重难点04 幂函数与二次函数—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

这是一份重难点04 幂函数与二次函数—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版），共8页。试卷主要包含了幂函数的图象与性质特征的关系，求二次函数解析式的方法，二次函数单调性问题的求解策略，选B等内容，欢迎下载使用。
 重难点04  幂函数与二次函数1.幂函数的图象与性质特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.　 2.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：　3.二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．　4.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．　 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.（建议用时：40分钟）一、单选题1．设函数集合则为A． B．（0，1） C．（-1，1） D．【答案】D【解析】,令,则原不等式等价于,解得或,∴或，∴或，∴或，即或.,∴,∴.故选：D.2．关于函数，以下表达错误的选项是（    ）A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点【答案】C【解析】，最大值是1，A正确；对称轴是直线，B正确；单调递减区间是，故C错误；令的，故在函数图象上，故D正确，故选：C3．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（    ）A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0【答案】A【解析】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0，故选：A.4．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于，开口向下，对称轴为若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是.故选：D．5．函数的最大值是：（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，最大值为． 故选：A.6．函数是单调函数的充要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，又在区间上是单调函数，所以，解得，故选：A7．如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，幂函数在上单调递减，当时，幂函数在上单调递增，可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数，当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为，当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为，令，分别代入，，得到，，因为，可知曲线、对应的值分别为、.故选：A.8．若a>b，则A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．9．已知，，，则（      ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故.故答案为：C.10．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．11．函数的最小值为（    ）A．2 B．0 C． D．6【答案】B【解析】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，故选：B.12．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为A．16 B．18 C．25 D．【答案】B【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.二、填空题13．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.【答案】【解析】，因为为奇函数，所以故答案为：14．若函数，的图象关于直线对称，则______.【答案】6【解析】函数的对称轴为：，依题意，且，解得，，所以.故答案为：615．已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．【答案】．【解析】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．（方法二）显然，∴．令，则∵，∴．结合图象可得或．16．若，则满足的取值范围是_____.【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为. 三、解答题17．设为实数，函数．（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；【答案】(1) .(2) 在上单调递增，在上单调递减.【解析】（1），因为，所以，当时，，显然成立；当，则有，所以.所以.综上所述，的取值范围是.（2）对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上所述，在上单调递增，在上单调递减.18．已知，函数.(1)当时，求使成立的的集合；(2)求函数在区间上的最小值.【答案】(1) (2)最小值为【解析】解：（1）当a=2时，f（x）=x| x－2 |．当x<2时，由f（x）=x（2－x） =x，解得x=0或x=1；当x≥2时，由f（x）=x（ x－2 ）=x．，解得x=0(舍)或x=3．综上所述，使f（x）=x成立的的集合为{0，1，3}．（2）①当a≤1时，在区间[1，2]上，f（x）= x（x－a）=x2－ax．因为当1≤x≤2时，=2x－a>0，所以f（x）在[1，2]上单调递增，所以=f（1）=1－a②当1<a≤2时，在区间[1，2]上，f（x）=x| x－a |≥0，由f（a）=0知，=f（a）=0．③当a>2时，在区间[1，2]上，f（x）= x（a－x）=ax－x2．,若2<a<3，,所以=f（2）=2a-4．若a≥3，,所以=f（1）=a－1．综上所述，函数y=f（x）在区间上的最小值为