2022届陕西省渭南市蒲城县高三上学期第一次对抗赛数学（文）试题（解析版）

2022届陕西省渭南市蒲城县高三上学期第一次对抗赛数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据集合的交集运算即可求解.

【详解】因为，，

所以，

故选：A

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】将全称命题否定为特称命题即可.

【详解】命题“，”的否定是

“，”，

故选：C.

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正切的二倍角公式计算即可.

【详解】因为，

所以，

故选：D.

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.

【详解】推不出（举例，），

而,

“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

5．函数的一个单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由求出函数的单调减区间，然后逐个分析判断.

【详解】由，得

，

所以的单调减区间为，

所以函数的减区间有，……，

对于A，函数在上有增有减，所以A错误，

对于B，函数在上有增有减，所以B错误，

对于C，函数在上有增有减，所以C错误，

对于D，函数在上递减，所以D正确，

故选：D.

6．函数在上的图象大致为（    ）

A．    B．  C．    D．  

【答案】C

【解析】根据函数的奇偶性及函数在时的符号，即可求解.

【详解】由可知函数为奇函数.

所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；

当时，，

，排除选项D，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

7．在中，三个顶点的坐标分别为，，，若是以B为直角顶点的直角三角形，则（    ）

A．3 B．0 C．-3 D．-1

【答案】A

【分析】由题意可得，且三点不共线，则，从而可求出的值.

【详解】因为，，，

所以，

因为是以B为直角顶点的直角三角形，

所以，且三点不共线，

由，得，解得或，

当时，，此时三点不共线，符合题意，

当时，，此时两点重合，不合题意，舍去，

综上，，

故选：A.

8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（    ）

A．2049年 B．2041年 C．2032年 D．2025年

【答案】D

【分析】设年研发资金开始超过200万元，列出关于的不等式，利用指对互化，即可求解.

【详解】设年后研发资金开始超过200万元，

所以,

所以,

所以,

所以,

所以2025年研发资金开始超过 200万元,

故选：D.

9．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】函数的图象向右平移个单位长度，得到，再利用三角函数的图象的对称性，可得答案．

【详解】函数的图象向右平移个单位长度，

所得函数图象的解析式为，

令，得．

令k＝0，则，

即平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是.

故选：A

10．已知，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将已知条件转化为：，分别作出函数和的图象，利用函数图象即可求解.

【详解】由题意知：，可得：

，

分别作出函数和的图象，如图所示：

结合图象，可得，

故选：A.

11．魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（    ）

A． B． C．8 D．﹣8

【答案】B

【分析】将π＝4sin52°代入中，结合三角恒等变换化简可得结果．

【详解】将π＝4sin52°代入中，

得.

故选：B

12．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，结合题意讨论单调性即可求解.

【详解】当时，令

所以，

所以在时单调递增，

对于A，由以上结论得即

即，故A正确；

对于B，由以上结论得即

即，故B错误；

对于C，因为，

故只用判断，

由A选项知，

但无法判断是否成立，故C错误；

对于D，只用判断是否成立，

根据题设条件，无法判断是否成立，故D错误.

故选:A.

二、填空题

13．已知函数，则＝_____．

【答案】π

【分析】求出函数的导函数，再借助诱导公式求三角函数值即可.

【详解】由求导得：，

于是得，

所以.

故答案为：π

14．若向量，满足，，则与的夹角为______．

【答案】##.

【分析】根据向量的夹角公式结合已知条件求解即可.

【详解】设与的夹角为（），

因为，，

所以，

因为，

所以，

故答案为：.

15．若曲线与x轴有且只有2个交点，则a的最小值为____．

【答案】1

【分析】由和图像分类讨论即可求得结果.

【详解】令，得，

令，得或.

在同一坐标系作出和的图像如图所示：

则，，，

由题可知，当时，函数只有一个零点；

当时，函数有和两个零点；

当时，函数只有一个零点；

当时，函数有和两个零点.

综上：或.

所以的最小值为1.

故答案为：1

16．某校开展数学活动，甲、乙两同学合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，如图，甲站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，乙站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°．已知甲、乙两同学相距（BD）6米，甲的身高（AB）1.5米，乙的身高（CD）1.75米，则旗杆的高EF为 _________米．（结果精确到0.1，参考数据：）

【答案】10.3

【分析】过点A作AM⊥EF于M，过点N作CN⊥EF于N，由给定条件结合直角三角形边角关系列式即可计算旗杆EF的长．

【详解】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，如图，

显然MN=0.25m，而，则AM＝ME，令AM=ME=xm，

则CN=(x+6)m，EN=(x-0.25)m，又，

于是有，解得x≈8.8，则EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3(m)，

所以旗杆的高EF为10.3m.

故答案为：10.3

【点睛】思路点睛：涉及距离、高度测量问题，可以通过作垂线，转化成解直角三角形问题解决.

三、解答题

17．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)求在区间上的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）化简，再利用周期公式得解；

（2）利用不等式的性质结合正弦函数的图象和性质逐步求出函数的值域.

【详解】（1）解：∵，

∴的最小正周期是．

（2）解：∵

，，

∴在区间上的值域为．

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，，求bc的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后化简可求出角A的大小；

（2）利用余弦定理结合已知条件可求得结果.

【详解】（1）根据正弦定理及已知可得．

∵，

∴．∴．

∵，∴，

∴．

（2）根据余弦定理得，

∵，∴．

19．已知函数，．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的极小值．

【答案】(1)

(2)-1

【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；

（2）求导，令导函数为0求得极值点，再列表分析导函数的正负与原函数的单调性求解即可.

【详解】（1）∵，

∴．

∵，∴切点为．

又∵，

∴曲线在点处的切线方程为．

（2）令，得，解得，．

当x变化时，，的变化情况如下表．

∴在，上单调递增，在上单调递减．

∴在处取得极小值为．

20．我国作为世界上主要的产茶国，在全球茶叶生产、消费和出口中都占据重要地位．某茶叶销售商通过上一年销售统计发现，某种品牌的茶叶每袋进价为40元，每袋茶叶的销售价格（52≤x≤57，x∈N）与日均销售量之间的函数关系如表：

(1)求平均每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；

(2)求平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；

(3)当每袋茶叶的售价为多少元时，该茶叶销售商每天可以获得最大利润？最大利润是多少？

【答案】(1)y＝﹣3x+240（52≤x≤57，x∈N）

(2)w＝﹣3x2+360x﹣9600（52≤x≤57，x∈N）

(3)当x＝57时，w取得最大值，且最大值为1173元

【分析】（1）根据已知条件，结合表中的数据，可求求解．

（2）根据已知条件，结合公式平均每天的销售利润＝每件产品的利润×平均每天的销售量，即可求解．

（3）根据（2）所得式子，再结合二次函数的性质，即可求解．

【详解】（1）由表可知，每箱销售价格每提高1元，则日均销售量减少3箱，

∴y＝69﹣3（x﹣57），即y＝﹣3x+240（52≤x≤57，x∈N）．

（2）∵某种品牌的茶叶每袋进价为40元，

∴w＝（x﹣4）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600（52≤x≤57，x∈N）．

（3）∵w＝﹣3x2+360x﹣9600＝﹣3（x﹣60）2+1200（52≤x≤57，x∈N）．

∴当52≤w≤57，x∈N时，w为增函数，

∴当x＝57时，w取得最大值，且最大值为1173元．

21．已知函数f(x)＝log2.

（1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；

（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；

（3）若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．

【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－<a≤－.

【分析】（1）由解得，然后检验函数是奇函数即可；

（2）由真数恒大于0即恒成立可得；

（3）由函数单调性得，解之可得．

【详解】（1）若函数f(x)是R上的奇函数，

则f(0)＝0，解得a＝0.

当a＝0时，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函数，

所以a＝0为所求．

（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，

故只要a≥0即可．

（3）由已知，得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，

最小值是f（1）＝log2.

由题设，得log2(1＋a)－log2≥2⇒，解得－<a≤－.

【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握对数型复合函数的奇偶性、单调性的研究方法是解题关键．

22．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【详解】试题分析：（1）对分两种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2））因为，所以原不等式等价于，结合（1）可得，利用导数研究函数的单调性，可得以，所以，即，即.

试题解析：（1），

①若，则，在上为增函数；

②若，则当时，；当时，.

故在上，为增函数；在上，为减函数.

（2）因为，所以只需证，

由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，

所以.

记，则，

所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，

所以.

所以当时，，即，即.