重难点25 椭圆—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点25 椭圆

1.用定义法求椭圆的标准方程

先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：

①b2＝a2－c2；

②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；

③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.

2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤

3.椭圆的常用性质

(1)若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则

①b≤|OP|≤a；

②a－c≤|PF|≤a＋c.

(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.

(3)与椭圆＋＝1(a>b>0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ>－b2)．

(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：

①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；

②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；

③△PF1F2的周长为2(a＋c)．

(5)若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－.

椭圆仍然是2023年的必考点。椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在中，

设，则，

又由椭圆定义可知

则离心率，

故选D.

2．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为离心率，解得，，

分别为C的左右顶点，则，

B为上顶点，所以.

所以，因为

所以，将代入，解得，

故椭圆的方程为.

故选：B.

3．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则

A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b

【答案】B

【解析】椭圆的离心率,化简得,

故选B.

4．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有

所以，所以

又因为，所以，，所以

所以答案选C.

5．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】若△AF1B的周长为4,

由椭圆的定义可知,,

,,，

所以方程为，故选A.

6．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】[方法一]：设而不求

设，则

则由得：，

由，得，

所以，即，

所以椭圆的离心率，故选A.

[方法二]：第三定义

设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：

故，

由椭圆第三定义得：，故

所以椭圆的离心率，故选A.

7．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，可知，因为，

所以，即，

所以椭圆的离心率为，故选C.

8．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，由，因为 ，，所以

，

因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；

当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．

故选：C．

9．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

由斜率为得，，

由正弦定理得,

所以，故选D.

10．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【解析】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：如图取与重合，则由直线同理由,故选A.

12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

【答案】D

【解析】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．

【答案】

【解析】试题分析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.

∴椭圆C的方程为

14．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．

【答案】

【解析】由于是圆，

即：圆

其中圆心为，半径为4

那么椭圆的长轴长为8，即，，，

那么短轴长为

故答案为：

15．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.

【答案】

【解析】由已知可得，

又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，

．∴．

设点的坐标为，则，

又，解得，

，解得（舍去），

的坐标为．

16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．

【答案】13

【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，

判别式，

∴，

∴ ， 得，

∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

故答案为：13.

三、解答题

17．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），，

根据离心率，解得或(舍)，

的方程为：，即．

（2）［方法一］：通性通法

不妨设,在x轴上方，过点作轴垂线，垂足为，设直线与轴交点为

根据题意画出图形，如图

，， ，

又， ，

，根据三角形全等条件“”，可得：，

，，，

设点为，可得点纵坐标为，将其代入，

可得：，解得：或，点为或，

①当点为时，故，

，，可得：点为，

画出图象，如图

, ，可求得直线的直线方程为：，

根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，

根据两点间距离公式可得：，面积为：；

②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图

, ，可求得直线的直线方程为：，

根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，

根据两点间距离公式可得：，

面积为： ，综上所述，面积为：.

［方法二］【最优解】：

由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为E．设，由题知，．

故，

①因为，如图，所以，．

②因为，如图，所以．

综上有

［方法三］：

由已知可得，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，由对称性可设，联立方程消去y得，

由韦达定理得，所以，

将其代入直线的方程得，所以，

则．

因为，则直线的方程为，

则．

因为，所，，

即，故或，即或．

当时，点P，Q的坐标分别为，

直线的方程为，点A到直线的距离为，

故的面积为．

当时，点P，Q的坐标分别为，

直线的方程为，点到直线的距离为，

故的面积为．

综上所述，的面积为．

［方法四］：

由（1）知椭圆的方程为，．

不妨设在x轴上方，如图．

设直线．

因为，所以．

由点P在椭圆上得，所以．

由点P在直线上得，所以．所以，化简得．

所以，即．

所以，点Q到直线的距离．

又．

故．即的面积为．

［方法五］：

由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为C，设，

由题知，所以．

（1）．

则．

（其中）．

（2）．

同理，．

（其中）

综上，的面积为．

18．已知椭圆C：的离心率为，且过点．

（1）求的方程：

（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】（1）由题意可得：，解得：，

故椭圆方程为：.

(2)［方法一］：通性通法

设点，

若直线斜率存在时，设直线的方程为：，

代入椭圆方程消去并整理得：，

可得，，

因为，所以，即，

根据,代入整理可得：

，        

所以，

整理化简得，

因为不在直线上，所以，

故，于是的方程为，

所以直线过定点直线过定点.

当直线的斜率不存在时，可得，

由得：，

得，结合可得：，

解得：或（舍）.

此时直线过点.

令为的中点，即，

若与不重合，则由题设知是的斜边，故，

若与重合，则，故存在点，使得为定值.

［方法二］【最优解】：平移坐标系

将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．

设，因为则，即．

代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．

又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．

故存在，使得．

［方法三］：建立曲线系

A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．

则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）．

用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）．

即．

对比项、x项及y项系数得

将①代入②③，消去并化简得，即．

故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．

经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．

［方法四］：

设．

若直线的斜率不存在，则．

因为，则，即．

由，解得或（舍）．

所以直线的方程为．

若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．

令，则．

又，令，则．

因为，所以，

即或．

当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；

当时，直线的方程为，所以直线恒过．

综上，直线恒过，所以．

又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．

取线段的中点为，则．

所以存在定点Q，使得为定值．