重难点15 数列的概念与简单表示法—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

这是一份重难点15 数列的概念与简单表示法—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版），共10页。试卷主要包含了an与Sn的关系，))，已知Sn求an的3个步骤等内容，欢迎下载使用。
 重难点15  数列的概念与简单表示法1.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝2.形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．3.形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式．4.已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)即可求出当n≥2时an的表达式；(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．5.在数列中有（均为常数且），从表面形式上来看是关于的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般方法：设 则而   即  ，故数列是以为公比的等比数列，借助它去求6.求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法，利用函数求最值．(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1. 2023年高考仍将以考查由递推公式求通项公式与已知前n项和或前n项和与第n项的关系式求通项为重点，特别是数列前项和与关系的应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练.（建议用时：40分钟）一、单选题1．已知数列满足，，则当时，等于A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设可知，.代入四个选项检验可知，故选C.2．已知数列对任意的满足，且，那么等于A． B． C． D．【答案】C【解析】∵对任意的p，q∈N*，满足ap＋q＝ap＋aq，∴p＝q＝n时，有a2n＝2an．又a2＝－6，∴a8＝2a4＝4a2＝－24，故a10＝a2＋a8＝－30． 3．已知数列对任意的满足，且，那么等于A． B． C． D．【答案】C【解析】∵对任意的p，q∈N*，满足ap＋q＝ap＋aq，∴p＝q＝n时，有a2n＝2an．又a2＝－6，∴a8＝2a4＝4a2＝－24，故a10＝a2＋a8＝－30． 4．已知数列满足， ，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为数列满足，，，，，，由上可知，对任意的，，.故选：B.5．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C. 6．已知数列满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B． 二、填空题7．数列满足，，则________．【答案】【解析】解：由已知得，，，所以，，，，，，．故答案为： 8．数列中，若=1，=2+3 （n≥1），则该数列的通项=________【答案】【解析】因为=2+3，所以，即是等比数列，公比为2，首项为，所以，即.故答案为：.9．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.【答案】；【解析】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1．考点:等比数列的通项公式．10．设数列中，，则通项 ___________．【答案】【解析】∵ ∴，，，，，，将以上各式相加得： 故应填；11．设数列的通项公式为N*），则__________．【答案】【解析】.故答案为：58.12．设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.【答案】【解析】由，则又数列为正项数列，即，所以，即 所以故答案为：13．已知数列{}的前项和，则其通项_______；若它的第项满足，则__________【答案】     2n-10，     8【解析】当n=1时，,经检验当n=1时，也满足上式，因而,由所以.14．已知数列，满足，，则的通项．【答案】【解析】当时，有两式作差可得，即则   两边同时相乘可得，，整理，得当时，可化为所以.显然，时，满足，时，不满足所以故答案为：.15．数列满足，前16项和为540，则 ______________.【答案】【解析】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.故答案为：.16．已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；   ②为等比数列；③为递减数列；       ④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；假设对任意的，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④. 三、解答题17．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】： 由已知条件知    ①于是．       ②由①②得．     ③又，       ④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：  由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法  由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.18．已知数列的前n项和满足．(1)写出数列的前三项；(2)求数列的通项公式；【答案】(1)，，(2)【解析】（1）解：当时，有：；当时，有：；当时，有：；综上可知，，；（2）解：由已知得：当时，化简得：上式可化为：当时，，所以故数列是以为首项，公比为2的等比数列．故数列的通项公式为：．