2023届宁夏银川市第六中学高三上学期第四次月考数学（文）试题（解析版）

2023届宁夏银川市第六中学高三上学期第四次月考数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则　　

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为集合,∴.故选C.

2．已知是虚数单位，若复数满足，则（    ）．

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】先求出，然后根据复数的模求解即可

【详解】，

，

则，

故选：C

3．设a，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】得出“”的充要条件为“或”，再判断即可得解．

【详解】因为“”的充要条件为“或”，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A．

4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得，化切为弦，结合平方关系可得，再由诱导公式求得的值．

【详解】因角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则有，即．再由，可得.

又由诱导公式，.

故选：D．

5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先作出不等式组表示的平面区域，利用目标函数表示的几何意义求最值.

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：

由得，

直线表示斜率为的直线，由图象可知当直线

经过点B时，直线的截距最大，此时z最小．

经过点A时，直线的截距最小，此时z最大．

由，解得，

即，此时，

由，解得，

即，此时，

即，

故选：D．

6．若，则的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将分子分母同时除以，将式子转化为只含有的式子，再代值求解.

【详解】,则将式子分子分母同时除以，可得.选B.

【点睛】本题考查三角函数中的化简求值问题，利用同角三角函数的关系，将所求式子中的正弦、余弦转化为正切，是本题化简求值的关键.

7．在区间上任取两个数，则两个数之和小于的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据几何概型计算公式进行求解即可.

【详解】设，，如下图所示：

在方程中，当时，，当时，，

所以两个数之和小于的概率是：，

故选：D

8．已知为等比数列,,,则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件可得的值，进而由和可得解.

【详解】或.

由等比数列性质可知

或

故选D.

【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.

9．已知，则的最小值是

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案．

【详解】因为 ，

又，所以，

当且仅当时取，故选B．

【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．

10．已知函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数为偶函数排除选项D；利用时排除选项C；利用时排除选项A；进而仅有选项B正确.

【详解】函数定义域为，

由，

可得为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项D；

由当时，仅有，可知选项C图象错误；

由当时，，则

则选项A图象错误.仅有选项B正确.

故选：B

11．已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将问题转化为与函数的图象没有交点，利用数形结合法求解.

【详解】设，图象如图，

问题转化为图象与函数图象没有交点，

由图象可得或.

故选：A

12．已知函数，给出下列命题：

①，都有成立；

②存在常数恒有成立；

③的最大值为；

④在上是增函数.

以上命题中正确的为（    ）

A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①②④

【答案】D

【解析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案.

【详解】①，为奇函数，正确；

②，为周期函数，正确；

③，令，则，令，得，且为最大值，错误；

④当时，，所以在上为增函数，正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

二、填空题

13．已知向量，，且，则______．

【答案】

【分析】利用向量共线的坐标满足的条件，求出，然后解向量的模．

【详解】解：向量，，且，

可得,解得，

则，，，．

故答案为：．

【点睛】本题考查向量的共线的坐标表示以及向量的和与差的模，考查计算能力．

14．若数列的前n项和为，则数列的通项公式是___________．

【答案】

【分析】由，时，；时，，即可得出．

【详解】∵，

∴时，；

时，，

则数列的通项公式是．

故答案为：．

15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.

【答案】

【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.

【解析】正弦定理及运用．

16．已知函数，，且在上单调递减，则_________．

【答案】

【详解】对于函数，，可得函数关于对称，

所以有，

又在上单调递减，所以有，.

三、解答题

17．如下图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图.

（1）求分数在的频率及全班人数；

（2）求频率分布直方图中的；

（3）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率.

【答案】（1）频率为0.2，人数为25人 （2），（3）0.7

【分析】（1）频率分布直方图中所对应矩形的面积即为分数在的频率，频数与频率比值即为总数.(2)由茎叶图得的频数，由频数与总人数的比值得频率，从而得到y值，再利用频率和为1可得x值；（3）利用列举法，求出基本事件总数以及至少有一份分数在之间的基本事件数，利用古典概型概率公式即可得出结果.

【详解】（1）分数在的频率为，

由茎叶图知，分数在之间的频数为5，

∴全班人数为人

（2）分数在之间的频数为2，由，得

又，解得：

（3）分数在内的人数是人，

将之间的3个分数编号为，

之间的2个分数编号为，

在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，，，，，，，，，共10个

其中，至少有一个在之间的基本事件有7个

故至少有一份分数在之间的概率是.

【点睛】本题考查古典概型概率公式与频率分布直方图的应用，属于基础题型.

18．已知函数，且函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．

(1)求的值和函数的单调递增区间；

(2)求函数在区间上的值域．

【答案】(1)；，

(2)

【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再由题设条件得到，从而求得，再利用正弦函数的单调性及整体代入法求得的单调递增区间；

（2）先由得到，再结合正弦函数的性质即可求得，从而得到的值域．

【详解】（1）因为，

因为函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，

所以，即，则，即，又，故，

所以，

令，，得，，

所以函数的单调递增区间为，.

（2）因为，所以，

故，则，即，

所以函数的值域为．

19．已知数列的前项和为，且，.

（1）求；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由表达式，结合即可求得，递推后即可求得数列的通项公式.

（2）先表示出数列的通项公式，结合裂项法求和即可得数列的前项和.

【详解】（1）数列的前项和为，且，，

当时，，

化简可得，

则，对也成立，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）可知，则

所以

数列的前项和为，则

.

【点睛】本题考查了由求通项公式的方法，递推公式的应用，裂项求和法的应用，属于基础题.

20．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）B=（Ⅱ）

【详解】(1)∵a=bcosC+csinB

∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB     ①

在三角形ABC中，A=－(B+C)

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC         ②

由①和②得sinBsinC=cosBsinC

而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB

又B(0，)，∴B=

(2) S△ABCacsinBac，

由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，

整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，

则△ABC面积的最大值为（2）1．

21．已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ ）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减（Ⅱ）

【详解】分析：（Ⅰ）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）若函数恒成立，则有，由（Ⅰ）知，当时，函数有最大值，且   从而可得结果 .

详解：（I），

①当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

②当时，令，解得，令，解得，

此时，函数在上单调递增；在上单调递减

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增；在上单调递减.

（2）若函数恒成立，则有

由（Ⅰ）知，当时，函数有最大值，

且    

解之得，     

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（I）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（II）求曲线上的点到直线的距离的最大值.

【答案】（I），；（II）.

【分析】（I）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程．（II）在曲线C上任取一点利用点到直线的距离公式能求出曲线C上的点到直线l的最小距离．

【详解】（I）曲线的普通方程为，

直线的直角坐标方程为.

（II）设曲线上的点的坐标为，

则点到直线的距离，

当时，取得最大值，

曲线上的点到直线的距离的最大值为.

【点睛】本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．

23．已知函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若时，，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）将代入函数的解析式，分和解不等式，即可得出不等式的解集；

（Ⅱ）由可得出，由可得出，结合，即可得出实数的取值范围.

【详解】（Ⅰ）当时，，由得.

①当时，原不等式可化为：，解之得：；

②当时，原不等式可化为：，解之得：且，.

因此，不等式的解集为；

（Ⅱ）当时，，

由得，，，

，，因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解题的关键就是要结合自变量的取值范围去绝对值，考查运算求解能力，属于中等题.