重难点05 指（对）数函数—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点05  指（对）数函数

1.比较指数幂大小的常用方法

（1）单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．

（2）取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．

（3）图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．　

2.求指数型复合函数的单调区间和值域的方法

(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．

(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：

当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；

当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反．　

3.比较对数值的大小的方法

（1）同底数：利用对数函数的单调性比较；

（2）同真数利用图象法或转化为同底数对数的倒数比较对数值

（3）底数、真数均不同→{引入中间量（如-1，0，1等）；

4.解对数不等式的函数及方法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；

(2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．　

5.解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

（1）求出函数的定义域；

（2）判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情况；

（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性。

2023高考仍将重点考查指数与指数函数、对数与对数函数这两个考点，考查利用指数运算、对数运算、及利用指数函数的图像与性质、对数函数图像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题

.（建议用时：40分钟）

一、单选题(共0分)

1．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题知：，解得且.

所以函数定义域为.

故选：B

2．已知函数，则对任意实数x，有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】，故A错误，C正确；

，不是常数，故BD错误；

故选：C．

3．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由指数函数的性质得，当，过且单调递减.

故选：B

4．下面不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，对数函数在单调递增，

故，，

即.

故选：A

5．化简的值为（         ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】B

【解析】原式

，

故选：B

6．已知，，，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，故.

故答案为：C.

7．已知，则（    ）

A．25 B．5 C． D．

【答案】C

【解析】因为，，即，所以．

故选：C.

8．若，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】，，

.

故选：C.

9．已知，，，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，即.

故选：C.

10．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得或

所以的定义域为

因为在上单调递增

所以在上单调递增

所以

故选：D

11．在区间上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A：由题意可知，的定义域为，

因为在在单调递减，单调递增，

所以在上为减函数，故A错误；

对于B：由题意可知，，

由反比例函数性质以及平移变换可知，在单调递增，故B正确；

对于C：由二次函数性质可知，在上单调递增，在上单调递减，故C错误；

对于D：由二次函数性质可知，在上单调递减，故D错误.

故选：B.

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】［方法一］：（指对数函数性质）

由可得，而，所以，即，所以.

又，所以，即，

所以.综上，.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

由，可得．

根据的形式构造函数 ，则，

令，解得 ，由 知 .

在 上单调递增，所以 ，即 ，

又因为 ，所以 .

故选：A.

二、填空题(共0分)

13．若，则实数的值是______.

【答案】

【解析】，

即，解得：.

故答案为：

14．设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______________．

【答案】

【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，

因为当时，，

所以，

故答案为：

15．不等式的解集是___________.

【答案】

【解析】，则，整理得，解得.

故答案为：.

16．若是奇函数，则_____，______．

【答案】     ；     ．

【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性

若，则的定义域为，不关于原点对称

若奇函数的有意义，则且

且，

函数为奇函数，定义域关于原点对称，

，解得，

由得，，

，

故答案为：；．

[方法二]：函数的奇偶性求参

函数为奇函数

[方法三]：

因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．

由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．

故答案为：；．

三、解答题

17．已知函数，其中常数满足.

（1）若，判断函数的单调性；

（2）若，求时的取值范围.

【答案】（1）当时，函数在上是增函数,当时，函数在上是减函数；（2）当时，则；当时，则.

【解析】（1）当时，任意，

则

∵，，

∴，函数在上是增函数,

当时，同理，函数在上是减函数；

（2）

当时，，则；

当时，，则.

18．已知函数，其中．

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性，并给予证明；

（3）求使的x取值范围．

【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）

【解析】(1)∵已知,∴,即,解得,故f(x)的定义域为(−1,1).

(2)∵的定义域关于原点对称, ,故函数是奇函数．

(3)由>0可得,即,解得,故求使>0的的取值范围是(0,1).