初中数学北师大版九年级下册3 三角函数的计算课时练习

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】

专题1.3锐角三角函数的计算

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（　　）

A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6

【分析】用计算器计算得3.464101615……得出答案．

【解答】解：使用计算器计算得，

4sin60°≈3.464101615，

故选：B．

2．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．

【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，

∴按下的第一个键是2ndF．

故选：D．

3．用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“＝”即可得到结果．

【解答】解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′18″，按键“＝”即可得到结果．

故选：A．

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，且3a＝4b，则∠A的度数为（　　）

A．53.48° B．53.13° C．53.13′ D．53.48′

【分析】首先利用正切函数的定义求得tan∠A的值，然后利用计算器即可求得∠A度数．

【解答】解：由锐角三角函数的定义可知：tanA．

∴∠A≈53.13°．

故选：B．

5．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.25，然后利用计算器求锐角∠A．

【解答】解：sinA0.25，

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A．

6．利用我们数学课本上的计算器计算sin52°，正确的按键顺序是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】根据计算器的使用方法，可得答案．

【解答】解：利用该型号计算器计sin52°，按键顺序正确的是：

，

故选：B．

7．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.2，然后利用计算器求锐角∠A．

【解答】解：sinA0.2，

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，

按键顺序为

故选：B．

8．已知sinα，求α．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键（　　）

A．AC B．2ndF C．MODE D．DMS

【分析】根据计算器上三角函数的计算方法可得．

【解答】解：若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按DMS，

故选：D．

9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B，根据计算器的应用，可得答案．

【解答】解：由tan∠B，得

AC＝BC•tanB＝5×tan26．

故选：D．

10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠A，根据计算器的应用，可得答案．

【解答】解：由tan∠A，得

tan∠A．

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．已知∠α＝36°，若∠β是∠α的余角，则∠β＝　54　度，sinβ＝　0.8090　．（结果保留四个有效数字）

【分析】根据余角定义计算．

【解答】解：根据题意：∠β＝90°﹣36°＝54°，

借助计算器可得sinβ＝0.8090．

12．已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α+β＝　48°24′　（精确到1′）．

【分析】根据已知一个角的三角函数值求这个角的算法：先按MODE，选择模式．再键入数字，最后按2ndF和sin或cos，得到这三个角的度数．

【解答】解：∵sinα＝0.2，cosβ＝0.8，

∴α≈11°30′，β≈36.54

则α+β＝48°24′．

故答案为：48°24′．

13．用计算器计算：sin35°≈　0.5736　，　6.403　（保留4个有效数字）．

【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．

【解答】解：sin35°≈0.5736，6.403．

14．用科学记算器计算：2×sin15°×cos15°＝　0.5　．

【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算．

【解答】解：用计算器按MODE，有DEG后，按2×sin15×cos15＝显示结果为0.5．

故答案为0.5．

15．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；

（Ⅰ）计算：　　．

（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　＞　0．（可用计算器计算）

【分析】（Ⅰ）sin60°＝cos30°；

（Ⅱ）直接利用计算器计算即可比较．

【解答】解：（Ⅰ）sin60°•cos30°•．

（Ⅱ）sin50°cos40°0.0868＞0．

故答案为：（Ⅰ）．

（Ⅱ）＞．

16．先用计算器求：sin20°≈　0.3420　，sin40°≈　0.6428　，sin60°≈　0.8660　，sin80°≈　0.9848　，再按从小到大的顺序用“＜”把sin20°，sin40°，sin60°，sin80°连接起来：　sin20°＜sin40°＜sin60°＜sin80°　．归纳：正弦值，角大值　大　．

【分析】利用计算器分别计算各个三角函数值，然后根据角的增大，来观察正弦数值的变化．

【解答】解：∵sin20°≈0.3420，sin40°≈0.6428，sin60°＝0.8660，sin80°≈0.9848，

∴sin20°＜sin40°＜sin60°＜sin80°

∴在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，即正弦值，角大值大．

故答案是0.3420，0.6428，0.8660，0.9848，sin20°＜sin40°＜sin60°＜sin80°，大．

17．用计算器计算•sin40°＝　1.44　（精确到0.01）．

【分析】利用计算器依次输入就可得到答案．

【解答】解：sin40°＝1.44．（精确到0.01）．

故答案为1.44．

18．用科学计算器计算　＞　sin37.5°（比较大小）

【分析】利用计算器分别计算出和sin37.5°的值可得答案．

【解答】解：∵0.6180，sin37.5°≈0.6088，

∴sin37.5°．

故答案为：＞．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．计算下列各式：

（1）sin25°+cos65°（精确到0.0001）．

（2）sin36°•cos72°（精确到0.0001）．

（3）tan56°•tan34°．

【分析】利用计算器进行逐一计算即可．

【解答】解：（1）sin25°+cos65°

≈0.4226+0.4226

＝0.8452；

（2）sin36°•cos72°

≈0.5878×0.3090

≈0.1816；

（3）tan56°•tan34°＝1．

20．已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．

（1）已知sinα＝0.5018，求锐角α；

（2）已知tanθ＝5，求锐角θ．

【分析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可．

【解答】（1）∵sinα＝0.5018，

∴α≈30.1191°．

∴a≈30°7′9″；

（2）∵tanθ＝5，

∴θ＝78.6900°≈78°41′24″．

21．已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A度数．

（1）sinA＝0.9816；

（2）tanA＝0.1890．

【分析】（1）正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按sin﹣10.9816即可求出∠A的度数；

（2）方法同（1）．

【解答】解：（1）∵sinA＝0.9816，∴∠A≈79°；

（2）∵tanA＝0.1890，∴∠A≈11°．

22．通过计算（可用计算器），比较下列各对数的大小，并提出你的猜想（填写“＜，＞或＝”）

①sin30°　＝　　2sin15°cos15°；

②sin36°　＝　　2sin18°cos18°；

③sin45°　＝　2sin22.5°cos22.5°；

④sin60°　＝　　2sin30°cos30°；

⑤sin80°　＝　2sin40°cos40°．

【分析】根据计算器的使用，可得2倍角三角函数，依据计算结果可得猜想．

【解答】解：通过计算器可得：

①sin30°＝2sin15°cos15°；

②sin36°＝2sin18°cos18°；

③sin45°＝2sin22.5°cos22.5°；

④sin60°＝2sin30°cos30°；

⑤sin80°＝2sin40°cos40°．

猜想：若0°＜α＜90°，则sin2α＝2sinαcosα．

故答案为：＝，＝，＝，＝，＝．

23．已知：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°．

求：（1）AB边上的高（精确到0.01）；

（2）∠B的度数（精确到1′）．

【分析】（1）作AB边上的高CH，垂足为H，在Rt△ACH中，利用sinA可求CH；

（2）在Rt△ACH中，利用cosA可求AH，在Rt△BCH中，利用tanB，易求其值，再利用计算器求反三角函数即可．

【解答】解：（1）作AB边上的高CH，垂足为H，

∵在Rt△ACH中，，

∴CH＝AC•sinA＝9sin48°≈6.69；

（2）∵在Rt△ACH中，，

∴AH＝AC•cosA＝9cos48°，

∴在Rt△BCH中，，

∴∠B≈73°32′．

24．（1）用计算器计算并验证sin25°+sin46°与sin71°之间的大小关系：

（2）若α、β、α+β都是锐角，猜想sinα+sinβ与sin（α+β）的大小关系：

（3）请借助如图的图形证明上述猜想．

【分析】（1）根据计算器，可得有理数的运算，根据有理数的大小比较，可得答案；

（2）根据（1）的结果，可得答案；

（3）根据正弦函数，可得，根据不等式的性质，可得，根据三角形三边的关系，可得AB+BC＞AE，再根据不等式的性质，可得答案．

【解答】解：（1）sin25°+sin46°＞sin71°

sin25°+sin46°＝0.423+0.719＝1.142，sin71°＝0.956，

∴sin25°+sin46°＞sin71°；

（2）sinα+sinβ＞sin（α+β）；

（3）证明：∵sinα+sinβ，sin（α+β），

∵OA＞OB，

∴，

∴．

∵AB+BC＞AE，

∴，