重难点14 平面向量的数量积及其应用—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（原卷版）

重难点14  平面向量的数量积及其应用

1．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．

(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.

(2)模：|a|＝＝.

(3)夹角：cos θ＝＝.

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.

2．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cos θ.

3．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

4．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．

5．a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为.

2023年高考仍将重点单独或与平面图形等知识结合重点平面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数量积计算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中档题或难题，题型为选择或填空.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知向量，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．若非零向量满足，且，则与的夹角为（  ）

A． B． C． D．

3．已知向量，，那么等于（    ）

A． B． C．1 D．0

4．已知向量满足，则（    ）

A． B． C．1 D．2

5．已知向量，若，则（    ）

A． B． C．5 D．6

6．已知非零向量，，若与互相垂直，则（    ）

A． B．4 C． D．2

7．设向量，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．已知是单位向量，.若向量满足（ ）

A． B．

C． D．

9．设为非零向量，且相互不共线，下列命题

①；②；

③不与垂直；④.

其中真命题是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

10．已知向量，满足，，，则（    ）

A．1 B． C． D．

11．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．是所在平面上一点，若，则是的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

二、填空题

13．已知向量、，若，则_____________．

14．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．

15．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM ＝2，则）的最小值是________．

16．如图，在平行四边形ABCD中，，则______.

三、解答题

17．已知向量，且.

(1)求的值；

(2)求函数的值域.

18．设向量，函数．

(1)求函数的最大值与最小正周期；

(2)求使不等式成立的的取值集合．