2022届陕西省咸阳市礼泉县第一中学高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

2022届陕西省咸阳市礼泉县第一中学高三上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数的乘除运算化简，再由复数的几何性质得到其点的坐标即可.

【详解】由题意，，

所以对应的点的坐标为.

故选：B.

2．已知为奇函数，当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先由题设条件得到，再利用的奇偶性求得即可.

【详解】因为当时，，

所以，

又因为为奇函数，

所以.

故选：C.

3．已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A．3 B．2 C．5 D．无数个

【答案】A

【分析】根据集合所表示的点，结合交集定义，即可求解.

【详解】，，

，所以元素有3个.

故选:A

【点睛】本题考查集合的运用，注意集合元素所表示的意义，属于基础题.

4．复数z的共轭复数为，则“z为纯虚数”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据复数的基本概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由z为纯虚数，设，可得，则；

当z是实数0时，即，可得，则，但此时z不是纯虚数，

所以“z为纯虚数”是“”的充分不必要条件．

故选：B.

5．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.

【详解】用表示这个数列，依题意，，则，，

第四个数即.

故选：C.

6．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，，，A选项不符合.

B选项，，，B选项不符合.

C选项，，，C选项不符合.

D选项，，，

所以是周期为的周期函数；

，此时且在上递减，

则在上递增，符合题意，D选项正确.

故选：D

7．已知递增等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则公差（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【分析】利用等差数列的前项和公式与通项公式，结合等比数列的等比中项公式得到关于与的方程组，解之即可.

【详解】因为是递增等差数列，所以，

又因为，且成等比数列，

所以，即，

整理得，解得（负值舍去），

所以.

故选：D.

8．.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（    ）

A． B．

C．2 D．

【答案】A

【分析】设，由向量的运算法则得到，又由，列出方程组，即可求解.

【详解】设，

因为，所以，

则，

又因为，所以，解得.

故选：A.

9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．

【解析】函数的解析式及常用方法．

【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．

10．安排6名同学去甲､乙两个社区参加志愿者服务，每名同学只去一个社区，每个社区至少安排2名同学，则不同的安排方法共有（    ）

A．10种 B．20种 C．50种 D．70种

【答案】C

【分析】结合人数的分配以及排列数、组合数的计算求得正确答案.

【详解】个人分成两组，可以是或，

所以，不同的安排方法有.

故选：C

11．已知点是椭圆：上一点，点､是椭圆的左､右焦点，若的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设的内切圆半径为，则，结合

，，，，可得，再由以及即可求解.

【详解】由题意可得：，，

设的内切圆半径为，

所以，

因为的内切圆半径的最大值为，

所以

因为，

所以，可得，

所以椭圆的离心率为，

故选：B.

12．已知数列是单调递增数列，且.若，则（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】B

【分析】由已知可得，即是首项为，公差为2，项数为k的等差数列，由等差数列求和公式代入可得，由，整理得，代入检验即可得解.

【详解】，，两式相减可得：

所以数列是隔项成等差数列，

所以是首项为，公差为2，项数为k的等差数列，

则，即，

又，，即

，

即，代入检验即可知满足.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列的通项公式，及等差数列求和公式，熟练应用数列的性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于一般题.

二、填空题

13．已知复数满足（是虚数单位），则______．

【答案】

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．

【详解】解：，

，

则．

故答案为．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．

14．在中，内角的对边分别为，若，则__________.

【答案】##

【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.

【详解】依题意，，

由正弦定理得，

由于，所以，

由于，所以.

故答案为：

15．把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.

【答案】##

【分析】利用反推法与三角函数图像变换得到的解析式，再计算即可.

【详解】由题可知，要得到，需将的图象，向左平移个单位长度，得到，

再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到，

所以.

故答案为：.

16．已知函数与的图象在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．

【答案】

【分析】设公共点为（），则，联立消去可得到关于的方程，进而可求出的值

【详解】解：公共点为（），则，

由，得，由，得，

因为函数与的图象在公共点处有共同的切线，

所以，即，得，

所以，即，得，

所以，

故答案为：

三、解答题

17．疫情防控，人人有责.为了增强防疫知识，某学校举行防疫知识竞赛，现从该校高二甲､乙两个班随机各抽取了8名同学的成绩进行分析，下面的茎叶图记录了他们的成绩（100分制）.

(1)若分数不低于85分为“防疫达人”，求在两个班抽取的16名同学中“防疫达人”所占的比例；

(2)求乙班抽取的8名同学的成绩的方差.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据古典概型概率计算公式求得正确答案.

（2）先求得乙班抽取学生的平均数，然后利用方差的计算公式求得方差.

【详解】（1）由茎叶图可知，甲､乙两班中，分数不低于85分的有7人，

故在两个班抽取的16名同学中“防疫达人”所占的比例为.

（2）乙班抽取的8名同学的平均分为，

方差为：

.

18．已知抛物线C：的焦点，直线：与抛物线C相交于不同的两点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由焦点坐标可得，从而可求出，进而可求出抛物线的方程

（2）设与相交于，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再结合焦半径公式列方程可求出的值

【详解】解：（1）因为抛物线C：的焦点，

所以，得，

所以抛物线方程为

（2）设与相交于，

由得：，

，

∵直线过焦点

∴

∴=1∴

19．已知等比数列的公比和等差数列的公差为，等比数列的首项为，且，，成等差数列，等差数列的首项为.

(1)求和的通项公式；

(2)若数列的前项和为，求证：.

【答案】(1)

(2)具体见解析.

【分析】（1）根据，，成等差数列求出，进而得出和的通项公式；

（2）利用错位相减法求出，进而得到答案.

【详解】（1）解：根据题意，，

则，所以，.

（2）解：由（1），，

所以……①

则……②，

①-②得，，

所以.

20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．

(1)求证：；

(2)求与平面的所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据题意证明平面，进而证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】（1）证明：因为侧棱平面，平面

所以

因为平面是正方形

所以

因为，

所以平面

因为平面

所以

（2）由题意，底面是正方形，侧棱底面，

则以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

由于，

则，，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则，

设与平面的所成角为，

所以，

因为，所以

21．已知函数，记.

(1)当时，求在区间上的最大值；

(2)当时，试判断的零点个数.

【答案】(1)；(2)2个.

【分析】(1)对求导，求出在上的单调性，进而求出在上的最大值；(2)通过对求导，进而求出的单调区间，求出的最值，再利用零点存在的基本定理即可求解.

【详解】(1)由题意知，，

，

当且时，恒成立，从而在单调递减，

故的最大值为.

(2)由题意知，判断的零点个数，即判断的零点个数，

当时，，

，

令，则；，则，

故在上单调递增，在上单调递减，

故是唯一的极值点且为极大值点，

故的最大值为，

又，，

由零点的存在性定理知，在和上分别有一个零点，

故有2个零点.

22．在平面直角坐标系中，圆的圆心坐标为，过点只能作一条圆的切线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆的极坐标方程；

(2)直线和圆相交于不同的两点，若，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由题设条件判断得点在圆上，由此求得，进而得到圆的标准方程，再利用直角坐标方程与极坐标方程的互化即可求得圆的极坐标方程；

（2）联立直线与圆的极坐标方程，结合韦达定理得到的方程，再由得到，由此即可求得的值.

【详解】（1）由题意知，点在圆上，故线段为圆的半径，

则，

所以圆的直角坐标方程为，即，

故圆的极坐标方程为.

（2）将直线代入圆的极坐标方程可得，

由与，得，

设点的极坐标分别为，则，故，

又因为，所以，则由得，故，

所以，则，

所以.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)将写成分段不等式组的形式，解不等式组即可；

(2)根据题意将原不等式转化为，解绝对值不等式即可.

【详解】解：（1）等价于或解得.

故不等式的解集为.

（2），即，即.

因为，

所以等价于，

解得.

故的取值范围为.