2022届吉林省四平市第一高级中学高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版） (1)

2022届吉林省四平市第一高级中学高三上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则的真子集共有（    ）个

A．3 B．4 C．6 D．7

【答案】A

【分析】解一元二次不等式求集合A，根据所得集合的元素个数判断其真子集的个数.

【详解】由题设，，

∴的真子集共有个.

故选：A.

2．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于(    )

A．第二象限 B．第三象限 C．直线上 D．直线上

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则求出z和，根据复数的几何意义即可求解.

【详解】，

对应的点在第四象限，且在直线上.

故选：D.

3．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由可得出的取值范围，根据充分必要条件的关系即可得出结果.

【详解】由得，或，

所以，，

显然，“”是“”的必要不充分条件；

故选：B.

4．工厂生产某种产品的月产量与月份满足关系式，现已知该工厂今年1月份､2月份生产该产品分别为1万件､1.5万件，则此工厂4月份生产该产品的产量为（    ）

A．1.275万件 B．1.750万件 C．1.875万件 D．2.725万件

【答案】C

【分析】运用代入法，通过解方程组进行求解即可.

【详解】因为该工厂今年1月份､2月份生产该产品分别为1万件､1.5万件，

所以，

此工厂4月份生产该产品的产量为万件，

故选：C

5．在棱长为4的正方体内任取一点，则这个点到该正方体的中心距离不超过1的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用几何概型的概率公式求解，先求出以正方体的中心为球心，1为半径的球的体积，再求出正方体的体积，两体积相比可得答案

【详解】因为棱长为4的正方体的体积为，以正方体的中心为球心，1为半径的球的体积为，

所以在棱长为4的正方体内任取一点，则这个点到该正方体的中心距离不超过1的概率为，

故选：D

6．已知，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角和的余弦公式，即可得到答案.

【详解】，，

，

.

故选：B.

7．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】应用平面向量数量积的运算律展开目标式，根据已知向量的模和夹角求值即可.

【详解】由题设，.

故选：B.

8．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径和高，即可求出其体积.

【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，

因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，

所以，，

所以，

所以圆柱的体积为.

故选：D.

9．已知是上的奇函数，且当时，，若，则（    ）

A．-6 B．-7

C．-11 D．-15

【答案】C

【分析】由题意可知，，即可得，计算可得的值，利用奇函数性质计算可得结果.

【详解】因为是上的奇函数，所以，由得；

即，得，所以；

.

故选：C.

10．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】过圆心作，将问题转化为，结合点到直线距离公式来进行求解.

【详解】圆的圆心为，半径为，为直线上的任意一点，

过作，垂足为，则是的中点.

由，可得，

，则，又，

的最小值为．

故选：D.

11．已知数列的首项是，前项和为，且（），设，若存在常数，使不等式（）恒成立，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据数列的递推式可得到，构造等比数列求出，继而求出，再利用基本不等式求得的最大值，则可得答案.

【详解】当 时，由可得，

两式相减得： ，即，

而，，故 ，

所以 是以为首项，为公比的等比数列，

则 ，

故，

所以，

而 ，当且仅当 时取等号，

故，当且仅当 时取等号，

所以若存在常数，使不等式（）恒成立，

则的最小值为 ，

故选：C

12．已知，分别是双曲线：（，）的左､右焦点，直线与交于，两点，且，四边形的周长与面积满足，则的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】不妨设，结合双曲线定义和余弦定理可得，再由

四边形的周长与面积关系求得关系，由得出关系即可求双曲线的渐近线.

【详解】不妨设，

由双曲线的定义可知，，即，

又，所以由余弦定理可得，

由可得 ，

由可得，

所以.

由题意可知，四边形为平行四边形，

所以四边形的周长，

 四边形的面积.

因为，所以，

整理得，由，得，即.

所以的渐近线方程是.

故选：C.

二、填空题

13．已知是公差为3的等差数列.若，，成等比数列，则的前6项和___________.

【答案】63

【分析】由等比中项的性质及等差数列通项公式求得，进而写出通项公式，利用等差数列前n项和公式求.

【详解】由题设，，则，解得，

所以，则.

故答案为：

14．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.

【答案】1或##或1

【分析】由最小正周期可得，讨论并结合正弦函数的性质求的值域，即可求最大值与最小值的和.

【详解】由题设，，则，

在上，当则，故；

当则，故；

综上，最大值与最小值的和为1或.

故答案为：1或

15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为___________.

【答案】

【详解】首先将三视图的直观图放入长方体里，再计算其体积即可.

【点睛】将三棱锥放入长方体中，如图所示：

，三棱锥的体积.

故答案为：

16．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解.

【详解】因为，

所以为奇函数，

因为，所以为上的增函数，

由得，则，

因为，所以．

令，则，令，得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故，所以，即，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

三、解答题

17．在中，角所对的边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若，的面积为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案；

（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.

【详解】（1）解：因为，

所以，

因为，

所以，即，

因为，所以.

（2）解：因为的面积为，，

所以，即，

因为，所以，

所以，解得.

所以.

18．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，．

(1)求证：平面BCD；

(2)求点E到平面ACD的距离．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得答案；

（2）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.

【详解】（1）证明： O，E分别是BD，BC的中点，

，

，

，

则，即，

，

则，即，

在中，由已知可得

，

，平面，

平面.

（2）设点E到平面ACD的距离为，如图所示：

，

，

在中，

而，

，

点E到平面ACD的距离为

19．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为20的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示.

(1)求上图中的值；

(2)根据频率分布直方图，求200件样本尺寸在内的样本数；

(3)记产品尺寸在内为等品，每件可获利5元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损2元；其余的为合格品，每件可获利3元.若该机器一个月共生产3000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.

【答案】(1)；

(2)（件）；

(3)需要对该工厂设备实施升级改造.

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为进行求解即可；

（2）根据频率分布直方图中的数据进行求解即可；

（3）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出单月利润，最后比较大小即可.

【详解】（1）因为，

解得；

（2）200件样本中尺寸在内的样本数为（件）

（3）由题意可得，这批产品中优等品有（件），

这批产品中不合格品有件，

这批产品中合格品有（件），

元.

所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为10680元，

因为，

所以需要对该工厂设备实施升级改造.

20．已知椭圆：（）过点，､分别为椭圆的左､右焦点，且焦距为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆左顶点的直线与椭圆交于另一点（点在第二象限），的垂直平分线交轴负半轴于点，为椭圆右顶点.设直线的斜率为，直线的斜率为，且满足，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆的焦距求出的值，然后将的坐标代入椭圆方程，求得的值，即可得出椭圆C的方程.

（2）设直线的方程为，将此直线方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，求出线段的中垂线方程，可求得点的坐标，由，求出的值，即可得出直线的方程

【详解】（1）设椭圆的焦距为（），则､，，

由已知可得,解得，

所以椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为（），设点，

联立，可得，故，即点，

所以，解得，

因为点，所以，线段的中点为，

因为点，，

线段的中垂线方程为，

在直线方程中，令，可得，

即点，

，

所以，满足，有，

可得，解得，

因此，直线的方程为，即.

21．已知函数．

(1)若a＝1，求函数的单调区间及在x＝1处的切线方程；

(2)设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)的减区间为，增区间为；切线方程为.

(2)

【分析】（1）将a＝1代入函数中，求出函数的导数，判断导数的正负，可得函数的单调区间；根据导数的几何意义求得切线方程；

（2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可.

【详解】（1）当时，

由，有，

由有，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的减区间为，增区间为；

又，所以切点为，

切线斜率，

所以切线方程，

即切线方程为.

（2），

，

设，

则

∵，∴，

在上单调递增，

，

①当，即时，

，

在上单调递增，

则，

∴，

故．

②当，即时，

，

，，

即，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

则

，

∴，

∴．

由，

令函数，且，

，

在上单调递增，，

∵，

∴．

综上，实数a的取值范围是：．

【点睛】导数题常作为压轴题出现，常见的考法：

①利用导数研究含参函数的单调性（或求单调区间），

②求极值或最值

③求切线方程

④通过切线方程求原函数的解析式

⑤不等式恒（能）成立问题，求参数的取值范围

⑥证明不等式

⑦已知函数的零点个数求参数的取值范围

解决问题思路：对函数求导利用函数的单调性进行求解；构造新函数对新函数，然后利用函数导数性质解决.

22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线和直线的极坐标方程；

（2）若点在直线上，且，射线与曲线相交于异于点的点.求的最小值.

【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为；（2）

【分析】（1）首先将曲线的参数方程转化为普通方程，再根据将直角坐标方程转化为极坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，其中，由（1）中的极坐标方程可得，，再根据三角恒等变换及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以，即，因为，所以，所以曲线的极坐标方程为

因为直线的方程为，所以直线的极坐标方程为

（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，其中，由（1）知，，所以

因为，所以，所以，

所以当，即时，

23．已知的最小值为.

(1)解关于的不等式；

(2)若正实数，满足，求取最小值时的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由绝对值的几何意义求，再应用公式法求不等式的解集.

（2）由（1）可得，应用基本不等式“1”的代换求的最小值，并确定对应参数a、b的值，即可求.

【详解】（1）由绝对值几何意义知：，当时等号成立，

∴，

由，可得，解得，

∴不等式解集为.

（2）由（1）及题设知：，

∴，当且仅当时等号成立，

∴.