山东省滨州市2023届高三上学期期末考试模拟数学试卷(含答案)

这是一份山东省滨州市2023届高三上学期期末考试模拟数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2、复数的实部和虚部之和为( )
A.1B.C.3D.
3、2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”，“雨水”，“惊蛰”，“春分”，“清明”，“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有( )
A.24B.48C.144D.240
4、函数的一个单调递减区间是( )
A.B.C.D.
5、已知，为椭圆的左，右焦点，为C的短轴的一个端点，直线与C的另一个交点为，若为等腰三角形，则( )
A.B.C.D.3
6、已知，分别为，，的左，右焦点，为双曲线右支上任一点，若最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、关于函数，下列判断正确的结论的个数是( )
①函数的图像在点处的切线方程为
②是函数的一个极值点；
③当时，；
④当时，不等式的解集为；
⑤恒成立的充分必要条件是；
A.2个B.3个C.4个D.5个
8、已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的，都有恒成立，则( )
A.B.1C.D.
二、多项选择题
9、已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A.
B.数列是公比为的等比数列
C.若，则数列的前2023项和为
D.若，则数列的前项和为
10、已知，是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是( )
A.和B.和
C.和D.和
11、如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是( )
A.当，时，点D到直线PQ的距离为
B.线段PQ的最小值为
C.平面平面BCD
D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为
12、记的导函数为，若对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有( )
A.B.C.D.
三、填空题
13、如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米(即桥拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为________米.
14、等比数列中，是其前项和，且，，则_________.
15、球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_________.
16、已知函数，现给出下列结论：
①有极小值，但无最小值
②有极大值，但无最大值
③若方程恰有一个实数根，则
④若方程恰有三个不同实数根，则
其中所有正确结论的序号为_________.
四、解答题
17、为了更好地帮助高二学生准备生物地理的等级考试，复旦附中就“住校备考”还是“回家备考”问题进行了抽样调查，调查数据如下表(单位：人)：
(1)根据表中数据回答，能否有95%以上的把握判定是否回家备考与性别有关?
(2)从“回家备考”的11人中选出4人进行座谈，设参加座谈的男生人数为X，求X的分布和期望.
说明：解答本题，可以参考如下资料：
.
18、在中，，，.
(1)求BC边的长；
(2)求的面积.
19、如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是矩形，，平面平面ABCD，二面角的大小为.
(1)求证：平面ABCD；
(2)求直线与平面PAC所成的角的正弦值.
20、已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数，数列的前n项之积为.
(1)写出这个数列的前5项；
(2)写出这个数列的通项公式并加以证明.
21、已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)设，，若过的直线与C交于，Q两点，且直线AP与BQ交于点.证明：
(i)点在定直线上；
(ii)若直线AQ与BP交于点S，则.
22、设函数，.
(1)若直线是曲线的一条切线，求b的值；
(2)证明：①当时，；
②，.(e是自然对数的底数，)
参考答案
1、答案：A
解析：略
2、答案：B
解析：，
z的实部为，虚部为1，实部与虚部之和为 QUOTE -1 -1.故选：B.
3、答案：C
解析：将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“雨水”，“谷雨”一起排列，然后将“清明”与“惊蛰”两块展板插空，所以不同的放置方式种数有 QUOTE A22×A33×A42=2×6×12=144 A22×A33×A42=2×6×12=144种.故选：C
4、答案：B
解析： QUOTE (1)f(x)=3sin⁡2π3-2x=-3sin⁡(2x- (1)f(x)=3sin⁡2π3-2x=-3sin⁡(2x-.
由， QUOTE -π2+2kπ⩽2x-2π3⩽π2+2kπ,k∈Z -π2+2kπ⩽2x-2π3⩽π2+2kπ,k∈Z得，， QUOTE π12+kπ⩽x⩽7π12+kπ,k∈Z π12+kπ⩽x⩽7π12+kπ,k∈Z，
QUOTE k=0 k=0时， QUOTE π12⩽x⩽7π12 π12⩽x⩽7π12，
时， QUOTE 1312π⩽x⩽1912π ƒ，
QUOTE k=-1 k=-1时， QUOTE -11π12⩽x⩽-5π12 -11π12⩽x⩽-5π12，
QUOTE ∴π12,7π12 ∴π12,7π12是的一个单调递减区间，故选B.
5、答案：A
解析：设 QUOTE AF1=t(t>0) AF1=t(t>0)，由椭圆的定义可得 QUOTE AF2=2a-t AF2=2a-t，由题意可知， QUOTE AF2>BF2=a AF2>BF2=a，由于 QUOTE △BAF2 △BAF2是等腰三角形，则 QUOTE |AB|=AF2 |AB|=AF2即 QUOTE a+t=2a-t a+t=2a-t，所以 QUOTE t=a2 t=a2，所以， QUOTE AF1=a2,AF2=3a2 AF1=a2,AF2=3a2，因此 QUOTE |AF|AF2=13 |AF|AF2=13，故选：A.
6、答案：B
解析：由定义知：，，
，
当且仅当 QUOTE 4a2PF2=PF2 Errr! Digit expected.，
即 QUOTE PF2=2a PF2=2a时取得等号，设，
QUOTE Px0,y0x0⩽-a Px0,y0x0⩽-a由焦半径公式得：
，
又双曲线的离心率，，故选B.
7、答案：C
解析：对于①：因为 QUOTE f(x)=ln⁡x+2ax f(x)=ln⁡x+2ax，则，
QUOTE f'(x)=1x-2ax2 f'(x)=1x-2ax2所以， QUOTE f(1)=2a,f'(1)=1-2a=a-2a f(1)=2a,f'(1)=1-2a=a-2a，所以函数的图像在处的切线方程 QUOTE y-2a=a-2a(x-1) y-2a=a-2a(x-1)，即 QUOTE (a-2)x-ay-a+4=0 (a-2)x-ay-a+4=0，故①正确；
对于②：当 QUOTE a<0 a<0时，对任意的 QUOTE x>0 x>0， QUOTE f'(x)=1x-2ax2>0 f'(x)=1x-2ax2>0，
此时函数在上单调递增，无极值，故②错误；
对于③：当时， QUOTE f(x)=ln⁡x+2x f(x)=ln⁡x+2x，定义域为 QUOTE (0,+∞) (0,+∞)， QUOTE f'(x)=1x-2x2=x-2x2 f'(x)=1x-2x2=x-2x2，
当 QUOTE 00,f(x) f'(x)>0,f(x)单调递增，
所以 QUOTE f(x)min=f(2)=ln⁡2+1 f(x)min=f(2)=ln⁡2+1，③正确；
对于④：当时， QUOTE f(x)=ln⁡x-2x f(x)=ln⁡x-2x，则 QUOTE f'(x)=1x+2x2>0 f'(x)=1x+2x2>0对任意的恒成立，
所以函数 QUOTE f(x)=ln⁡x-2x f(x)=ln⁡x-2x为上的单调递增函数，
由 QUOTE f(2x+1)-f(3x-1)>0 f(2x+1)-f(3x-1)>0可得，
QUOTE f(2x+1)>f(3x-1) f(2x+1)>f(3x-1)所以 QUOTE 2x+1>3x-1>0 Errr! Digit expected.，解得 QUOTE 13对于⑤： QUOTE f'(x)=1x-2ax2=ax-2ax2 f'(x)=1x-2ax2=ax-2ax2，当时， QUOTE f'(x)>0 f'(x)>0，所以在上单调递增，又 QUOTE f(1)=2a<0 f(1)=2a<0，不满足 QUOTE f(x)⩾0 f(x)⩾0恒成立；当时，由 QUOTE f'(x)=0 f'(x)=0得 QUOTE x=2a x=2a，当 QUOTE x∈0,2a x∈0,2a时，， QUOTE f'(x)<0,f(x) f'(x)<0,f(x)单调递减；当 QUOTE x∈2a,+∞ x∈2a,+∞时，， QUOTE f'(x)>0,f(x) f'(x)>0,f(x)单调递增，
所以 QUOTE x=2a x=2a时有唯一极小值，因此，
QUOTE f(x)min=f2a=ln⁡2a+1 f(x)min=f2a=ln⁡2a+1所以恒成立的一个充分必要条件是 QUOTE f(x)min⩾0 f(x)min⩾0，即 QUOTE ln⁡2a+1≥0 ln⁡2a+1≥0，得 QUOTE 08、答案：D
解析：函数的定义域为 QUOTE (-1,+∞) (-1,+∞)且 QUOTE f(x)⋅f(f(x)-1)=1 f(x)⋅f(f(x)-1)=1有意义，
令 QUOTE g(x)=f(x)-1 g(x)=f(x)-1，则
QUOTE g(x)∈(-1,+∞) g(x)∈(-1,+∞)又是上的单调函数，存在唯一 QUOTE -x0∈(-1,+∞) -x0∈(-1,+∞)，使 QUOTE gx0=fx0-1=2 gx0=fx0-1=2，且 QUOTE fx0=3 fx0=3，
由已知，有 QUOTE fx0⋅ffx0-1=1 fx0⋅ffx0-1=1，即 QUOTE 3⋅f(2)=1 Errr! Digit expected.， QUOTE ∴f(2)=13 ∴f(2)=13.故选：D.
9、答案：ABD
解析：设等差数列的公差为d， QUOTE d,∵a8=31 d,∵a8=31，
，
解得，，
QUOTE ∴an=3+4(n-1)=4n-1 ∴an=3+4(n-1)=4n-1，
对于A：， QUOTE ∴S19=19a10 ∴S19=19a10，即A正确；
对于B：， QUOTE B∵∵2a2n+2=28n+7,2a2n=28n-1 B∵∵2a2n+2=28n+7,2a2n=28n-1，， QUOTE ∴2a2n+2=28⋅28n-1,∴ ∴2a2n+2=28⋅28n-1,∴数列是公比为的等比数列，因此B正确；
对于C：，数列的前2023项和
，因此C不正确；
对于D：，则数列的前n项和
，因此D正确.
故选：ABD QUOTE ABD ABD.
10、答案：ABC
解析：根据平面基底的定义知，向量， QUOTE e1,e2 e1,e2为不共线非零向量，即不存在实数，使得 QUOTE e1=λe2 e1=λe2，对于A中，向量和 QUOTE e1+e2 e1+e2，不存在实数，使得 QUOTE e1=λe1+e2 e1=λe1+e2，符合题意；
对于B中，向量 QUOTE e1-2e2 e1-2e2和 QUOTE e2-2e1 e2-2e1，假设存在实数，使得 QUOTE e1-2e2=λe2-2e1 e1-2e2=λe2-2e1，
可得 QUOTE 1=-2λ-2=λ Errr! Digit expected.，此时方程组无解，所以 QUOTE e1-2e2 e1-2e2和可以作为基底，符合题意；
对于C中，向量 QUOTE e1+e2 e1+e2和假设存在实数，使得 QUOTE e1+e2=λe1-e2 e1+e2=λe1-e2，
可得 QUOTE 1=λ1=-λ Errr! Digit expected.，此时方程组无解，所以和可以作为基底，符合题意；
对于D中，向量和，假设存在实数，使得 QUOTE e1-2e2=λ4e2-2e1 e1-2e2=λ4e2-2e1，
可得 QUOTE 1=-2λ-2=4λ Errr! Digit expected.，解得 QUOTE λ=-12 λ=-12，所以和不可以作为基底，不符合题意；
故选：ABC QUOTE ABC ABC.
11、答案：BCD
解析：略
12、答案：BC
解析：构造函数 QUOTE F(x)=f(x)x F(x)=f(x)x，则 QUOTE F'(x)=f'(x)×x-f(x)x2>0 F'(x)=f'(x)×x-f(x)x2>0，所以在上单调递增，所以，即 QUOTE f(1)1>f1212 f(1)1>f1212，，A QUOTE f(1)>2f12,A f(1)>2f12,A错误；
QUOTE F(1)构造函数 QUOTE h(x)=f(x)-xx2 h(x)=f(x)-xx2，则 QUOTE h'(x)=xf'(x)+x-2f(x)x3<0 h'(x)=xf'(x)+x-2f(x)x3<0，所以在上单调递减，所以，即，，C正确；
QUOTE h(1)>h(2) h(1)>h(2)，即 QUOTE f(1)-11>f(2)-24 f(1)-11>f(2)-24，，D QUOTE f(1)>14f(2)+12,D f(1)>14f(2)+12,D错误；故选：BC.
13、答案：
解析：以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立如图的平面直角坐标系，则抛物线的方程为 QUOTE x2=-2py x2=-2py.因为点 QUOTE A(-5,-5) A(-5,-5)在抛物线上，所以 QUOTE (-5)2= (-5)2=，即 QUOTE 2p=5 Errr! Digit expected.，故抛物线的方程为 QUOTE x2=-5y x2=-5y.设河水上涨1米后，水面与桥的交点坐标为 QUOTE x0,-4 x0,-4，则 QUOTE x02=20 x02=20，得，所以此时桥洞中水面的宽度为米.故答案为.
14、答案：700
解析：略
15、答案：或
解析：当圆锥的顶点和底面在球心的两侧时，如图所示
设球面半径为r，则球心到圆锥底面的距离是 QUOTE r2 r2，于是圆锥的底面半径为，高为.则该圆锥的体积为，
而球的体积为 QUOTE 43πr3 Errr! Digit expected.，所以该圆锥的体积与球的体积的比值为 QUOTE 38πr343πr3=932 Errr! Digit expected..
当圆锥的顶点和底面在球心的同一侧时，如图所示
圆锥的底面半径为，高为.
则圆锥的体积，
QUOTE V=13π⋅3r22⋅r2=πr38 V=13π⋅3r22⋅r2=πr38而球的体积为，所以该圆锥的体积与球的体积的比值为 QUOTE πr3843πr3=332 πr3843πr3=332.
故答案为：或.
16、答案：②④
解析：由函数 QUOTE f(x)=x2-3ex f(x)=x2-3ex，可得导数为 QUOTE f'(x)=x2+2x-3ex f'(x)=x2+2x-3ex，当 QUOTE -31 x>1或时， QUOTE f'(x)<0,f(x) f'(x)<0,f(x)， QUOTE f'(x)>0,f(x) f'(x)>0,f(x)递增.当 QUOTE x→-∞ x→-∞时， QUOTE f(x)→0 f(x)→0；当 QUOTE x→+∞ x→+∞时， QUOTE f(x)→+∞ f(x)→+∞.作出函数的图象，可得：
在处取得极小值，且为最小值在处取得极大值，且为 QUOTE 6e-3 Errr! Digit expected.，无最大值.故①错；②对；若方程 QUOTE f(x)=b f(x)=b恰有一个实数根，
可得或 QUOTE b>6e-3 b>6e-3，故③错；若方程恰有三个不同实数根，
可得 QUOTE 017、答案：(1)见解析；
(2)分布列见解析，期望为.
解析：(1)由，
所以有95%以上的把握判定回家备考与性别有关.
(2)由题设，X可能值为，
，，，，
X分布列为
.
18、答案：(1)；
(2)9.
解析：(1)由，且，，
；
(2)在中，，，，
，，
所以.
19、答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：(1)四棱锥中，四边形ABCD是矩形，所以，
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD
所以平面PAB，
又因为AB，PA，平面PAB，所以，，，
从而是二面角的平面角，
因为二面角的大小为，所以，
在中，，所以，所以，
即，
又因为，，所以平面ABCD；
(2)在底面ABCD内，过点作，垂足为H，连接PH，
由(1)知平面ABCD，又平面ABCD，所以，
又因为，，所以平面PAC，
从而为直线PB与平面PAC所成角，
设，则，，
所以，，，
所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为.
20、答案：(1)1，4，，，；
(2)
解析：(1)已知，由题意，得，.
，.
同理，可得，.
因此这个数列的前5项分别为1，4，，，.
(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：
下面用数学归纳法证明当时，.
①当时，，结论成立.
②假设当(，)时，结论成立，
即.
，
，这就是说当时，结论也成立.
根据①②可知，当时，这个数列的通项公式是
.
这个数列的通项公式为
21、答案：(1)；
(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.
解析：(1)由题意可知：，
所以点M到点与到点的距离之差为2，且，
所以动点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设其方程为(，，)，其中，，
所以，，
所以，所以曲线C的方程为.
(2)(i)设直线PQ的方程为，，，其中，.
联立，消去，可得，
由题意知且，
所以，.
直线，直线①，
由于点在曲线C上，可知，所以，
所以直线②.
联立①②，消去y可得，
即，
所以，
所以，所以，
所以点在定直线上.
(ii)由题意，与(i)同理可证点S也在定直线上.
设，，
由于在直线上，S在直线上，
所以，，
所以
，
又因为，，
所以，所以.
22、答案：(1)
(2)①证明见解析②证明见解析
解析：(1)由，则，
设在上的切点为，
从而，
故在上的切点为，
将代入得，，
故b的值为.
(2)①当时，，
不妨令，则，
故在上单调递减，
从而对，都有，
故当时，.
②(i)由①知，当时，，
从而，
故，
欲证，只需证，
则，
令，则，
从而在上单调递减，
因为，，
由零点存在的基本定理可知，，使得，
从而，
结合在上单调递减可知，；，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而，
故，
即当时，；
(ii)由，从而在上单调递增，
故当时，，
又因为在上单调递增，
故当时，，
当时，，此时，
综上所述，，.
住校备考
回家备考
合计
男
4
8
12
女
10
3
13
合计
14
11
25
0.25
0.15
0.10
0.05
0.01
k
1.323
2.072
2.706
3.841
6.635
X
1
2
3
4
P