2022届福建省福州市第十中学高三上学期第一次质量检查数学试题（解析版）

2022届福建省福州市第十中学高三上学期第一次质量检查数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】依题意，所以，

故选：C.

2．复数

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：，故选A

【解析】复数的运算

3．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】应用对数的性质，比较对数式的大小.

【详解】，而，

∴.

故选：D.

4．是第四象限角，,，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据同角三角函数基本关系，得到，求解，再根据题意，即可得出结果.

【详解】因为，由同角三角函数基本关系可得：，

解得：，

又是第四象限角，所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.

5．函数的大致图象是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】比较函数的特征与选项中图像的特征即可得解.

【详解】根据对数函数恒过点，函数恒过点，故A错误；

根据对数函数的定义域，函数的定义域为，故B错误；

根据复合函数的单调性，函数单调递减，故D错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了函数图像的识别和对数函数的性质，属于基础题.

6．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数奇偶性的性质和定义依次判断各选项即可.

【详解】由题知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，

故满足，

对于A,,则为偶函数；

对于B, ，则为偶函数；

对于C,，则为奇函数；

对于D,，则为偶函数.

故选：C.

7．设，为正实数，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】将变形为，利用基本不等式求最小值，注意检验等号成立的条件.

【详解】解：因为，为正实数，

所以，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为3.

故选：.

8．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，可证得是奇函数，且在上单调递增. 可化为，进而可解得结果.

【详解】令，（），

则，

所以是奇函数；

又都是上增函数，

所以在上单调递增.

所以可化为，

进而有，

所以，

解得或.

故选：B.

二、多选题

9．已知函数在上是减函数，则下列表述正确的是（　　）

A．

B．的单调递减区间为，

C．a的最大值是，

D．的最小正周期为

【答案】BCD

【分析】由于函数在上是减函数，从而可得，进而可求出取值范围，函数的周期和最值，从而可判断ACD，再利用余弦函数的性质求出单调区间，可判断B

【详解】解：∵函数在上是减函数，，

∴，∴，

故的最小值为，a的最大值是，的最小正周期为，故A错，C、D正确；

在，，函数单调递减，所以B正确

故选：BCD．

10．下列函数中是奇函数，且值域为的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据奇函数的定义判断四个函数的奇偶性，并求出值域可得答案.

【详解】对于A，因为，所以是奇函数，且值域为，故A正确；

对于B，因为，所以为奇函数，但值域为，故B不正确；

对于C，因为，所以为奇函数，且且值域为，故C正确；

对于D，因为，所以为奇函数，但是值域为．故D不正确.

故选：AC

11．下列有关说法正确的是（    ）

A．的展开式中含项的二项式系数为20

B．事件为必然事件，则事件A、B是互为对立事件

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则

【答案】CD

【分析】A二项式定理写出展开式通项，即可确定项的二项式系数；B根据及对立事件的性质判断；C利用正态分布的性质、对称性判断；D求出、，应用条件概率公式即可求.

【详解】A：二项式展开式为，故时二项式系数为，错误；

B：为必然事件，则，仅当时事件A、B是互为对立事件，错误；

C：由服从正态分布，故，根据及正态分布的对称性知，正确；

D：由题设，，而，正确.

故选：CD

12．函数为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ）

A．函数为奇函数

B．函数有且只有3个零点

C．不等式的解集为

D．的解析式可能为

【答案】BCD

【解析】由奇偶性判断A，由偶函数性质和零点定义判断B，根据奇偶性与单调性结合解不等式判断C，利用导数确定函数的单调性判断D．

【详解】函数为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减．

若，则，则为偶函数，故A不正确.

设函数，，在R上有且只有2个零点，所以，在R上有且只有3个零点，故B正确.

因为，所以当时，，则；当时，．，又时，，故的解集为，故C正确.

若，则此函数满足为偶函数，，

设，，则为R上的增函数，

在上，，所以此函数还满足在上单调递增，故D正确.

故选：BCD．

【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性．解题时主要利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，由奇偶性的对称性得出函数的单调性，从而可解函数不等式．在函数较复杂时可利用导数确定单调性．

三、填空题

13．已知，那么______．

【答案】

【分析】根据对数运算的定义，求解即可

【详解】由题意

故

即

解得

故

故答案为：

14．若， 则的值为___________

【答案】1

【分析】令，则，令，则，从而可求出答案.

【详解】解：由，

令，则，

令，则，

则

.

故答案为：1.

15．已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是____.

【答案】

【解析】根据函数是偶函数，得到关于直线对称；再由函数对称性，以及题中条件，得到对任意的恒成立，进而可得出结果.

【详解】因为是偶函数，所以，

则关于直线对称；

又函数在上单调递减，

由对任意的恒成立，

可得对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

又时，，

因此只需，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，属于常考题型.

四、双空题

16．已知函数，则=__________，的零点个数为__________个．

【答案】         

【分析】本题第一空以分段函数为背景考查复合函数的求值问题，从内到外，依次将自变量的值代入对应解析式求值即可；第二空求函数的零点个数，可以转化为方程根的个数问题处理，也可以作出函数图象，判断其与轴的交点个数.

【详解】解法一：∵∴；

令，即或，解得或，故的零点个数为2.

故答案为：，2.

解法二：∵∴；作出函数的图象，如图

显然函数的图象与轴有两个交点，故的零点个数为2.

故答案为：；2.

五、解答题

17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且

(Ⅰ)确定角C的大小：

（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值．

【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）5

【详解】试题分析：（1）先根据正弦定理边化角转化为即可得，故（2）∵，再由余弦定理可得

试题解析：

解：

（1）由正弦定理得，

∵是锐角，∴，故.

（2）∵，∴

由余弦定理得

∴

点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长

18．盒中装有6个零件，其中2个是使用过的，另外4个未经使用，

(1)从盒中随机一次抽取3个零件，求抽取到的3个零件中恰有1个是使用过的概率；

(2)从盒中每次随机抽取1个零件，观察后都将零件放回盒中，记3次抽取中抽到使用过的零件的次数为，求的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，1

【分析】（1）由古典概率的计算公式代入即可得出答案.

（2）依题有，由二项分布的概率计算公式即可求出的分布列，再由二项分布的期望公式即可求出的数学期望.

【详解】(1)记事件A为“抽取到3个零件中恰有一个是使用过的”，

则.

(2)依题有，

所以X的分布列如下

所以X的期望是

19．如图，在三角形中，已知，，D为的三等分点(靠近点B)，且.

（1）求的值；

（2）求三角形的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）和，分别利用正弦定理，并且结合，求得的值；（2）根据（1），并且结合三角恒等变换，最后根据三角形面积公式求解.

【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得，，①

在三角形中，由正弦定理得，，②

又，故，

因为D为的三等分点(靠点B)，所以，

由①②得，.

（2）由（1）知，，

所以，

若，则

(舍去)；

故，同理，得，

所以，三角形的面积

.

所以的面积为.

【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，一般解三角形已知两角一边，首先用正弦定理解三角形，已知两边和其中一边的对角，求角用正弦定理解三角形，求边用余弦定理解三角形，已知两边和夹角，用余弦定理解三角形，已知三边，用余弦定理解三角形.

20．为了了解空气质量指数（AQI）与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小组在暑假期间（60天）进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天值（从气象部门获取）构成60组成对数据，其中为当天参加户外健身运动的人数，为当天的值，并制作了如下散点图：

连续60天参加健身运动人数与AQI散点图

（1）环保小组准备做y与x的线性回归分析，算得y与x的相关系数为，试分析y与x的线性相关关系？

（2）环保小组还发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析．用直线与将散点图分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（如图），统计得到各区域的点数分别为5、10、10、35，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于100与值不大于100有关联”，试分析该初步认定的犯错率是否小于？

附：

【答案】（1）答案见解析；（2）该初步认定的犯错率小于．

【分析】（1）由相关系数知y与x的线性相关关系以及线性相关性强弱；

（2）建立列联表，计算的值，对照附表得出结论.

【详解】（1），y与x的相关关系为负相关，

且，故线性相关性不强，所以不建议继续做线性回归分析，

得到回归方程，拟合效果也会不理想

（2）建立2×2列联表如下

代入公式计算得

查表知，故犯错率在0.001与0.01之间，

所以该初步认定的犯错率小于．

21．已知函数．

（1）当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；

（2）设的内角的对应边分别是且，，求的值，

【答案】（1）时，取得最大值0；时，取得最小值；（2）或．

【分析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求;

(2)已知先求A,然后结合余弦定理即可求解c.

【详解】（1）

，

，，，

∴当，即，得时，取得最大值0；

当，即，得时，取得最小值．

（2）且，．

由余弦定理A得，

解得或．

另解：且，，

由正弦定理有，则或，

当时．，由勾股定理有．

当时，，则．

综上，或．

22．已知函数，其中．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，，且，是否存在实数使得恒成立，如果存在请求出实数的取值范围，如果不存在请说明理由．

【答案】（1）答案见解析；（2）存在，.

【分析】（1）求导得，定义域为，令，然后结合二次函数的性质，分和两类讨论（或与0的大小关系即可得解．

（2）由（1）可知，，，；原问题等价于恒成立；而，，于是构造函数，，只需满足，于是再利用导数求出在上的最小值即可．

【详解】解：（1），定义域为

所以，

令，对于方程，，

①当时，，的两个根

为，且

在和上；在上，

所以函数的单调增区间为和；

单调减区间为，

②当时，，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间

（2）由（1）知，若有两个极值点，则，

又，是的两个根，则，

所以：，，

恒成立

由（1）知，，∴

令，，只要即可；

，令则，，令，则，

所以在上单调递减；在上单调递增．

，

所以存在，使得恒成立．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题，且要求熟练掌握二次函数的性质，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．