2022年中考专题训练——反比例函数与一次函数综合

中考专题训练——反比例函数与一次函数综合
1．如图，如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（m ，1）和B （1，）．
（1）填空：一次函数的解析式为　 　，反比例函数的解析式为　 　；
（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．

2．如图，已知一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，n），与x轴相交于点B．
（1）求k的值以及点B的坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2017舟山）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．

（1）求这两个函数的表达式；
（2）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
4．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

5．在平面直角坐标系xOy中，直线x=3与直线y=x+1交于点A，函数y=（k＞0，x＞0）的图象与直线x=3，直线y=x+1分别交于点B，C．
（1）求点A的坐标．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y=（k＞0，x＞0）的图象在点B，C之间的部分与线段AB，AC围成的区域（不含边界）为W．
①当k=1时，结合函数图象，求区域W内整点的个数；
②若区域W内恰有1个整点，直接写出k的取值范围．

6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于，两点，与反比例函数的图象交于点，点的横坐标为4．

（1）求的值；
（2）过点作轴，垂足为，点是该反比例函数的图象上一点，连接，，且．
①求点的坐标；
②求点到直线的距离的值．
7．如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接OB．

（1）求k和b的值；
（2）根据图象直接写出的解集；
（3）在轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系xOy中，直线L：y=kx+2k(k>0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数(x>0)的图象的交点P位于第一象限．
(1)若点P的坐标为(1，6)，
①求m的值及点A的坐标；
②=_________；
(2)直线h：y=2kx-2与y轴交于点C，与直线L1交于点Q，若点P的横坐标为1，
①写出点P的坐标(用含k的式子表示)；
②当PQ≤PA时，求m的取值范围．
9．如图，直线l1：y＝kx+b与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E，已知点A（1，3），点C（4，0）．
（1）求直线l1和双曲线的解析式；
（2）将△OCE沿直线l1翻折，点O落在第一象限内的点H处，求点H的坐标；
（3）如图，过点E作直线l2：y＝3x+4交x轴的负半轴于点F，在直线l2上是否存在点P，使得S△PBC＝S△OBC？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．


10．在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：
若，则称点为点的限变点．
例如：点的限变点的坐标为，点的限变点的坐标是．
（1）①的限变点的坐标是____________．
②若点在函数图象上，其限变点在函数的图象上，则函数的函数值随的增大而增大时自变量的取值范围是____________．
（2）若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．

11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接、，求的面积；
（3）设点在轴上，且满足是直角三角形，直接写出点的坐标．
12．如图，已知双曲线y=经过点B（3，1），点A是双曲线第三象限上的动点，过B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC．

（1）求k的值；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
13．已知直线与双曲线交于，两点，过作轴于点，过作轴于点，连接．

（Ⅰ）求，两点的坐标；
（Ⅱ）试探究直线与的位置关系并说明理由．
（Ⅲ）已知点，且，在抛物线上，若当（其中）时，函数的最小值为，最大值为，求的值．
14．在平面直角坐标系中，点 ， ，将直线平移与双曲线在第一象限的图象交于、两点．

（1）如图1，将绕逆时针旋转得与对应，与对应)，在图1中画出旋转后的图形并直接写出、坐标；
（2）若，
①如图2，当时，求的值；
②如图3，作轴于点，轴于点，直线与双曲线有唯一公共点时，的值为　　．


15．如图，直线和反比例函数的图象都经过点，点在反比例函数的图象上，连接．

（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）直线经过点吗？请说明理由；
（3）当直线与反比例数图象的交点在两点之间.且将分成的两个三角形面积之比为时，请直接写出的值．
16．如图，一次函数y=kx＋b与反比例函数的图象相交于A(2，4)、B(－4，n)两点．

（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b>的解集 ；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求S△ABC．
17．在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）的一个交点为.
（1）求k、m的值；
（2）过点且垂直于x轴的直线与、（）的图象分别交于M、N两点，，PM、PN中较小的为．
①当时，判断、的大小关系；
②若，结合函数图象，求a的取值范围．

18．如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于两点，交x轴于点C，P是x轴上一个动点。

（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（3）若与相似，请直接写出点P的坐标。
19．如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于C，D两点，交反比例函数图象于A（，4），B（3，m）两点.

(1)求直线CD的表达式；
(2)点E是线段OD上一点，若，求E点的坐标；
(3)请你根据图象直接写出不等式的解集.
20．已知反比例函数与一次函数（k≠0），一次函数的图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．

（1）当k=－1时，如图，设直线 与双曲线的两个交点为A、B（B在A的右边），求△OAB的面积；
（2）若直线 与双曲线总有两个不同的交点，求k的取值范围；
（3）若直线 与双曲线交于不同的两点M（）、N（）,且满足，求k的值.

参考答案：
1．(1) ，；（2）点P的坐标为(，0)或(4，0)
【分析】（1）将点B坐标代入一次函数以及反比例函数即可求出两者的解析式；
（2）设点P的坐标为(x，0),分和两种情况分析讨论．
【解析】解：（1）将B （1，）代入一次函数，解得：
∴一次函数的解析式为：
将B （1，）代入反比例函数，解得，
∴反比例函数的解析式为：．
故答案为：，；
(2)将点A（m ，1）代入，解得：，即，
设点P的坐标为(x，0)
如图1，当时，
， ，，，
由△ACP∽△PDB得：，
∴，
解得：(负值舍去)．
如图2，当时，
，,，
由△ACB∽△BDP得：，
∴，
解得：
所以点P的坐标为(，0)或(4，0)．      
                      
【点评】本题是一道一次函数与反比例函数相结合的题目，涉及到的知识点有求一次函数解析式、求反比例函数解析式、相似三角形的判定及性质、两点间的距离等，解此题时注意分情况讨论，不要漏解．
2．（1）k的值为6，B点坐标为（，0）；（2）存在，（0，）
【分析】（1）根据一次函数解析式，先代入y=0得到B点坐标，再利用一次函数进行确定A（2，3），然后把A点坐标代入y＝中可得到k的值；
（2）作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于P点，则B′（﹣，0），利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出直线AB′与y轴的交点坐标得到满足条件的P点坐标．
【解析】（1）当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝，
∴B点坐标为（，0），
把A（2，n）代入y＝x﹣2得：n＝×2﹣2＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
即k的值为6，B点坐标为（，0）；
（2）存在，理由如下：
作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于P点，如图，则B′（﹣，0），

∵PB′＝PB，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，
∴此时PA+PB的值最小，
设直线AB′的解析式为y＝mx+n，
把A（2，3），B′（﹣，0）代入得 ，
解得 ，
∴直线AB′的解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝x+＝，
∴满足条件的P点坐标为（0，）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式，熟练运用各知识点是解题的关键．
3．（1），；（2）或．
【分析】（1）根据题意直接利用待定系数法进行分析计算即可解决问题；
（2）由题意分三种情形讨论：当时，；当时，；当时，，分别解方程即可解决问题.
【解析】解：（1）把A（-1，2）代入，得到k2=-2，
反比例函数的表达式为；
∵B（m，-1）在上，
∴m=2，
由题意可得，解得：，
∴一次函数的表达式为.
（2）当时，，
∴（不符合题意，舍去），
∵，
∴，
当时，，
∵，∴，
当时，，
∵，
∴，
∴或．
【点评】本题考查反比例函数综合题．一次函数的性质、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用分类讨论的思想思考问题.
4．（1）；（2）（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，P（0，1）或  P（0，﹣1）
【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解；
（2）设P（x，0），由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解.
【解析】（1）把点A（1，a）代入y=﹣x+3，得a=2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数y=，
∴k=1×2=2；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC=|3﹣x|，
∴S△APC=|3﹣x|×2=5，
∴x=﹣2或x=8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，
理由如下：联立，
解得：或，
∴B点坐标为（2，1），

∵点P在y轴上，
∴设P（0，m），
∴AB=，AP=，PB=,
若BP为斜边，
∴BP2=AB2+AP2 ，
即 =2+，
解得：m=1，
∴P（0，1）；
若AP为斜边，
∴AP2=PB2+AB2 ，
即 =+2，
解得：m=﹣1，
∴P（0，﹣1）；
综上所述：P（0，1）或  P（0，﹣1）.
【点评】此题考查一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与动点构成的三角形面积问题，勾股定理，直角三角形的性质.
5．（1）A（3，）；（2）①在W区域内有1个整数点；②当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20
【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）①当k=1时，求得B、C的坐标，根据图象得到结论；
②分两种情况根据图象即可得到结论．
【解析】解：（1）直线x=3与直线y=x+1交于点A，
∴ ，解得 ，
∴A（3，）；
（2）①当k=1时，根据题意B（3，），C（，），

由图像可得，在W区域内有1个整数点：（2，1）；
②若区域W内恰有1个整点，
当C点在直线x=3的左边时，如图1，在W区域内有1个整数点：（2，1），
∴1≤k＜2；
当C点在直线x=3的右边时，如图2，在W区域内有1个整数点：（4，4），
∴16＜k≤20；

综上，当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
6．（1）2；（2）①；②
【分析】（1）先求出点C的坐标，然后代入反比例函数的解析式，即可求出k的值；
（2）①根据题意，得到轴，然后得到点E的横坐标，代入反比例函数的解析式，即可求出点E的坐标；
②先证明，得到，然后求出EH、OA、OB的长度，即可求出EF的长度，可得答案．
【解析】解：（1）点在直线上，点的横坐标为4，
，
，
∵点在反比例函数的图象上，
；
（2）如图：

①∵，
∴点在线段的垂直平分线上.
轴，垂足为，
轴，
∵点的坐标为，
∴点的横坐标为2
∵点在反比例函数的图象上，
∴点的坐标为；
②过点作直线，垂足为，

过点作轴，垂足为，延长交于点，
轴，

，
，
，
设点的坐标为.


又∵点在直线上，
，
，
，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用相似三角形的性质，求出所需的边的长度．
7．（1），；（2）或；（3）存在，在轴上存在一点P，使得，点P的坐标是或．
【分析】（1）根据题意将分别代入和，求得b和k的值即可；
（2）由题意根据图象中的信息即可得到结论；
（3）根据题意过点A作轴于点N，过点B作轴于点M以及过点A作轴于点E，过点C作轴于点D进行分析证明求解.
【解析】解：（1）将分别代入和，得，，
解得，.
（2）的解集为或.
（3）存在，过点A作轴于点N，过点B作轴于点M.如下图，
由（1）知，，，
∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为.
将代入，得，∴.
又∵，
∴.
∵，∴.
∴过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，如下图，
设，易得，，
解得或，∴或，
故在轴上存在一点P，使得，点P的坐标是或.

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．（1）①6；（−2，0）②；（2）①P（1，3k）②m≥3
【分析】（1）①把P（1，6）代入函数（x＞0）即可求得m的值，直线l1：y＝kx＋2k（k＞0）中，令y＝0，即可求得x的值，从而求得A的坐标；
②把P的坐标代入y＝kx＋2k即可求得k的值，进而求得B的坐标，然后根据勾股定理求得PB和PA，即可求得的值；
（2）①把x＝1代入y＝kx＋2k，求得y＝3k，即可求得P（1，3k）；
②分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2＋，若PQ＝PA，则＝1，根据平行线分线段成比例定理则＝＝1，得出MN＝MA＝3，即可得到2＋−1＝3，解得k＝1，根据题意即可得到当＝≤1时，k≥1，则m＝3k≥3．
【解析】（1）①令y＝0，则kx＋2k＝0，
∵k＞0，解得x＝−2，
∴点A的坐标为（−2，0），
∵点P的坐标为（1，6），
∴m＝1×6＝6；
②∵直线l1：y＝kx＋2k（k＞0）函数（x＞0）的图象的交点P，且P（1，6），
∴6＝k＋2k，解得k＝2，
∴y＝2x＋4，
令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∵点A的坐标为（−2，0），
∴PA＝，PB＝，
∴=，
故答案为；
（2）①把x＝1代入y＝kx＋2k得y＝3k，
∴P（1，3k）；
②由题意得，kx＋2k＝2kx−2，
解得x＝2＋，
∴点Q的横坐标为2＋，
∵2＋＞1（k＞0），
∴点Q在点P的右侧，
如图，分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标为1，2＋，

若PQ＝PA，则＝1，
∴＝＝1，
∴MN＝MA，
∴2＋−1＝3，解得k＝1，
∵MA＝3，
∴当＝≤1时，k≥1，
∴m＝3k≥3，
∴当PQ≤PA时，m≥3．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，勾股定理的应用，利用函数图象解决问题是本题的关键．
9．（1）y＝﹣x+4，y＝（x＞0）；（2）H（4，4）；（3）存在，点P的坐标为（﹣1，1）或（1，7）．
【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）证明OC＝OE＝4，由翻折得△CEH≌△CEO，进而证明四边形OCHE是正方形，即可求解；
（3）过点O作直线m∥BC交直线l2于点P′，在x轴取点H，使OC＝CH（即等间隔），过点H作直线n∥BC交直线l2于点P，则点P（P′）为所求点，即可求解．
【解析】解：（1）将A（1，3），C（4，0）代入y＝kx+b，得，解得：，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4．
将A（1，3）代入y＝（x＞0），得m＝3，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；
（2）将x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4，
∴E（0，4）．
∴△COE是等腰直角三角形．
∴∠OCE＝∠OEC＝45°，OC＝OE＝4．
由翻折得△CEH≌△CEO，
∴∠COE＝∠CHE＝∠OCH＝90°．
∴四边形OCHE是正方形．
∴H（4，4）；
（3）存在，理由：
如图，过点O作直线m∥BC交直线l2于点P'，
在x轴取点H，使OC＝CH（即等间隔），过点H作直线n∥BC交直线l2于点P，

S△PBC＝S△OBC，根据同底等高的两个三角形面积相等，则点P（P'）为所求点．
直线BC表达式中的k值为﹣1，则直线m、n表达式中的k值也为﹣1，
故直线m的表达式为：y＝﹣x①，
直线l2的表达式为：y＝3x+4②，
联立①②并解得：x＝﹣1，y＝1，故点P'（﹣1，1）；
设直线n的表达式为：y＝﹣x+s，而点H（8，0），
将点H的坐标代入上式并解得：s＝8，
故直线n的表达式为：y＝﹣x+8③，
联立②③并解得：x＝1，y＝7，
故点P的坐标为（1，7）；
综上，点P的坐标为（﹣1，1）或（1，7）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、翻折的性质、正方形的性质、三角形面积等；解题时要能够将这些知识点联系起来，灵活运用．
10．（1）①②或（2）
【分析】（1）①直接根据限变点的定义得出答案即可；
②点在反比例函数图像上，点的限变点为，据此即可得解；
（2）设点的坐标为，找出当、时点的坐标，由其纵坐标的取值范围是，即可求出的取值范围．
【解析】解：（1）①∵
∴的限变点的坐标是；
②设点 的坐标为
∵当时， ，此时 随 的增大而增大；
当时， ，此时 随 的增大而增大；
当时， ，此时 随 的增大而减小；
∴综上所述，自变量的取值范围是或．
故答案是：①②或
（2）根据题意，图像上的点的限变点必在函数的图像上，如图：

∴当，即当时，取最大值；
当时，，即；
当时，或，即或
∵
∴由图象可知，的取值范围是．
故答案是：
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，结合图像相对来说更好理解．
11．（1），；（2）9；（3）存在，满足条件的点坐标为
【分析】（1）先把A（-3，4）代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y= ；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为（6，-2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y=；
（2）先依据一次函数求得点C的坐标，进而得到△AOB 的面积；
（3）过A点作AP1⊥x轴交x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，即可得P1点的坐标为（-3，0）；再证明Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，利用相似比计算出P1P2的长度，进而得到OP2的长度，可得P2点的坐标为，于是得到满足条件的P点坐标．
【解析】（1）将代入，得．
∴反比例函数的解析式为，
将代入，
得
解得
∴
将分别代入，得
，解得
∴所求的一次函数的解析式为    
（2）当时，，
解得：，


∴
（3）存在
∴满足条件的点坐标为，理由如下：
过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图，

∴∠AP1C=90°，
∵A点坐标为(-3，4)，
∴P1点的坐标为(-3，0)；
∵∠P2AC=90°，
∴∠P2AP1+∠P1AC=90°，而∠AP2P1+∠P2AP1=90°，
∴∠AP2P1=∠P1AC，
∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，
∴ ，即，
∴P1P2=，
∴OP2=3+=，
∴P2点的坐标为(，0)，
∴满足条件的P点坐标为(-3，0)、(，0)．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会运用三角形相似知识求线段的长度．
12．（1）k=3；（2）y=x﹣2；（3）x＜﹣或0＜x＜3
【分析】（1）将B的坐标代入双曲线的解析式即可求出k的值．
（2）设△ABC中BC边上的高为h，由△ABC的面积为6 可求出h的值，从而可求出A的纵坐标为-3，然后即可求出点A的坐标，最后将A与B的坐标代入一次函数的解析式即可求出答案．
（3）找出反比例函数图象位于一次函数图象上方的部分即可求出x的范围．
【解析】（1）把B（3，1）代入y=中得，
解得k=3；
（2）设△ABC中BC边上的高为h，
∵BC⊥y轴，B（3，1）
∴BC=3，
∵△ABC的面积为6，
∴BC•h=6，
解得：h=4，
∴点A的纵坐标为1-4=-3，
把y=﹣3代入y=，得：-3=，
解得x=－，即A（﹣，﹣3），
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
把A（﹣，﹣3）和B（3，1）代入y=mx+n，
可得，
解得：m=，b=－2，
∴直线AB的解析式为y=x﹣2．
（3）反比例函数值大于一次函数值时即反比例函数图象位于一次函数图象上方的部分，
由图象可得：x＜﹣或0＜x＜3．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据条件求出反比例函数与一次函数的解析式．
13．（Ⅰ）若，则，，若，则，；（Ⅱ），理由见解析；（Ⅲ）的值为
【分析】（Ⅰ）把直线y＝x＋t与双曲线的解析式联立成方程组，解方程组即可求出交点坐标，即C、D两点的坐标；
（Ⅱ）位置关系是：平行，求出直线AB的解析式，与直线CD的解析式y＝x＋t比较，k相等说明两直线平行；
（Ⅲ）先求出C点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，最后通过分类讨论：①当时，②当，③当，分别根据函数的最小值为，最大值为，结合二次函数的性质列出方程，得出m，n的值．
【解析】解：（Ⅰ）联立，解得：或，
设，，
若，则，，
若，则，；
（Ⅱ），
理由：不妨设，
由（1）知， ，
∴，，
设直线的解析式为，
则将，两点坐标代入有：，，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴直线与的位置关系是；

（Ⅲ）将代入双曲线得，
将代入直线，得，
∵，
∴由（Ⅰ）知，
∴，
∵，在抛物线上，
∴，解得，
即，
由，可知，，
①当时，由函数的最小值为，最大值为，可知，
∴，即为一元二次方程的两解，即，
∵，
∴，．
又∵，
∴此情况不合题意；
②当，即时，
由函数的最小值为，最大值为，可知，
解得：，
此时，即，符合题意，
∴；
③当，即时，
由函数的最小值为，最大值为，可知，
解得：，
∵，
∴此情况不合题意，
综上所述，满足题意的的值为．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质以及分类讨论的数学思想是解题的关键．
14．（1）作图见解析，，；（2）①k=6；②．
【分析】（1）根据题意，画出对应的图形，根据旋转的性质可得，，从而求出点E、F的坐标；
（2）过点作轴于，过点作轴于，过点作于，根据相似三角形的判定证出，列出比例式，设，根据反比例函数解析式可得（Ⅰ）；
①根据等角对等边可得，可列方程(Ⅱ)，然后联立方程即可求出点D的坐标，从而求出k的值；
②用m、n表示出点M、N的坐标即可求出直线MN的解析式，利于点D和点C的坐标即可求出反比例函数的解析式，联立两个解析式，令△=0即可求出m的值，从而求出k的值．
【解析】解：（1）点 ， ，
，，
如图1，

由旋转知，，，，
点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，
，；
（2）过点作轴于，过点作轴于，过点作于，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
设，
，
，，
点，在双曲线上，
，
(Ⅰ)
①，
，
，
，
(Ⅱ)，
联立(Ⅰ)(Ⅱ)解得：，，
；
②如图3，

，，
，，
，
，
直线的解析式为(Ⅲ)，
双曲线(Ⅳ)，
联立(Ⅲ)(Ⅳ)得：，
即：，
△，
直线与双曲线有唯一公共点，
△，
△，
(舍或，
，
．
故答案为：．
【点评】此题考查的是反比例函数与一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、旋转的性质、相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
15．（1）；（2）直线经过点，理由见解析；（3）的值为或．
【分析】（1）依据直线l1：y=-2x+b和反比例数的图象都经过点P（2，1），可得b=5，m=2，进而得出直线l1和反比例函数的表达式；
（2）先根据反比例函数解析式求得点Q的坐标为，依据当时，y=-2×+5=4，可得直线l1经过点Q；
（3）根据OM将分成的两个三角形面积之比为，分以下两种情况：①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2；②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，再过M，Q分别作x轴，y轴的垂线，设点M的坐标为(a，b)，根据平行线分线段成比例列方程求解得出点M的坐标，从而求出k的值．
【解析】解：（1）∵直线和反比例函数的图象都经过点，
．

∴直线l1的解析式为y=-2x+5，反比例函数大家解析式为；
（2）直线经过点，理由如下.点在反比例函数的图象上，
．
点的坐标为．
当时，．
直线经过点；
（3）的值为或．理由如下：
OM将分成的两个三角形面积之比为，分以下两种情况：
①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2，
如图，过点M作ME⊥x轴交PC于点E，MF⊥y轴于点F；过点Q作QA⊥x轴交PC于点A，作QB⊥y轴于点B，交FM于点G，设点M的坐标为(a，b)，

图①
∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（，4），
∴AE=a-，PE=2-a，
∵ME∥BC,QM:PM=1:2，
∴AE:PE=1:2，
∴2-a=2(a-)，解得a=1，
同理根据FM∥AP，根据QG:AG=QM:PM=1:2，
可得（4-b）:(b-1)=1:2,解得b=3．
所以点M的坐标为（1，3），代入y=kx可得k=3；
②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，如图②，

图②
同理可得点M的坐标为（，2），代入y=kx可得k=.
故k的值为3或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标同时满足两函数解析式．解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，同时需要注意分类讨论思想的应用．
16．（1）；；（2）或；（3）6
【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，再求出B的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值＞反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，直接根据图象写出一次函数的值＞反比例函数的值x的取值范围．
（3）以BC为底，BC上的高为A点横坐标和B点横坐标的绝对值的和，即可求出面积.
【解析】解：（1）∵点在的图象上，
∴．
∴反比例函数的表达式为：；
∴，．
∵点，在上，
∴
∴
∴一次函数的表达式为：；  
（2）根据题意，由点，，
结合图像可知，直线要在双曲线的上方，

∴不等式kx＋b＞的解集为：或.
故答案为：或.
（3）根据题意，以为底，则边上的高为：4+2=6.  
∵BC=2，  
∴
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
17．（1），；（2）①，②
【分析】（1）把点A分别代入正比例函数和反比例函数，即可求出k、m的值；
（2）①当时，先求出点M、N的纵坐标，然后得到MN的长度，然后与PM进行比较，即可得到答案；
②当时，此时点M在点N上方，令，求出a的值，然后结合图像，即可得到当时，a的取值范围.
【解析】解：（1）将A代入、（）得，
解得：，；
（2）①当时，点M的纵坐标为：，点N的纵坐标为：，
∴.
此时点N在点M上方
∴.
∴；
②当时，此时点M在点N上方，
∴，设时点P坐标为，
则，
解得：或（舍），
如图，观察图象，

当时，a的取值范围是：；
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，以及掌握临界点的问题.熟练运用数形结合的思想进行解题. 错因分析：（1）代值计算时出错；（2）①判断错误；②不能想到在双曲线与直线交点的右侧还存在一个使得的点P.
18．（1）反比例函数关系式为：，一次函数关系式为：y=x-10；（2）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）P点坐标为（15，0）或(16，0)
【分析】（1）将点代入反比例函数中，可求a、m；再将点代入中，列方程组求k、b即可；
（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定y2＞y1时x的范围；
（3）先根据A、B、C三点的坐标AC和BC的长，再分，和两种情况，根据相似三角形的性质得出OP的长，从而确定P点的坐标
【解析】解：（1）∵反比例函数的图象于
∴a=4×（-8）=-32．
∵反比例函数的图象过
∴m=16
∵一次函数的图象过
∴；解得
∴反比例函数关系式为：，
一次函数关系式为：y=x-10；
（2）∵
由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方
∴当或时，一次函数的值大于反比例函数的值
（3）直线y=x-10与x轴的交点C的坐标为（20，0）
∵
∴AC=8，BC=2
当时，
∴, ∴PC=5
∴OP=15, ∴P点坐标为（15，0）
当时，
∴, ∴PC=4
∴OP=16, ∴P点坐标为（16，0）
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及相似三角形的判定和性质，体现了数形结合和分类讨论的数学思想，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）把点A（，4）代入中，化简计算可得反比例函数的解析式为，将点B（3，m）代入，可得B点坐标，再将A，B两点坐标代入，化简计算即可得直线AB的表达式，即是CD的表达式；
（2）设E点的坐标为，则可得D点的坐标为，利用，化简可得，即可得出E点的坐标；
（3）由图像，直接得出结论即可.
【解析】（1）把点A（，4）代入中，得：  解得    
∴反比例函数的解析式为  
将点B（3，m）代入 得m=2
∴B（3，2）
设直线AB的表达式为y=kx+b，则有
， 解得
∴直线AB的表达式为    
（2）设E点的坐标为  令，则
∴ D点的坐标为   DE=6-b
∵
∴
解得：
∴E点的坐标为
（3）∵A，B，两点坐标分别为（，4），（3，2），由图像可知，
当时，或
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握方程思想与分类讨论思想的应用．
20．（1）；（2）且k≠0；（3）k=1或
【分析】（1）首先联立两个函数的解析式求得交点坐标，再用得到面积.
（2）首先联立两个函数的解析式得到一个一元二次方程，把交点问题转化为一元一次方程又多少解的问题，根据根的判别式去判断.
（3）首先联立两个函数的解析式得到一个一元二次方程，根据韦达定理得到两根之积与两根之和的值，再把两边平方，代入求解即可.
【解析】（1）联立，得或 ， ∴A（2，3），B（3，2）
又D（5，0）∴
（2）由 =，得，△=25+24k＞0，∴且k≠0；
（3）由 =，得，∴、为方程的两个不相等的实数根.
则+= ，
则
=
解得k=1或且均为方程的解
∴k=1或.
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，在求两个函数图形的交点时，可联立两个函数表达式求公共解.在处理绝对值问题时，可以把绝对值平方后进行分析计算.