2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第一次综合测试数学（理）试题（解析版）

2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第一次综合测试数学（理）试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的运算法则求出，进而算出．

【详解】，，

故选：C．

2．命题“”的否定是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将全称命题否定为特称命题即可

【详解】命题“”的否定是，

故选：C

3．在121个学生中，一年级有25人，二年级有36人，三年级有60个，现抽取容量为20的样本．用系统抽样法：先随机去掉一人，再从剩余人员中抽取容量为20的样本，整个过程中每个体被抽取到的概率是

A． B． C． D．不能确定，与去掉的人有关

【答案】C

【详解】试题分析：在系统抽样中，每个个体被抽到的概率相等，都为，故选C.

【解析】随机抽样.

4．已知向量，，则在方向上的投影为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量投影的计算公式计算即可．

【详解】依题意有投影为.

故选：D

5．设随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据随机变量，正态曲线关于对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，即可求出结果.

【详解】∵随机变量，

∴正态曲线关于对称，

∵，

∴，

∴，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题属于基础题．

6．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】双曲线的离心率为,即.

又，解得：，.

则其渐近线方程为，故选B.

7．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】模拟执行程序框图，即可得到输出结果

【详解】执行该程序框图，可知

第1次循环：不满足，故；

第2次循环：不满足，故；

第3次循环：不满足，故；

第4次循环：不满足，故；

第5次循环：，此时成立，

输出结果，

故选：B

8．的展开式中常数项为

A． B． C． D．105

【答案】B

【详解】： 令解得展开式中常数项为

【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项

9．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为(  )

A．10 B．16 C．20 D．24

【答案】C

【详解】（1）甲在前，乙在后：若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，共种方法.

（2）同理，乙在前，甲在后，也有种方法.故一共有种方法.

故选：C

【解析】排列与计数原理.

10．已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．

【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，

则=，

∵，∴，

∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，

∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．

∴S△PBC=S△ABC．

∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：

P==．

故选B．

【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，若，则该球的体积为（    ）

A． B． C． D．8

【答案】A

【分析】分析A，B，C，D四点的几何关系，根据勾股定理和球的体积公式即可求解.

【详解】

设三棱锥的外接球球心为O，的外接圆的圆心为H，外接圆的半径为

所以

则外接球半径，

所以.

故选：A.

12．已知函数满足，当，若在区间内，曲线与轴有三个不同的交点，则实数的取值范围为（   ）

A．（0，） B．（0，） C． D．

【答案】C

【分析】求得的解析式，由与的图象有个不同的交点，结合导数求得正确答案.

【详解】当时，

当时，，，

所以，

，设，则.

令，，

当直线与曲线相切时，设切点坐标为，

过点的切线的斜率为，则，

所以过原点且与曲线相切的直线斜率为，

依题意可知与的图象有个不同的交点，

则，即.

故选：C

二、填空题

13．为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：

由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．

【答案】39.4

【详解】

点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.

14．若满足约束条件，则的最大值为__________．

【答案】5

【详解】根据约束条件画出可行域如下：

目标函数过点B(1,2)最到最大值，，

15．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是______（填上所有可能的结果的序号）.

①64    ②72    ③76    ④80    ⑤112

【答案】②③

【分析】根据三视图可知，第一种情况为该几何体由下方为边长为4的正方体，上方为底面三边分别为4，，的三角形，高为3的三棱锥组合而成，第二种情况为该几何体由下方为边长为4的正方体，上方为上底长为2，下底长为4，高为4的直角梯形，高为3的四棱锥组合而成，再根据体积公式即可求得答案.

【详解】根据题意，满足以上三视图的有两种情况：

（1）该几何体由下方为边长为4的正方体，上方为底面三边分别为4，，的三角形，高为3的三棱锥组合而成，

其体积；

（2）该几何体由下方为边长为4的正方体，上方为上底长为2，下底长为4，高为4的直角梯形，高为3的四棱锥组合而成，

其体积.

故答案为：②③.

16．已知数列满足数列的前n项和为,则______.

【答案】

【分析】根据递推公式相加可得,故可写为,故只需求,将代入中,只需求,再将代入第一个式子中,可得只需求,再将代入第二个式子中,可得只需求,再将代入第一个式子可得只需求,再将代入第一个式子可得只需求,再将代入第二个式子可得跟有关,由于,即可得的值,进而可得答案.

【详解】解:由题知

,

将两式相加

可得:,

.

故答案为:1306

三、解答题

17．中，，，分别是角，，的对边，且有.

(1)求角；

(2)当，时，求的面积.

【答案】(1)或或

(2)或

【分析】（1）根据三角恒等变换将式子化简，即可求出角的大小；

（2）先根据余弦定理求出边的长度，再根据三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）因为，且，

所以，

即，

所以或，

解得或或.

（2）因为，，所以，

根据余弦定理得，

所以，即，

解得或，

当时，，

当时，，

所以的面积的面积为或.

18．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，长郡中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后，得到如下的列联表：

(1)请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；

(2)若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.

附：

【答案】(1)列联表见解析，能

(2)， .

【分析】（1）首先根据题干条件完善列联表，然后计算的值，再与临界值表进行比对得出结论；

（2）首先设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量，并判断随机变量服从二项分布，再利用二项分布的期望与方差的计算公式进行求解即可.

【详解】（1）

∵

∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”

（2）已知从全校大于等于120分的学生中随机抽取一人，该人周做题时间不少于15小时的概率为.

设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量，由题意可知

故，.

19．如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，，为线段上一点，且.

(1)若为的中点，证明：平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于，连接，因为四边形是菱形，所以为的中点.可证为的中点，即可求证，由线面平行的判定定理即可证明.

（2）连接，可证明平面，即可建立空间直角坐标系，求出对应点坐标和对应平面的法向量即可求解二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：连接交于，连接，因为四边形是菱形，所以为的中点.

又因为， 为的中点，所以为的中点，所以，

又因为平面， 平面，所以平面.

（2）连接，因为，所以，

因为，所以，

而，平面，所以平面.

因为在菱形中， ，所以是等边三角形，即,

分别以直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角标系，

由题意得， ， ， ，

由，得

设平面的一个法向量为，由得

令，得，取平面的一个法向量为，

 则，

由图知，二面角的大小为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.

20．在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)过点且于直线平行的直线交于两点，求点到两点的距离之积.

【答案】(1)答案见解析

(2)1

【分析】（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积.

【详解】（1）曲线化为普通方程为：，

由，得，

所以直线的直角坐标方程为．

（2）直线的参数方程为（为参数），

代入化简得：，

设两点所对应的参数分别为，则，

．

21．在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线的距离的比值为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作与轴不垂直的直线交轨迹于，两点，在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）;（2）.

【详解】【试题分析】（１）依据题设条件建立等式，再化简整理即可获解；（２）先建立直线的方程，再借助直线与椭圆的位置关系，运用坐标之间的关键建立不等式进行求解：

（1）设，依题意有：整理得的方程为.

（2）假设在线段上是否存在点，使得∵直线与轴不垂直，

∴设   ，，，，

由得，∴，.

因为，∴（说明：此处还可以用与与的中点连线的斜率成负倒数关系）

∴∴

∴

∴，∴存在点，的取值范围为.

点睛：椭圆是高中数学的重要内容，也是高考重点考查的重要考点与热点．解答本题的第一问时，直接依据题设条件建立等式，然后化简整理使得问题获解；解答本题的第二问时，先建立直线的方程，再与椭圆方程联立，然后借助直线与椭圆的位置关系，运用坐标之间的运算建立不等式进行求解，从而使得问题获解．

22．已知函数.  

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，且，证明.

【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）见解析

【详解】【试题分析】（１）借助导数与和函数的单调性之间的关系分析求解；（２）借助题设条件构造函数运用导数知识求解：

 解：.

(1)当时，，令，有或，当或时，；当时，.所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.

(2)由于有两个极值点，则有两个不相等的实根，所以，即，

 ，设，则，

在上单调递减，所以，即 .

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性＼极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，先对函数求导，然后借助导数与和函数的单调性之间的关系求出其单调区间，解答本题的第二问时，先依据题设条件构造目标函数，然后运用导数知识求出其最小值，从而使得问题获解．