山东省烟台市2022届高三上学期期末学业水平诊断数学试卷(含答案)

这是一份山东省烟台市2022届高三上学期期末学业水平诊断数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2、命题“，”的否定为( )
A.，B.，C.，D.，
3、函数的定义域为( )
A.B.C.D.
4、在生活中，人们常用声强级y(单位：dB)来表示声强度I(单位：)的相对大小，具体关系式为，其中基准值.若声强度为时的声强级为60dB，那么当声强度变为时的声强级约为( )(参考数据：)
A.63dBB.66dBC.72dBD.76dB
5、若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( )
A.B.C.D.
6、已知，，，则( )
A.B.C.D.
7、若直线将圆分成的两段圆弧长度之比为，则实数a的值为( )
A.B.或2C.2D.或4
8、若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、已知，，则下列命题成立的有( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
10、函数(，)的部分图象如图所示，则( )
A.的值为2
B.的值为
C.是函数的一个增区间
D.当时，取最大值
11、已知抛物线的焦点为，点A，B为C上两个相异的动点，则( )
A.抛物线C的准线方程为
B.设点，则的最小值为4
C.若A，B，F三点共线，则的最小值为2
D.若，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则
12、如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是( )
A.棱上存在一点M，使得平面
B.直线到平面的距离为
C.过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D.过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
三、填空题
13、在等差数列中，，则_________.
14、已知，，则的值为_________.
15、若是函数的极值点，则的极大值为_________.
16、如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠，在折叠过程中三棱锥体积的最大值为________，此时异面直线与CD所成角的余弦值为_________.
四、解答题
17、在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.
问题：在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，D为AC边的中点，若_________，求BD的长度.
18、如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切.设点D为BC的中点，.
(1)用分别表示线段BC和PD长度；
(2)当时，求三棱锥的侧面积S的最小值.
19、如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形，且面底面ABCD.
(1)若M为BC中点，求证：；
(2)求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值.
20、已知椭圆的长轴长为4，点在上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，过定点的直线与椭圆交于C、D两点(异于点A，B)，试探究直线AC，BD的交点的横坐标是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.
21、已知数列满足，.
(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前2n项和.
22、已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上有零点，
①求a的取值范围；
②求证：.
参考答案
1、答案：A
解析：因为集合， QUOTE A={-1,0,1,2},B={x∣(x+1)(x-2)<0}={x∣-12、答案：A
解析：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定， QUOTE ∃x∈R,2x⩽0 ∃x∈R,2x⩽0.故选：B.
3、答案：C
解析：由已知可得 QUOTE 4-x2≥0x+1>0ln⁡(x+1)≠0 Errr! Digit expected.，即 QUOTE -2≤x≤2x>-1x≠0 -2≤x≤2x>-1x≠0，因此，函数的定义域为 QUOTE (-1,0)⋃(0,2] (-1,0)⋃(0,2].故选：C.
4、答案：B
解析：因为若声强度为时的声强级为60dB QUOTE 60 dB 故选：B
5、答案：C
解析：双曲线 QUOTE mx2-y2=1 mx2-y2=1的一条渐近线方程为 QUOTE 3x-4y=0 Errr! Digit expected.，
，，，， QUOTE c=53 c=53，双曲线的离心率为 QUOTE e=ca=54 e=ca=54.故选：C.
6、答案：D
解析：因为，， QUOTE |a|=1,|b|=2,a∙b=-12 |a|=1,|b|=2,a∙b=-12，所以，
则，故选：D.
7、答案：D
解析：圆的标准方程为 QUOTE (x-a)2+(y-3)2=9 (x-a)2+(y-3)2=9，则圆心为 QUOTE (a,3) (a,3)，半径 QUOTE r=3 r=3，设直线和圆相交与AB QUOTE AB AB，由较短弧长和较长弧长之比为 QUOTE 1:3 Errr! Digit expected.，则 QUOTE ∠AOB=π2 ∠AOB=π2，故，则圆心到直线 QUOTE x-y+2=0 x-y+2=0的距离，即，解得 QUOTE a=-2 a=-2或4.故选：D.
8、答案：C
解析：因为定义域为R的奇函数 QUOTE f(x) f(x)在 QUOTE (-∞,0) (-∞,0)内单调递减，且 QUOTE f(2)=0 f(2)=0，所以在 QUOTE (0,+∞) (0,+∞)上也是单调递减，且 QUOTE f(-2)=0,f(0)=0 f(-2)=0,f(0)=0，，所以当 QUOTE x∈(-∞,-2)∪(0,2) x∈(-∞,-2)∪(0,2)时， QUOTE f(x)>0 f(x)>0，当 QUOTE x∈(-2,0)∪(2,+∞) x∈(-2,0)∪(2,+∞)时， QUOTE f(x)<0 f(x)<0，所以不等式 QUOTE (2x-1)f(x+1)⩾0 (2x-1)f(x+1)⩾0等价为，，，
解得 QUOTE -3⩽x⩽-1 -3⩽x⩽-1或 QUOTE 12⩽x⩽1 Errr! Digit expected.，所以满足 QUOTE (2x-1)f(x+1)⩾0 (2x-1)f(x+1)⩾0的x的取值范围是.故选：C.
9、答案：ABD
解析：由于， QUOTE a>0,b>0 a>0,b>0，且 QUOTE ab=1 ab=1，所以 QUOTE a2+b2⩾2ab=1 a2+b2⩾2ab=1，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C： QUOTE C:a2+b2≥(a+b)22=12 C:a2+b2≥(a+b)22=12，故C错 误；
对于D：由于 QUOTE a+b=1 a+b=1，，故D正确.故选：ABD QUOTE ABD ABD.
10、答案：AD
解析：根据函数 QUOTE f(x)=2sin⁡(ωx+φ) f(x)=2sin⁡(ωx+φ)的部分图象知， QUOTE T2=13π12-7π12=π2 T2=13π12-7π12=π2，所以 QUOTE T=π T=π， QUOTE ω=2πT=2 ω=2πT=2，选项A正确；
根据五点法画图知， QUOTE 2×7π12+φ=π Errr! Digit expected.，解得 QUOTE φ=-π6 φ=-π6，选项B错误；
因为 QUOTE f(x)=2sin⁡2x-π6 f(x)=2sin⁡2x-π6，且 QUOTE x∈-π4 x∈-π4，，所以不是的增区间，选项C错误；， QUOTE x=π3+kπ,k∈Z x=π3+kπ,k∈Z时， QUOTE 2x-π6=π2+2kπ Errr! Digit expected.，，函数取得最大值2，选项D正确.故选：AD.
11、答案：ABD
解析： QUOTE A AA中，右焦点坐标为 QUOTE (0,1) (0,1)，可得 QUOTE m4=1 m4=1，焦点 QUOTE m=4 m=4，所以抛物线的方程为 QUOTE x2=4y x2=4y，
故准线方程为： QUOTE y=-1 y=-1，所以A正确；
B中，过A QUOTE A A作AN垂直于准线于N点，则由抛物线的性质可得
QUOTE |PA|+|PF|=|PA|+|AN|⊥⩾|PN| |PA|+|PF|=|PA|+|AN|⊥⩾|PN|，当且仅当P，A，N QUOTE P,A,N P,A,N三点共线时取等号，所以 QUOTE |AP|+|PF| |AP|+|PF|的最小值为 QUOTE 3+1=4 Errr! Digit expected.，所以B正确；
C中，A，F，B QUOTE A,F,B A,F,B三点共线时，设直线的方程为 QUOTE y=kx+1 y=kx+1，设， QUOTE Ax1,y1,Bx2,y2 Ax1,y1,Bx2,y2，联立 QUOTE x2=4yy=kx+1 x2=4yy=kx+1，整理可得：，则 QUOTE x1+x2=4k x1+x2=4k， QUOTE y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2 y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2，所以，当时取等号，所以C不正确；
D中，过M，A，B QUOTE M,A,B M,A,B作准线的垂线，垂足分别为 QUOTE A',N,B' A',N,B'，N，则
，
在 QUOTE △ABF △ABF中，由余弦定理可得
，当且仅当 QUOTE |AF|+|BF| |AF|+|BF|时取等号，所以 QUOTE |AB|⩾|MN| |AB|⩾|MN|，故D正确，故选：ABD.
12、答案：BCD
解析：略
13、答案：2
解析：在等差数列 QUOTE an an中，由 QUOTE a2+a4+a5+a9=8 a2+a4+a5+a9=8得
，
即，故答案为：2.
14、答案：
解析：，，，
故答案为：.
15、答案：或
解析：由题意可得，
，则 QUOTE a=2 a=2， QUOTE f'(x)=-x2+1e-x,-x2+1=0 f'(x)=-x2+1e-x,-x2+1=0，，解得 QUOTE x=1 x=1或 QUOTE x=-1 x=-1， QUOTE x>1 x>1或 QUOTE x<-1,f'(x)<0 x<-1,f'(x)<0，，当， QUOTE -10 -10，所以函数在， QUOTE (-∞,-1),(1,+∞) (-∞,-1),(1,+∞)上单调递减，在 QUOTE (-1,1) (-1,1)上单调递增，故当时，函数取得极大值 QUOTE f(1)=4e f(1)=4e.故答案为： QUOTE 4e Errr! Digit expected..
16、答案：①②
解析：略
17、答案：见解析
解析：若选①：在中，因，由正弦定理得，
而，即有，整理得，
又，则，即，有，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理，
所以.
若选②：由，得，即，整理得，
在中，由余弦定理得：，而，则，
由正弦定理得，即，由，可得：，
则，有，因此有，又D为斜边AC中点，
所以.
若选③：依题意，，即，
在中，，于是得，即有，
由正弦定理得：，解得，由，可得：，则有，
从而有，即.
在中，由余弦定理得：，
所以.
18、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)连接OP，由题意O为的中心，
且面ABC，又面ABC，所以，
所以为直角三角形.
设半球与面PBC的切点为E，则且.
在中，，所以.
在中，.
(2)由题知，，
化简得，，
令，则上述函数变形为，，
所以，令，得.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，三棱锥的侧面积S的最小值为.
19、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)取AD中点O，连接OM.
因为在梯形ABCD中，O，M分别为AD，BC的中点，
所以，又，所以.
因为为等边三角形，故，
又面底面ABCD，面面，
面ADP，故底面ABCD.
因为面ABCD，所以.
又因为，所以面POM，
而面POM，故.
(2)由(1)可知，以O为坐标原点，以向量，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设为平面PAD的一个法向量，
则，即，令，则.
设为平面PBC的一个法向量，则有
则，即，令，
则.
于是，
因为由图可知面PAD与面PBC所成的二面角为锐角，
所以面PAD与面PBC所成的二面角的余弦值为.
20、答案：(1)
(2)4
解析：(1)由题意，得，
又在椭圆上，所以，解得，.
所以椭圆的方程为.
(2)可得，，
若直线CD与x轴重合，则CD与AB重合，不合乎题意，
设直线CD的直线方程为，设点，，
联立，消x整理得，
，
由韦达定理可得，.
直线AC的方程为，直线BD的方程为，
联立两条直线方程，解得.①
将，代入①，
得.②
将，代入②，
得.
因此，直线AC，BD的交点的横坐标为定值4.
21、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)依题意，
，
而，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，，.
(2)由(1)知，，
则有，
又，则，
于是有
，
因此，
，
所以.
22、答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)，.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上，时，在上单调递增，
当时在上单调递增，在上单调递减.
(2)①注意到，，
由(1)知，当时，在上单调递增，
对任意，恒有，不合题意；
同理，当时，在上单调递减，
又，所以对任意，恒有，不合题意；
当时，，由(1)知，在上单调递增，
在上单调递减，所以，
又当时，，
由零点存在定理知，存在唯一一点，使得，满足题意.
综上所述，a的取值范围为.
②由①知，当时，，
解得.要证，只需证.
令，，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以在上恒成立，即，即.
要证，只需证，即.
又因为，即证.
令，，则.
又，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
所以在恒成立，所以在上单调递减，
又，所以，即，不等式得证.