重难点26 双曲线—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

这是一份重难点26 双曲线—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版），共10页。试卷主要包含了双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点三角形的面积等内容，欢迎下载使用。
 重难点26  双曲线1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e＝＝＝.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.命题角度：（1）双曲线的定义及应用；（2）双曲线的标准方程；（3）双曲线的几何性质．核心素养：直观想象、数学运算（建议用时：40分钟）一、单选题1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A． B． C． D．【答案】A【解析】因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.2．若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于A．11 B．9 C．5 D．3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．3．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A． B． C． D．【答案】D【解析】所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离故选D4．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A． B． C．  D．【答案】A【解析】由．，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A．5．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A6．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为A． B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质． 7．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.9．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知在中，在中,故选B.10．已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为A． B．C． D．【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.11．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A． B．C．2 D．【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．12．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B. 二、填空题13．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.【答案】2【解析】联立，解得，所以.依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.故答案为：．14．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．【答案】4【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4.15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．16．已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为       ．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，∵，∴直线的方程为，即代入整理得，解得或 (舍)，所以P点的纵坐标为，∴=.故答案为：. 三、解答题17．已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程【答案】(1) 双曲线方程为(2) 满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和【解析】（1）由已知及点在双曲线上得解得；所以，双曲线的方程为．（2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为由  得    设直线与双曲线交于、，则、是上方程的两不等实根，且即且      ①这时 ，又即        所以  即 又      适合①式所以，直线的方程为与．18．已知双曲线C：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.（Ⅰ）求a,b；（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题设知，即，故.所以C的方程为.将y=2代入上式，求得.由题设知，，解得.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程为. ①由题意可设的方程为，，代入①并化简得.设，，则，，，.于是，由得，即.故，解得，从而.由于，.故，.因而，所以、、成等比数列.