重难点25 椭圆—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（原卷版）

重难点25 椭圆

1.用定义法求椭圆的标准方程

先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：

①b2＝a2－c2；

②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；

③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.

2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤

3.椭圆的常用性质

(1)若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则

①b≤|OP|≤a；

②a－c≤|PF|≤a＋c.

(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.

(3)与椭圆＋＝1(a>b>0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ>－b2)．

(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：

①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；

②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；

③△PF1F2的周长为2(a＋c)．

(5)若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－.

椭圆仍然是2023年的必考点。椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为

A． B． C． D．

2．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

3．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则

A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b

4．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为

A． B． C． D．

5．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为

A． B． C． D．

6．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为

A． B． C． D．

8．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A． B． C． D．

10．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A． B． C． D．

12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．

14．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．

15．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.

16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．

三、解答题

17．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

18．已知椭圆C：的离心率为，且过点．

（1）求的方程：

（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．