2023届高考数学重难点专题13解三角形专练A卷

专题13解三角形专练A卷

一、单选题

1.  在中，已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则是(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

3.  在中，角，，所对的边分别是，，，若，边上的高为，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校计划举办冬季运动会，并在全校师生中征集此次运动会的会徽某学生设计的冬日雪花脱颖而出它的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，已知其中一块矩形材料如图所示，将沿折叠，折叠后交于点，，现需要对会徽的六个直角三角形图黑色部分上色，则上色部分的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”，则海岛的高(    )
 

A.  B.
C.  D.

二、多选题

7.  记的内角，，的对边分别为，，，且，，，下列结论正确的有(    )

A.  B.
C. 是直角三角形 D. 若，则的面积为

8.  在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则下列说法正确的是(    )

A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是

10.  的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则此三角形为等腰三角形
C. 若，，，则解此三角形必有两解
D. 若是锐角三角形，则

三、填空题

11.  在中，，，分别为内角，，的对边，且若，则          ．

12.  在中，内角，，的对边分别为，，，，，的面积为，则的周长为          ．

13.  在中，角，，的对边分别为，，若，则的最小值是          ．

14.  在中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是          ．

四、解答题

15.  记的内角，，的对边分别为，，，，且．

求证：；

若的面积为，求．

16.  如图，在平面四边形中，，，．
    求；
    若，求．

17.  从，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答
在中，，，分别是角，，的对边，若___ ．


求角的大小
若是的中点，，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理，属于基础题．
设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可求得的值，从而得到的长度．

【解答】

解：设角，，所对的边分别为，，，
结合余弦定理，可得，
即，解得，或舍去，
所以．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理，和差角公式及诱导公式在三角形判断中的应用，属于基础题．
由已知结合正弦定理及和差角，诱导公式进行化简即可求解．

【解答】

解：由及正弦定理得，，
所以，
所以或，
所以或，
故是等腰三角形或直角三角形．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用余弦定理解决范围的问题，涉及由基本不等式、三角形面积公式、两角和的正弦公式、正弦函数的性质等，属较难题．

【解答】

解：，

由余弦定理可得，整理可得，

又边上的高为，，即，

，当且仅当时取等号，
      ，

即，即，

，，则

，故的最大值为．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用正、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，属于中档题．
利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，由勾股定理得，，求出，利用三角形的面积公式即可求解．

【解答】

解：在中，，
由余弦定理可得，则．
利用正弦定理知，即为四边形外接圆直径．
又是外接圆的直径， ，
 在中，由勾股定理得，，又，则，
因此   
故本题选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查解三角形的实际应用，属于中档题．
在中，由余弦定理可得，，求得，，得面积．
 

【解答】

解：设，易得，
在中，由余弦定理可得，，
解得，
又，
所以，
则，
所以上色部分面积为．
故选A

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查解三角形在实际问题中的应用，属于中档题．
连接延长交于，记，，解直角三角形可得，高表高．

【解答】

解：连接，延长交于，则，

记，，则．
而，．
所以
．
故，
所以高表高
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式，正弦定理，三角形面积公式，属于基础题，
利用利用诱导公式、正弦定理、三角形面积公式化简求解 

【解答】

解：因为，
所以又，
所以，则或．
因为，所以，
所以，
则，故C若，则，
故一定是直角三角形若，
则，，，故的面积为．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦定理判定三角形解的个数，属于中档题．
对于，直接判断即可；对于，推出，结合即可判断；对于，推出，结合即可判断；对于，推出，结合即可判断．

【解答】

解：对于，，
，只有一解，故A错误；

对于，，

由正弦定理得，，

，即，，
有两解或，故B正确；

对于，，

由正弦定理得，即，

，
有两解或，故C正确；

对于，，

由正弦定理得，即，

由于，，
只有一解，故D错误．

故选BC．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理、二倍角公式和三角函数性质，属于中档题．
由 ，得，可得，再由锐角得出角的取值范围，进而得出角  的取值范围，结合选项进行判断即可

【解答】

解：因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，，，
即，，，
所以，所以，
所以，所以．
故选CD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理的应用，考查诱导公式以及正弦函数的性质，属于较难题．

由正弦定理可判断；根据角的范围直接求解可判断；利用正弦定理直接求解可判断；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断．

【解答】

解：由正弦定理可知，又，
所以，可得，因为，所以，A正确；

因为，且角，最多有一个大于，
所以由可知，或，即或，

所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

由正弦定理可得，
因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；

因为是锐角三角形，所以，即，
又在上单调递增，所以，
同理，所以，D正确．

故选AD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理，属于基础题．
利用余弦定理得到，即可求解．

【解答】

解：，，
，．
，即．
，，即．
故答案为：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．

【解答】

解：因为在中，，所以．
因为，所以．
因为，由余弦定理得，所以．
因为的面积为，所以，则，所以．
故的周长为．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数关系以及正弦定理，属于中档题．
利用同角三角函数关系和正弦定理，结合三角函数的性质，计算得结论．

【解答】

解：由于，结合正弦定理，
可得，
，
，
两边同时除以可得，，
即，
令，则，
，
，即，
，，
，
又，，即，，所以解得，
所以的最小值是．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理，辅助角公式和两角和与差的三角函数公式，属于较难题．
根据正弦定理和两角差公式，将表示成与相关的代数式，结合辅助角公式即可求解．

【解答】

解：设的外接圆半径为，
由正弦定理得，
故
，，
由题意知存在最大值．

，
若，即，
则，
不符合题意，故．
则，
且，
，，且存在最大值，
，，
，解得．
综上，的取值范围是．
故答案为：．

15.【答案】解：依题意得，
又，所以，
由正弦定理得，
由余弦定理得得．
代入得，整理得．
由知，所以的面积为，
整理得，解得或舍去，所以． 

【解析】本题考查了正余弦定理，余弦定理和面积公式，考查了转化思想，属于基础题．
由条件利用二倍角公式，正弦定理可得，然后利用余弦定理求出即可；
由知及的面积为，可得的值．
 

16.【答案】解：中，由余弦定理得，，
，
因为，，，
故AD，，
又是三角形内角，
则，
因为，即，
所以，
根据余弦定理得，，
所以，
故CD或舍，
故CD． 

【解析】本题主要考查了余弦定理，同角平方关系的应用，属于中档题．
由已知结合余弦定理可先求，进而可求即可求得；
结合诱导公式可求，再由余弦定理即可求解．
 

17.【答案】解：选条件时，由，得，
解得或，
，
舍去，，
因为为三角形内角，．
选条件时，，
根据正弦定理：，得，
由余弦定理得：，
，．
选条件时，，
利用正弦定理，
得，
化简得，
，，
，
，．
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
化简得，，
由，得，
，当且仅当时，等号成立，
面积，
面积的最大值为． 

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
选条件时，利用二倍角公式化简已知等式可得，解得的值，结合范围，可求的值．
选条件时，根据正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理得的值，结合范围，可求的值．
选条件时，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，可求，结合范围，可求的值．
在中，由余弦定理知，，又，利用余弦定理可得，化简得，，进而可求，根据三角形的面积公式即可求解面积的最大值．