重难点22 空间中的平行与垂直关系—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（原卷版）

重难点22 空间中的平行与垂直关系

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

2.三种平行关系的转化

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.

3.证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理．②垂直于平面的传递性．③面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．

4.面面垂直判定的两种方法与一个转化

①两种方法：

(ⅰ)面面垂直的定义；

(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．

②一个转化：

在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

5.面面垂直性质的应用

①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．

②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

平行与垂直关系是高考的必考点。主要出现在解答题第一问的位置，点考查线面平行与垂直关系的证明；也可能出现在选择题，属于中档题。

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．在下列条件中，可判断平面与平行的是（    ）

A．都垂直于平面

B．内存在不共线的三点到的距离相等

C．l，m是内两条直线，且

D．l，m是两条异面直线，且

3．过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（    ）

A．4条 B．6条 C．8条 D．12条

4．在正方体中，为棱的中点，则．

A． B． C． D．

5．如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

6．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

A．若则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

7．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线相交，直线平面

D．直线与直线异面，直线平面

8．在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

9．在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（    ）

A．平面PDF B．平面PAE

C．平面平面ABC D．平面平面

10．对于不重合的两个平面与，给定下列条件：

①存在平面，使得，都垂直于；

②存在平面，使得，都平行于；

③存在直线，直线，使得；

④存在异面直线，，使得，，，．

其中，可以判定与平行的条件有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、多选题

11．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ）

A． B．

C． D．

12．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．过三棱柱的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有________条.

14．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为______________

15．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为______________.

16．已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：

①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；

②若∥，则平行于内的所有直线；

③若，且⊥，则⊥；

④若，，则⊥；

⑤若，且∥，则∥；

其中正确命题的序号是__________________．（把你认为正确命题的序号都填上）

四、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求证：平面.

18．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．