初中数学北师大版九年级下册1 二次函数当堂检测题

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2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.2二次函数的图象与性质（1）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•西湖区期末）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣1，4），则该图象必经过点（　　）
A．（1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣4，1） D．（4，﹣1）
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解析】∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣1，4），则该图象必经过点（1，4）．
故选：A．
2．（2019秋•巴东县期末）已知二次函数y=-12x2，下列说法正确的是（　　）
A．该抛物线的开口向上
B．顶点坐标是（0，0）
C．对称轴是x=-12
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
【解析】A、∵a=-12＜0，∴开口向下，故错误，不符合题意；
B、顶点坐标是（0，0），正确，符合题意；
C、对称轴为直线x＝0，故错误，不符合题意；
D、∵a=-12＜0，∴开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，故错误，不符合题意，
故选：B．
3．（2019秋•江城区期中）关于函数y＝36x2的叙述，错误的是（　　）
A．图象的对称轴是y轴
B．图象的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
【分析】根据二次函数的性质得出函数y＝36x2的对称轴及其增减性即可得出结论．
【解析】∵函数y＝36x2的顶点在原点，
∴其对称轴是y轴，顶点是原点，故A、B正确；
∵函数y＝3x2的开口向上，顶点是原点，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，y有最小值，故C正确，D错误．
故选：D．
4．（2020春•兴庆区校级月考）下列抛物线的图象，开口最大的是（　　）
A．y=14x2 B．y＝4x2 C．y＝﹣2x2 D．无法确定
【分析】根据二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大作答．
【解析】∵二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大，
又∵|14|＜|﹣2|＜|4|，
∴抛物线y=14x2的图象开口最大，
故选：A．
5．（2019•东台市期中）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（2，4），则该图象必经过点（　　）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
【分析】把P点坐标代入二次函数解析式可求得a的值，则可求得二次函数解析式，再把选项中所给点的坐标代入判断即可．
【解析】
∵二次函数y＝ax2的图象经过点P（2，4），
∴4＝4a，解得a＝1，
∴二次函数解析式为y＝x2，
当x＝﹣2时，y＝4，当x＝4或x＝﹣4时，y＝16，
故点（﹣2，4）在抛物线上，
故选：B．
6．（2019•海珠区校级月考）函数y＝2x2与y＝﹣2x﹣3的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的性质以及一次函数的性质判断即可．
【解析】∵函数y＝2x2中a＝2＞0，
∴二次函数开口向上，
∵函数y＝﹣2x﹣3中，k＝﹣2＜0，b＝﹣3＜0，
∴一次函数过一，三，四象限．
所以B正确．
故选：B．
7．（2020•新宾县三模）在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（　　）个

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】分a＞0和a＜0时，分别判断两函数的图象即可求得答案．
【解析】当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，④错误；
当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故③不正确，②正确；
∴两函数图象可能是①②，
故选：C．
8．（2018春•台江区校级期末）在同一直角坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【解析】A、一次函数解析式为：y＝kx﹣2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误；
B、两函数图象符合题意；
C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；
D、一次函数解析式为：y＝kx﹣2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．
故选：B．
9．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
【分析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出45°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围，当a，b异号时，m＝0，当a=-12，b=12时，n最小=14，即可得出n﹣m的范围；
②当n﹣m＝1时，当a，b同号时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN=1b-a，再判断出45°≤∠MNH＜90°，当a，b异号时，m＝0，则n＝1，即可求出a，b，即可得出结论．
方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．
【解析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，如图1，
过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=ACBC=n﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，且a，b同号，
∴45°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥1，
∴n﹣m≥1，
当a，b异号时，m＝0，
当a=-12，b=12时，n=14，此时，n﹣m=14，
∴14≤n﹣m＜1，
即n﹣m≥14，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为14，故选项C，D都错误；

②当n﹣m＝1时，如图2，
当a，b同号时，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHN中，tan∠MNH=MHNH=1b-a，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴1b-a≥1，
当a，b异号时，m＝0，
∴n＝1，
∴a＝﹣1，b＝1，
即b﹣a＝2，
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；
故选：B．
方法2、当n﹣m＝1时，
当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，
当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，
当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，
当a，b在y轴两侧时，当a=-12，b=12时，n﹣m取到最小，最小值为14，
因此，只有选项B正确，
故选：B．


10．（2018秋•瑶海区期中）下列判断中唯一正确的是（　　）
A．函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝﹣ax2的图象开口向下
B．二次函数y＝ax2，当x＜0时，y随x的增大而增大
C．y＝2x2与y＝﹣2x2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线y＝ax2与y＝﹣ax2的图象关于x轴对称
【分析】利用二次函数的图象与a的关系逐项判断即可．
【解析】
A、若当a＜0时，则函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝﹣ax2的图象开口向上，故A不正确；
B、若a＞0时，则二次函数y＝ax2开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，故B不正确；
C、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故C不正确；
D、因为a和﹣a互为相反数，所以抛物线y＝ax2与y＝﹣ax2的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都相同，故其图象关于x轴对称；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　y＝x2　．
【分析】根据形如y＝ax2的二次函数的性质直接写出即可．
【解析】∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式y＝x2（答案不唯一），
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
12．（2019秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　＞　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．

【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【解析】如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，
故答案为：＞．
13．（2019秋•镇江期末）已知二次函数y=mxm2-2的图象开口向上，则m的值为　2　．
【分析】根据二次函数y=mxm2-2的图象开口向上，可以求得m的值，本题得以解决．
【解析】∵二次函数y=mxm2-2的图象开口向上，
∴m＞0m2-2=2，
解得，m＝2，
故答案为：2．
14．（2018秋•城厢区月考）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝a1x2；②y＝a2x2；③y＝a3x2；则a1、a2、a3的大小关系是　a1＞a2＞a3　．

【分析】抛物线y＝ax2的开口大小由|a|决定．|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽，据此即可得到结论．
【解析】如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2，开口向下，则a3＜0，
故a1＞a2＞a3．
故答案为a1＞a2＞a3．
15．（2018•南关区二模）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2（x≥0）和抛物线C2：y=x24（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E、F，则S△OFBS△EAD的值为　16　．

【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题．
【解析】设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为a24，
∵BE∥x轴，
∴点F纵坐标为a24，
∵点F是抛物线y＝x2上的点，
∴点F横坐标为x=y=12a，
∵CD∥x轴，
∴点D纵坐标为a2，
∵点D是抛物线y=x24上的点，
∴点D横坐标为x=4y=2a，
∴AD＝a，BF=12a，CE=34a2，OE=14a2，
∴则S△OFBS△EAD=12⋅BF⋅OE12⋅AD⋅CE=18×43=16，
故答案为：16．
16．（2018•南关区校级一模）已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在抛物线y=23x2，则y1，y2，y3的大小关系是　y2＜y3＜y1　（用“＜”连接）．
【分析】把点的坐标代入抛物线解析式，可分别求得y1，y2，y3的值，再比较大小即可．
【解析】
∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在抛物线y=23x2，
∴y1=23×（﹣3）2＝6，y2=23×（﹣1）2=23，y3=23×22=83，
∵23＜83＜6，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
17．（2019•灞桥区校级月考）若二次函数y＝﹣ax2，当x＝2时，y=12；则当x＝﹣2时，y的值是　12　．
【分析】根据题意把当x＝2时，y=12代入二次函数y＝﹣ax2求a的值，然后再把x＝﹣2代入函数解析式求y值．
【解析】∵当x＝2时，y=12，
∴﹣4a=12，
解得，a=-18．
∴y=18x2
∴当x＝﹣2时，y=12．
18．（2018秋•顺河区校级月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　8　．

【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．
【解析】∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
所以图中的阴影部分的面积是8．
故答案为8．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）
（1）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上？
（2）求点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
【分析】（1）先将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y＝ax2求出a的值，再将x＝﹣1代入抛物线的解析式，求出对应的y值即可判断；
（2）将P（m，﹣6）代入抛物线的解析式，求出m的值，即可得到点P的坐标．
【解析】（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y＝ax2，
可得4a＝﹣8，即a＝﹣2，
则y＝﹣2x2，
当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2＝﹣2≠﹣4，
所以点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上；

（2）将P（m，﹣6）代入y＝﹣2x2，
得﹣6＝﹣2m2，
解得m＝±3，
则点P的坐标为（3，﹣6）或（-3，﹣6）．
20．（2019•灵璧县月考）已知函数式的x范围，求y范围：（可结合草图求解）
（1）已知二次函数y＝x2在2＜x＜3范围内，求y的范围；
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4在﹣2＜x＜3范围内，求y的范围．
【分析】利用配方法把二次函数化为顶点式，即可得出其对称轴方程及顶点坐标；根据x、y轴上点的坐标特点分别另y＝0求出x的值，令x＝0求出y的值，进而解答即可．
【解析】（1）y＝x2＝（x﹣0）2+0；
∴x＝0时，该函数取最小值0；
所以2＜x＜3，y的范围为4＜y＜9；
（2）y＝﹣x2+4＝﹣（x﹣0）2+4；
∴x＝0时，该函数取最大值4；
所以﹣2＜x＜3，y的范围为﹣5＜y≤4．
21．（2019兰山区校级月考）如图，直线AB经过点A（2，0），与抛物线y＝ax2交于点B，C，且B点坐标为（1，1）．
（1）求直线AB的解析式及抛物线解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D，使得S△AOD＝2S△BOC？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A、B两点坐标代入y＝kx+b中，可求直线解析式，将B点坐标代入y＝ax2中，可求抛物线解析式；
（2）联立直线与抛物线解析式，可求C点坐标，用S△OBC＝S△OCA﹣S△OBA，可求△OAD的面积，又已知OA，可求D点的纵坐标．
【解析】（1）设直线AB所表示的函数解析式为y＝kx+b，
∵它过点A（2，0）和点B（1，1），
∴2k+b=0k+b=1，
解得k=-1b=2．
∴直线AB所表示的函数解析式为y＝﹣x+2，
∵抛物线y＝ax2过点B（1，1），
∴a×12＝1，
解得a＝1，
∴抛物线所表示的函数解析式为y＝x2；

（2）解方程组y=-x+2y=x2，
得x1=-2y1=4，x2=1y2=1，
∴C点坐标为（﹣2，4），
∵B点坐标为（1，1），A点坐标为（2，0），
∴OA＝2，S△OAC=12×2×4＝4，
S△OAB=12×2×1＝1，
∴S△OBC＝S△OAC﹣S△OAB＝4﹣1＝3，
设D（m，n），
∵S△AOD＝2S△BOC，
S△AOD=12×2×n＝6，
∴n＝6，
y＝6代入y＝x2，
得x＝±6，
∴D点坐标为（6，6）或（-6，6）．
22．（2019秋·市中区期中）已知直线y＝kx与抛物线y＝ax2都经过点（﹣1，6）．
（1）求直线及抛物线的解析式；
（2）判断点（k，a）是否在抛物线上；
（3）若点（m，a）在抛物线上，求m的值．
【分析】（1）将（﹣1，6）代入直线解析式求出k的值，代入抛物线解析式求出a的值，即可确定出直线及抛物线解析式；
（2）由k与a的值确定出此点坐标，代入抛物线解析式检验即可；
（3）将x＝m，y＝a代入抛物线解析式求出m的值即可．
【解析】（1）将（﹣1，6）代入直线y＝kx中得：6＝﹣k，即k＝﹣6，
∴直线解析式为y＝﹣6x；
将（﹣1，6）代入抛物线y＝ax2中得：a＝6，
∴抛物线解析式为y＝6x2；
（2）由（1）得：k＝﹣6，a＝6，即（﹣6，6），
将x＝﹣6代入抛物线解析式得：y＝216≠6，即（﹣6，6）不在抛物线上；
（3）将x＝m，y＝6代入抛物线解析式得：6＝6m2，
解得：m＝1或﹣1．
23．（2019•利川市校级月考）如图，直线AB过x轴上的一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，点B的坐标为（1，1）．
（1）求直线AB和抛物线y＝ax2的解析式；
（2）求点C的坐标，求S△BOC；
（2）若抛物线上在第一象限内有一点D，使得S△AOD＝S△BOC，求点D的坐标．

【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，根据点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连线两函数解析式成方程组，解之即可得出点C的坐标，将x＝0代入直线AB的解析式中求出点E的坐标，根据三角形的面积公式即可得出S△BOC的值；
（3）设点D的坐标为（m，m2）（m＞0），根据三角形的面积公式结合S△AOD＝S△BOC，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，取其正值代入点D的坐标中即可得出结论．
【解析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（2，0）、B（1，1）代入y＝kx+b中，
2k+b=0k+b=1，解得：k=-1b=2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2．
（2）联立两函数解析式成方程组，y=x2y=-x+2，
解得：x1=1y1=1，x2=-2y2=4，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，
∴直线AB与y轴的交点E的坐标为（0，2），
∴OE＝2，
∴S△BOC=12OE•|xC﹣xB|=12×2×3＝3．
（3）设点D的坐标为（m，m2）（m＞0），
∵点A（2，0），
∴OA＝2．
∵S△AOD＝S△BOC=12OA•yD=12×2m2＝3，
∴m=3或m=-3（舍去），
∴点D的坐标为（3，3）．

24．（中山区二模）如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点在x轴上且B在A点右侧，过点A和B做x轴垂线，分别交二次函数y＝x2的图象与C、D两点，直线OC交BD于M．
（1）若A点坐标为（1，0），B点坐标为（2，0），求证：S△CMD：S四边形ABMC＝2：3
（2）将A、B两点坐标改为A（t，0），B（2t，0）（t＞0），其他条件不变，（1）中结论是否成立？请验证．
附加题：将y＝x2改为y＝ax2（a＞0），其他条件不变，（1）中结论是否成立？请验证．

【分析】（1）可先根据AB＝OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；
（2）及附加题的解法同（1）完全一样．
【解答】（1）∵A点坐标为A（1，0）B（2，0）
∴C点坐标为（1，1），D（2，4）
设直线OC解析式为y＝kx过点C（1，1）
∴k＝1y＝x
∴M坐标为（2，2）
∴S△CMD＝1，SABMC=32
∴S△CMD：SABMC＝2：3；

（2）结论仍然成立，∵A点坐标A（1，0），B为（2，0）
∴C（1，a），D（2，4a）
设直线OC解析式为y＝kx过点C（1，a）
∴k＝a∴y＝ax
点M在直线OC上，当x＝2y时，y＝2a
∴M（2，2a）
S△OMD：SABNC＝[12×(4a-2a)]：[12(a+2a)×2a]＝2：3
结论成立

附加题：
∵A（t，0）B（2t，0）
∴C坐标为C（t，at2+bt），D（2t，4at2+2bt）
直线OC解析式为y＝（at+b）x
M在直线OC上，∴M（2t，2at2+2bt）
∴S△OMD：SABMC＝2：3