只有一个假命题，则该命题是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

2.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，则(    )

A.  B.
C.  D.

7.  将方程的所有正数解从小到大组成数列，记，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，且，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

9.  已知，其中且，则下列结论一定正确的是

A.  B.
C.  D.

10.  在中，角，，所对的边分别为，，若，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知函数，则(    )

A. 存在，使得为奇函数
B. 任意，使得直线是曲线的对称轴
C. 最小正周期与有关
D. 最小值为

三、填空题

12.  已知，则的最大值为          ．

13.  在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，则的值为          ；的值为          ．
 

14.  在锐角中，是外接圆的圆心，角、、所对的边分别为、、，满足，则          ，若实数满足，则实数          ．

四、解答题

15.  已知函数

解不等式

若，且的最小值是，求实数的值．

16.  已知函数
    若，求；
    当时，讨论函数的零点个数．

17.  已知函数．
若，求的取值集合；
若对任意的恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了命题真假的判断，涉及两角和与差的正余弦正切计算，属于基础题．

【解答】

解：因为，是方程的两根，
所以，，
则甲：，
丙：，
若乙，丁都是真命题，
则，，
所以，
，
两个假命题，与题意不符，所以丁，乙一真一假，
假设丁是假命题，由丙和甲得，，
所以，
即，所以，与乙不符，假设不成立，
假设乙是假命题，由丙和甲得，又，
所以，即与丙相符，假设成立故假命题是乙．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换的综合应用，属于基础题．

【解答】

解：，

，故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式和诱导公式的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题．
先利用二倍角公式求得的值，而，再由诱导公式可得的值，从而得解．

【解答】

解：，
，
，
，
．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用二倍角公式，确定，再利用条件平方，即可得出结论．

【解答】

解：，，
，则，
，
，
．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式及同角三角函数关系式，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
解法一：利用二倍角公式及同角三角函数关系式即可求解；
解法二：利用构造直角三角形，结合三角函数的定义即可求解．
 

【解答】

解：解法一：，
，

，
且，

．
又，
．

负值舍去．

解法二：，
 

又，
，

．
如图，构造直角三角形，易知．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求，进而求解．

【解答】

解：因为，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，
所以．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换，数列的函数特征．
化简得，则，所以，再由三角恒等变换求解即可．

【解答】

解：，
得，
得，
则，
令，则的周期，
由的周期性，对称性知，
，
即，
则，
所以，
因为，
而，，
由题意，易得，
则，
得，，
则
，
即，
得，
又，则，
则
则．
故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查两角和差的三角函数公式，同角三角函数的基本关系，基本不等式，属于较难题．
由两角和差的三角函数公式可得，由同角三角函数的基本关系可得，由两角和的正切公式结合基本不等式可得结果．

【解答】

解：由，得，
所以，
两边同时除以，得，
所以，又，，
所以，且，
所以，
因为，所以，当且仅当，时取等号，
即
故选：

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、诱导公式以及同角三角函数的基本关系．
利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系逐一求解即可．

【解答】

解：因为，其中且，
对于选项A：，
所以或，即，
因为且，所以，所以，故A正确；
对于选项B：由上述分析因为，所以，
所以，故B错误；
对于选项C：因为，
当时，而，
则，故C错误；
对于选项D：由上述分析，因为，所以，故D正确；
故选AD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是三角函数二倍角公式，两角和与差公式，同角三角函数关系，正弦定理，属于较难题．
选项A：利用两角和与差公式进行化简计算即可；
选项B根据同角三角函数关系以及正切的和角公式结合基本不等式即可判断；
选项C：根据正弦的和角、差角公式以及二倍角公式结合正弦定理化简计算即可；
选项D：，结合即可判断．

【解答】

解：对于，由题意得，
所以，
于是，所以，所以A正确；

对于，因为，
当且仅当时，等号成立，所以B错误

对于，由得，

即，
所以，
于是，

所以，于是由正弦定理得：，所以C正确

对于，，即，D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的图象与性质，涉及函数的奇偶性、对称性及周期性，属于较难题．
举例，如，即可判断；判断与是否相等，即可判断；举例如和，即可判断；令，则，利用换元法结合二次函数的性质即可判断．

【解答】

解：对于，当时，，
因为，所以函数为奇函数，
所以存在，使得为奇函数，故A正确；
对于，，
因为

，
所以函数关于对称，
即任意，使得直线是曲线的对称轴，故B正确；
对于，当时，，
最小正周期，
当时，，
因为，所以不是函数的周期，
所以最小正周期与有关，故C正确；
对于，令，则，
则，
则有，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
所以，故D错误．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的三角函数公式以及直线与圆的位置关系及判定，是中档题．
首先根据题意得到，设，，得到的轨迹方程为：，且点在上，从而得到直线与单位圆有交点，结合点到直线的距离公式求解即可．

【解答】

解：，
变形得，
设，，
因为点的轨迹方程为：，且点在上，
所以，
整理得：，即，
解得．
所以的最大值为．
故答案为：．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了任意角的三角函数，同角三角函数的基本关系，以及两角和的正切公式，属于中档题．
先由三角函数的定义可得根据题意求出，，再利用两角和的正切公式求解的值，将要求解的角进行凑配，即可得，然后利用两角和的正切公式求解，根据角的取值范围确定具体的值即可．

【解答】

解：由已知条件即三角函数的定义可知：
，，
因为为锐角，所以，
因此，
同理可得，，

所以．

所以

，
又因为，，
所以，

又因为，
所以．
故答案为；．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量，正弦、余弦定理以及两角和的余弦公式，三角形的内角和定理，属于较难题．
利用恒等变形求出的值；由是外接圆的圆心，取中点，得，化简；两边都乘以，得出；由正弦定理化简，两边同时除以得，利用三角形内角和定理与两角和的余弦公式，即可求出的值．

【解答】

解：在锐角中，
，
，
，
；
由是外接圆的圆心，取中点，
则有，如图所示；

；
由得，
即可化简为

，
即；
由正弦定理化简得，
由，两边同时除以得：，



，
故答案为．

15.【答案】解：

，
，

，

得，

所以不等式的解集为；

，

因为，所以，

故当时，当且仅当时，取得最小值为，这与已知矛盾；

当时，当且仅当时，取得最小值，由题意知

当时，当且仅当时，取得最小值为，由题意知，这与矛盾；

综上所述．

【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于较难题．
先利用两角和余差和二倍角等基本公式将函数化为的形式，结合其图象，令，即可得到不等式的解集；
时，化解，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出的最小值，可得实数的值．
 

16.【答案】解：，则，
，
故；
当时，，则，且在上单调递增，
由，
得或，
当时，方程只有个解，的零点个数为；
当时，方程与各有个解，且这个解不相等，的零点个数为；
当时，方程只有个解，的零点个数为．
综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为． 

【解析】利用两角和的正切函数求出，再利用两角差的正切函数即可求得答案；
根据条件得到在上单调递增，分类讨论求得的零点个数．
本题考查两角和与差的正切函数求值，考查函数零点个数与方程根的关系，转化思想，分类讨论思想，属于较难题．
 

17.【答案】解：
，
因为，所以，即，
所以或，
解得或．
故的取值集合为或；
由可得，
即．
因为，所以，所以，
则对任意的成立，即即可，

，
设，因为，所以，
则，当且仅当，即时，等号成立，
故，
故的取值范围是． 

【解析】本题考查了三角恒等变换及其应用，考查正弦函数的性质，考查了转化与化归思想和分离参数法及基本不等式的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
利用三角恒等变换，化简函数，由，结合正弦函数的性质可求得的取值集合；
代入化简，利用分离参数可得对任意的成立，将问题转化为求最值问题，结合换元法即可得到的取值范围．