2023届安徽省皖优联盟高三上学期12月第二次阶段性联考数学试题（解析版）

这是一份2023届安徽省皖优联盟高三上学期12月第二次阶段性联考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届安徽省皖优联盟高三上学期12月第二次阶段性联考数学试题 一、单选题1．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合间的关系结合数轴表示即可求解.【详解】由得，所以，又，且，所以故选：C.2．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接将解出来再化解即可.【详解】.故选：D3．贴近自然，氛围轻松的露营正成为当下大众休闲的新方式，这使得国内露营经济市场规模迅速增长下图是年年国内露营经济市场规模及同比增长率其中年年为预测数据，根据该图，下列结论错误的是（    ）A．年年国内露营经济市场规模逐年增长率均超过B．年年国内露营经济市场规模增加最大的是年C．根据预测数据年国内露营经济市场规模是年国内露营经济市场规模的倍以上D．年年国内露营经济市场规模的中位数是亿元【答案】B【分析】利用条形统计图和折线统计图结合数据即可判断.【详解】由图表中的数据可知，A选项正确；2018年国内露营经济市场规模比上一年增长多亿元，而年国内露营经济市场规模比上一年增长多亿元，B选项错误；根据预测数据年国内露营经济市场规模是亿元，年国内露营经济市场规模是亿元，C选项正确；2014年年国内露营经济市场规模的中位数是，D选项正确故选：B.4．若锐角满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由得，由为锐角知，所以，所以.故选:A.5．已知所有棱长均相等的三棱锥的体积为，把该三棱锥分别截去以为一个顶点的四个小正三棱锥如图所示，使得剩余的几何体的所有棱长均相等，则剩余几何体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由剩余的几何体的所有棱长均相等，可得截去的四个小正三棱锥的棱长为原三棱锥棱长的，可求出截去的每个小正三棱锥的体积，即可求解剩余几何体的体积.【详解】由剩余的几何体的所有棱长均相等，可得截去的四个小正三棱锥的棱长为原三棱锥棱长的，所以截去的每个小正三棱锥的体积均为，所以剩余几何体的体积为.故选：D.6．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据幂函数与对数函数的性质比较函数值与和2之间的大小即可.【详解】解：因为且，，综上得：.故选：C.7．函数在上有个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数得或，解方程即可求函数在上的从小到大的七个零点，根据在上有个零点，列不等式，即可求得的取值范围.【详解】解：得或解得或或即或或因为，函数在上的七个零点依次为：由于在上有个零点，所以，解得，则的取值范围是.故选：B.8．已知直线和椭圆若对任意实数，直线与椭圆恒有公共点，且存在实数使得直线与椭圆仅有一个公共点，的离心率的取值范围为，则椭圆的长轴长的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点在椭圆上，离心率，得，即可解决.【详解】由题意知直线经过定点，对任意实数，直线与椭圆恒有公共点，且存在实数使得直线与椭圆仅有一个公共点，则点在椭圆上，所以，即，所以为半焦距，因为，即，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，即的长轴长的取值范围是故选：C. 二、多选题9．过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解.【详解】因为，所以，由题意得直线的斜率，即，解得或故选:AD.10．若单位向量满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据向量的数量积运算律以及夹角公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，因为为单位向量，两边平方，得，即，所以或，故A错误；所以故B正确；所以，故C正确；，，所以，故D正确.故选:BCD.11．若动点满足且其中点是不重合的两个定点，则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆已知点，，动点满足，点的轨迹为圆，则（    ）A．圆的方程为B．若圆与线段交于点，则C．若点与点不共线，则面积的最大值为D．若点与点不共线，的周长的取值范围是【答案】ABD【分析】设点代入关系式化简可得的轨迹方程为一个圆，然后依次对每个选项进行判断即可.【详解】设，由得，整理得，即，故A正确；在上，所以，故B正确点到直线距离的最大值为的半径，所以面积的最大值为，故C错误；的周长，因为在圆内部，故的取值范围为，所以的取值范围为，所以的周长的取值范围是，故D正确故选:ABD.12．已知函数的定义域，若，则（    ）A．B．是奇函数C．若时恒有，则在上单调递减D．若，则【答案】BCD【分析】据题意构造函数，结合题意可得，联想到抽象函数的结构，可令为不同的取值即可求解.【详解】由得，设，则，取得，所以，A错误；取得，所以，令得，所以是偶函数，则也是偶函数，所以是奇函数，故B正确；因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，设，则，所以，所以在上单调递增，又是偶函数，所以在上单调递减，所以在上单调递减，故C正确；因为，所以，在中，令，得，所以，所以，所以，即，所以，故D正确故选：BCD. 三、填空题13．的展开式中项的系数为______.【答案】【分析】根据二项式定理得展开式的通项，可求展开式中的项，即可求得该项的系数.【详解】解：展开式的通项，令，得，所以，则展开式中项的系数为.故答案为：.14．功能性饮料是指通过调整饮料中天然营养素的成分和含量比例，以适应某些特殊人群营养需要的饮品数据显示，从年开始，中国功能性饮料市场年均复合增长率均不低于某同学若根据年年份代码分别为中国功能性饮料年市场规模（单位：百亿元）求得回归方程为，则年预测规模与年平均规模的差为______百亿元.【答案】【分析】根据年市场规模与年份代码的回归直线方程，确定的年平均规模，并求解年预测规模，即可求差值.【详解】解：因为，又点在回归直线上，故，年预测规模为，所以年预测规模与年平均规模的差为（百亿元）.故答案为：5.4.15．已知点在双曲线上，是的左，右焦点，为坐标原点，若，则的离心率______.【答案】【分析】根据双曲线的定义结合余弦定理求解即可.【详解】设，不妨设点在第一象限，则，所以，，在中，，在中，，由双曲线的定义得，解得.故答案为: . 四、双空题16．在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，侧面是等边三角形，，则平面与平面的夹角为______若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为______.【答案】          【分析】取中点中点，连接，得为平面与平面的夹角，在中计算即可；设与交于点，则为中点，设为的重心，则在上，且，过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为球心，在中，余弦定理可得，在直角中，，可求得半径即可解决.【详解】取中点中点，连接，易证为平面与平面的夹角，且，所以，所以，又，所以；设与交于点，则为中点，设为的重心，则在上，且，过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为球心，在中，由余弦定理得，所以，则，所以，因为平面，平面，所以，易得，由上知：，为面的相交直线，故面，而面，故面面，由面，而面面，，所以过垂直于面的直线必在面内，即面，所以共面，因为共圆的四个点所连成同侧共底（）的两个三角形的顶角相等，所以四点共圆，所以，在直角中，，所以球的半径所以球的表面积.故答案为：；. 五、解答题17．记的内角所对的边分别为，已知.(1)求证：(2)若的面积，求的最大值，并证明：当取最大值时，为直角三角形.【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析 【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解；(2)利用三角形的面积公式结合基本不等式即可求解.【详解】（1）证明：由，得，代入，得，所以，由余弦定理，得，所以，所以.（2）由(1)知，所以的面积，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.下面证明当，即时，为直角三角形.把代入，得，两边平方，得，所以，因为，所以，即，所以为直角三角形.18．记为数列的前项和已知.(1)求，并证明是等差数列(2)从下面个条件中选个作为本小题的条件，证明：.① ②. 【答案】(1)，，证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由已知直接求，由递推公式可得，根据等差数列的定义即可证明；（2）由（1）得，化简，利用裂项相消法求和即可证明不等式.【详解】（1）解：在中，令得所以，则，令，得，即，所以，下面证明为等差数列.证明：由，得①，所以②，两式②-①得，所以③，当时，④，③-④得，即，所以是等差数列.（2）证明：由（1）得是等差数列，且，，所以的公差，则.若选所以，所以，因为，所以，所以.若选所以所以.19．近年来中国咖啡文化盛行，咖啡作为一种船来品，在国内成了一种时尚，越来越多的企业开始扎堆咖啡赛道，今年以来先有中国邮政首家邮政咖啡在厦门落地，再有李宁跨界推出“宁咖啡”.(1)A传媒公司拟从家老咖啡企业和家今年新注册的咖啡企业中随机选家进行访谈，记选到的今年新注册的咖啡企业数为，求的分布列与数学期望(2)为了解一、二线城市青年群体与三、四线城市青年群体消费咖啡情况，A传媒公司通过本公司媒体进行调查，在参与调查的一、二线城市青年群体与三、四线城市青年群体中各取人，得到如下列联表的部分数据. 一、二线城市青年三、四线城市青年合计是咖啡消费者  不是咖啡消费者  合计   将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为一、二线城市青年与三、四线城市青年消费咖啡的意愿有差别附：，.  【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)列联表见解析，有的把握认为一、二线城市青年与三、四线城市青年消费咖啡的意愿有差别 【分析】（1）由题意可得的取值依次为，得出对应概率，可得的分布列与数学期望；（2）先得出列联表，再得出，对照临界值表可得结论.【详解】（1）解：由题意可得的取值依次为，，，，，所以的分布列为 .（2）解：列联表为 一、二线城市青年三、四线城市青年合计是咖啡消费者不是咖啡消费者合计 ，所以有的把握认为一、二线城市青年与三、四线城市青年消费咖啡的意愿有差别.20．在如图所示的几何体中，分别为的中点，为棱上一点，几何体与几何体都是棱长均为的三棱柱，.(1)求证：平面平面(2)求平面与平面夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算求解空间角的大小.【详解】（1）证明：连接，由题意知，故共面，因为三棱柱与三棱柱的所有棱长均为，所以四边形是菱形，所以，因为，所以，因为点分别为的中点，所以，所以.由题意得与都是边长为的正三角形，因为为的中点，所以，且，因为，所以，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以.又，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由(1)知直线两两垂直，以为坐标原点，以直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则所以由(1)知平面，故平面的一个法向量为设平面的法向量为，则得令，得，所以.设平面与平面的夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为21．已知抛物线，过点的动直线与交于点，且为定值.(1)求的方程(2)若抛物线在点处的切线交于点，求证：①点在定直线上②若为的焦点，则. 【答案】(1)(2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】(1)设，直线与抛物线联立得到关于的一元二次方程，把用表示整理乘用韦达定理代入化简，未知数约掉.(2)①用导数几何意义求出切线，，联立后求交点即可.②根据抛物线的定义用来表示，代入化简后用表示，用两点距离公式用来表示，代入化简后用表示.【详解】（1）由题意知，的斜率存在，设直线的方程为，与联立得，设，则，且，所以，当且仅当时，为定值，所以抛物线的方程为.（2）证明：由得，所以直线的斜率为，直线的方程为，即，同理直线的方程为，直线的方程联立，得解得所以点在定直线上.由(1)得所以，又，，所以所以22．已知函数.(1)若，讨论的单调性(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2) 【分析】(1)先求导，利用导数可得单调性；(2)由题意整理得,令，则，令，利用导数研究最值，可得实数的取值范围.【详解】（1）因为，由，得，即的定义域为.因为，所以，因为，所以当时，，当时，，所以当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，即，所以令，则，令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以，又，所以，所以实数的取值范围是.