2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高三上学期12月联考数学试题（解析版）

★秘密·2022年12月15日16：00前

重庆市2022-2023学年（上）12月月度质量检测

高三数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．若存在实数， 使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（    ）

A． B． C． D．

5．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

6．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（      ）

A． B． C． D．2

7．已知直线与圆（为整数）相切，当圆的圆心到直线的距离最大时，（    ）

A． B． C．1 D．

8．我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9．已知等差数列的前n项和为，，，，的前n项和为则下列说法正确的是（    ）

A．数列的公差为2 B．

C．数列是公比为4的等比数列 D．

10．已知A､B两点的坐标分别是，，直线AP､BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，点P的所在的曲线是焦点在x轴上的双曲线

B．当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的双曲线

C．当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的椭圆

D．当时，点P的所在的曲线是圆

11．如图，在平行四边形中，，分别为的中点，沿将折起到的位置（不在平面上），在折起过程中，下列说法不正确的是（    ）

A．若是的中点，则平面

B．存在某位置，使

C．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为

D．直线和平面所成的角的最大值为

12．已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．复数和在复平面上所对应的两个向量的夹角的大小为__________（结果用反三角函数表示）.

14．若，则______．

15．在分层抽样时，如果将总体分为k层，第j层抽取的样本量为，第j层的样本平均数为，样本方差为，，．记，则所有数据的样本方差为________．

16．已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．函数满足，，且与直线相切.

(1)求实数，，的值；

(2)已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.

18．已知的内角、、所对的边分别为、、，且.

(1)求角的大小;

(2)若，求的值.

19．已知双曲线C过点,.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值.

20．如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.

(1)求证：；

(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.

21．已知．

(1)求的单调递增区间；

(2)若，且，证明．

22．在合理分配团队合作所得时，我们往往会引入Shapley值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，2，…，）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，，，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合的元素为一个小组中成员的编号，例如：集合表示编号为1，2，3，4的员工结为一个小组，并记这个组为.再记为小组合力工作可产生的总贡献，并对编号为的员工引入边界贡献，表示如果员工加入小组中可以为小组带来的贡献值.那么一个员工的Shapley值为其中为其他组员（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的Shapley值越大意味着它在整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播，，在一次三人联动带货活动（一种直播方式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个人三个人联动）中共有50000份订单任务要完成，单独直播能完成10000份，单独直播能完成12500份，单独直播能完成5000份，如果，联动带货可以完成27000份，，联动带货能完成37500份，，联动带货能完成35000份，，，联动带货能完成50000份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑，，三人最终的奖金分配.请回答以下问题：

（1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释Shapley值的合理性；

（2）根据，，三人Shapley值的大小合理地给出奖金分配方案（用百分数表示，精确到小数点后一位）.

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高三数学答案及评分标准

1．B   2．B   3．C   4．B

5．D【详解】解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴．由，，两边平方，得即，当且仅当，即时取等号，即，∴线段CD长度的最小值为．故选：D．

6．D【详解】如图,连接,取中点,过作面，垂足为,在正方体中,平面,且平面,平面平面,

平面平面,且平面，平面,为的中点,,故,而对固定点,当时,最小,此时由面，面，，又,，且面，故面，又面,则面面，根据三棱锥特点，可知，而易知为等腰直角三角形，可知为等腰直角三角形,.故选：D.

7．D【详解】由题意，圆C： ，半径 ，C点到直线l的距离 ，a为整数， ；C到直线 的距离 ，考察 ，令 ，则有 ，  ， ，即 的取值范围是 ，当 时， ， 最大；故选：D.

8．D【详解】解：构造一个底面半径为，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为时，小圆锥底面半径为，则，，

故截面面积为：，把代入，即，解得：，

橄榄球形几何体的截面面积为，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：圆柱圆锥.故选：D.

9．AB    10．AD

11．ABD【详解】取中点，连接.若A正确，平面，且为三角形中位线，则，面，则面，因为平面

所以平面平面，因为面平面面平面

所以，显然，为三角形中位线，，矛盾，故假设不成立，A错误；

以A为坐标原点，AD为y轴正半轴，在平面中作与AD垂直方向为x轴正半轴，z轴垂直平面，建立空间坐标系.因为，，所以，

所以，所以，所以，即，又因为，则，

若B正确，则有，因为平面，所以平面，

因为平面，则必定成立.则根据题意，可得、、、.，，则，即不成立，故矛盾，所以B不成立；

当二面角为直二面角时，即平面平面.根据上面可知，所以，

又，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故四面体为所有面都是直角三角形的四面体，根据外接球性质可知，球心必为中点，即为外接球半径.

，，由勾股定理可知，则，外接球面积为，故C正确.当平面平面时，直线和平面所成的角的最大，记此时角为.

由上图可知，在中，，由余弦定理可解得.此时.此时，故D错.故选：ABD

12．CD【详解】因为，且恒成立，所以，则，故，则，当时，，，则，故，则恒成立，当时，，，则，对两边取对数，得，令，则，又，所以在上单调递增，故，即在上恒成立，令，则在上恒成立，即，又，令，得；，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，故，对于AB，易得，，故AB错误；对于CD，易得，，故CD正确.故选：CD.

13．

14．－100

15．【详解】解：.∴样本均值.

又.计算总体又..

.故答案为：

16．【详解】根据题意，为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；由题意，令，可得 ，则，所以，，即；当，，，当，，，如图所示，由勾股定理得，

即，即，解得：.故答案为：

17．

（1）因为，，

，

又，，

所以有，解得，所以，.

因为函数与直线相切，设切点为，

则，，

即，解得，所以，，，，

所以.

（2）由（1）知，，即.

当时，，解得或（舍去）；

当时，有，，

所以有，整理可得，

因为，所以，即.

所以，是以为首项，1为公差的等差数列.

所以，，.

则不等式对于任意恒成立，可转化为

，

即对于任意恒成立.

①当为偶数时，即有恒成立，

因为，

当且仅当，即时等号成立，此时有；

②当为奇数时，即有恒成立，

令，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

又，，

所以当为奇数时，最小值为.

所以，，即有.

综上所述，.

18.

（1）已知，根据正弦定理可得：，

在中，，，

所以，

得，，

即，得.

（2）由，得，即.

根据余弦定理得，解得.

19．

（1）设双曲线C的方程为,

将,代入上式得:,

解得,

双曲线C的方程为.

（2）设,,

由题意易得直线l的斜率存在,

设直线l的方程为,代入整理得,

,

,,且,

则

,

故为定值.

20．

（1）底面是菱形，

，

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，又平面，

.

（2）解法一：

由（1）知面，又平面，

平面平面，

作交线，垂足为，

因为平面平面=，平面，则面，

又平面，所以.

再作，垂足为，面，面，

所以面，又面

则，

所以为二面角的平面角，

因为平面，所以到底面的距离也为.

作，因为平面平面，平面平面＝，

平面，所以平面，所以，

又为锐角，

所以

又，所以为等边三角形，故，所以，

因为，所以，

所以.

所以二面角的平面角的余弦值为.

解法二：由（1）知面，又平面，

平面平面，

作，因为平面平面，平面平面＝，

平面，所以平面，

如图，建立直角坐标系：为原点，为轴方向，轴.

因为平面，所以到底面的距离也为.

所以，又为锐角，所以

又，所以为等边三角形，故，

在空间直角坐标系中：，设，则

则，

设平面的法向量为，

，取

设平面的法向量为，

，取

所以，

由题知二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.

21．

（1） 的定义域为 .

∵，仅当时取等号，

∴ 的单调递增区间为 .

（2）由题可得 ，

若 ， 则必有 ， 则 ；

若，则必有，则．

∴若，则．

要证，只需证，只需证，即证，

又，故只需证．

令．

则．

∵，∴，∴，

且，

∴，故在上单调递增．

∵，∴，∴，∴，得证.

22．

(1) 由Shapley值的评判标准知：利用边界贡献计算出员工的Shapley值，使员工所得与员工的贡献率相等，相对比较公平，也可以促进员工之间工作的积极性.

(2)由题意知：加入的顺序有种，

①按的顺序：，，

；

②按的顺序：，

，

；

③按的顺序：，

，

；

④按的顺序：，

，

；

⑤按的顺序：，

，

；

⑥按的顺序：，

，

；

的Shapley值为： ，

的Shapley值为：,

的Shapley值为：；

故分得奖金的；

故分得奖金的；

故分得奖金的.