2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高三上学期12月联考数学试题（word版）

★秘密·2022年12月15日16：00前

重庆市2022-2023学年（上）12月月度质量检测

高三数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．若存在实数， 使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（    ）

A． B． C． D．

5．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

6．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（      ）

A． B． C． D．2

7．已知直线与圆（为整数）相切，当圆的圆心到直线的距离最大时，（    ）

A． B． C．1 D．

8．我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9．已知等差数列的前n项和为，，，，的前n项和为则下列说法正确的是（    ）

A．数列的公差为2 B．

C．数列是公比为4的等比数列 D．

10．已知A､B两点的坐标分别是，，直线AP､BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，点P的所在的曲线是焦点在x轴上的双曲线

B．当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的双曲线

C．当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的椭圆

D．当时，点P的所在的曲线是圆

11．如图，在平行四边形中，，分别为的中点，沿将折起到的位置（不在平面上），在折起过程中，下列说法不正确的是（    ）

A．若是的中点，则平面

B．存在某位置，使

C．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为

D．直线和平面所成的角的最大值为

12．已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．复数和在复平面上所对应的两个向量的夹角的大小为__________（结果用反三角函数表示）.

14．若，则______．

15．在分层抽样时，如果将总体分为k层，第j层抽取的样本量为，第j层的样本平均数为，样本方差为，，．记，则所有数据的样本方差为________．

16．已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．函数满足，，且与直线相切.

(1)求实数，，的值；

(2)已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.

18．已知的内角、、所对的边分别为、、，且.

(1)求角的大小;

(2)若，求的值.

19．已知双曲线C过点,.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值.

20．如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.

(1)求证：；

(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.

21．已知．

(1)求的单调递增区间；

(2)若，且，证明．

22．在合理分配团队合作所得时，我们往往会引入Shapley值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，2，…，）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，，，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合的元素为一个小组中成员的编号，例如：集合表示编号为1，2，3，4的员工结为一个小组，并记这个组为.再记为小组合力工作可产生的总贡献，并对编号为的员工引入边界贡献，表示如果员工加入小组中可以为小组带来的贡献值.那么一个员工的Shapley值为其中为其他组员（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的Shapley值越大意味着它在整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播，，在一次三人联动带货活动（一种直播方式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个人三个人联动）中共有50000份订单任务要完成，单独直播能完成10000份，单独直播能完成12500份，单独直播能完成5000份，如果，联动带货可以完成27000份，，联动带货能完成37500份，，联动带货能完成35000份，，，联动带货能完成50000份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑，，三人最终的奖金分配.请回答以下问题：

（1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释Shapley值的合理性；

（2）根据，，三人Shapley值的大小合理地给出奖金分配方案（用百分数表示，精确到小数点后一位）.