2023届辽宁省沈阳市第十中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届辽宁省沈阳市第十中学高三上学期12月月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届辽宁省沈阳市第十中学高三上学期12月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数单调性解不等式化简集合A，由二次不等式化简B，直接计算并集即可.【详解】，，故选：A2．已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z，进而可得，再利用复数的几何意义即得.【详解】因为，∴，所以复数对应的点在第三象限．故选：C.3．已知，命题p：方程表示椭圆，命题q：，则命题p是命题q成立的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据椭圆方程满足的条件可得命题满足或，由一元二次不等式可得满足，进而可求解.【详解】命题p：“方程表示椭圆”，则 ，解得或，命题q：，即，解得：，故p是q的充分不必要条件.故选：A4．函数在上的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由时，可排除选项CD，可得出正确答案【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B，又，排除选项CD，故选：A5．某海外实验室在研究某种人类细菌的过程中发现，细菌数量N（单位）与该人类细菌被植入培养的时间t（单位：小时）近似满足函数关系，其中为初始细菌含量．当时间（单位：小时），该细菌数量为（单位），则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知数据代入求得参数，再求即可.【详解】因为，时，该细菌数量为，故有：，所以，故，故选：B．6．已知数列满足，则的前10项的和为（    ）A． B．6 C．5 D．【答案】D【分析】根据数列的周期性，结合特殊角的三角函数值，以及二倍角公式，即可求得结果.【详解】由题可知，又的周期，且，故该列数列的前10项的和为.故选：D.7．已知关于的方程有唯一实数解，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，变换得到，令，确定函数为偶函数，故，计算得到答案.【详解】由题意得，则，令，则上式可化为，令，则，故为偶函数，关于的方程有唯一实数解，即函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故．故选：C8．如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】在和中，由正弦定理结合条件得到，设（），由双曲线的定义和勾股定理得到，结合即可求解.【详解】在中，由正弦定理得：①，在中，由正弦定理得：②，又，则，所以得：，又，则，即；设（），由双曲线的定义得：，，，由得：，解得：，所以，，在中，由勾股定理得：，整理得：，即双曲线的离心率，故选：C. 二、多选题9．已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ）A．直线l恒过定点B．当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1C．圆C与曲线恰有三条公切线，则D．当时，直线l上动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点【答案】CD【分析】对A将直线化成，则，解出即为定点；对B直接计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B，对C，直接将代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，对D，设点，利用两点直径式方程写出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数的方程，即可求出定点坐标.【详解】由直线:,,整理得:,故,解得,即经过定点,故A错误;当时,直线为,圆心到直线的距离故圆上有四个点到直线的距离都等于1,故B错误;圆,其半径，圆,当时, ,整理得，其半径圆心距为，故两圆相外切,恰有三条公切线,故C正确;当时,直线的方程为,设点,圆的圆心,半径为,以线段为直径的圆的方程为:,即,又圆的方程为,两圆的公共弦的方程为整理得,即,解得,即直线经过点,故D正确.故选：CD.10．下列是递增数列的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据增数列的定义，逐项分析即可.【详解】对于A， ，是摆动数列，不符合题意；对于B， ，符合题意；对于C， ，当 时， ，符合题意；对于D， ，当 时， ，不符合题意；故选：BC.11．已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（      ）A．该三棱柱既有外接球，又有内切球B．三棱锥的体积是C．直线与直线恒不垂直D．直线与平面所成角的正弦值范围是【答案】BD【分析】根据外接球、内切球、锥体体积、线线垂直、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，设等边三角形的内切圆半径为，则，，所以该三棱柱没有内切球，A选项错误.B选项，设是的中点，则，，根据正三棱柱的性质可知，，由于平面，所以平面，所以，B选项正确.以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，则，设，，，所以当在的中点时，直线与直线垂直，C选项错误.，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，则，，，即，所以直线与平面所成角的正弦值范围是，D选项正确.故选：BD12．已知椭圆的焦点为，，为椭圆上一点．在中，下列说法正确的有（    ）A．的周长为B．若的中点在轴上，则C．若，则椭圆的离心率取值范围为D．【答案】ABD【分析】对于A，利用椭圆的定义分析判断，对于B，由条件可得轴，从而可求出，对于C，利用椭圆的定义结合余弦定理求解，对于D，设（），则，然后化简计算可得结果.【详解】对于A，因为为椭圆上一点，，为椭圆的焦点，的周长为，所以A正确，对于B，因为的中点在轴上，的中点，所以∥，所以轴，当时，，得，得，所以，所以，所以B正确，对于C，设，由于，则，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，因为，所以，所以椭圆的离心率取值范围为，所以C错误，对于D，设（），则，所以，因为，所以，所以，所以D正确，故选：ABD. 三、填空题13．已知角的终边过点，则___________.【答案】2【分析】根据题意求得，结合倍角公式，即可求得结果.【详解】根据题意，，，则；，则.故答案为：.14．已知，若是与的等比中项，则的最小值为__________．【答案】【分析】由是与的等比中项，得到，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】解：由题意得，即，所以，又，所以，，所以，当且仅当，即，时等号成立．故的最小值为．故答案为：15．平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．【答案】##0.75【分析】利用数量积性质化简，再结合二次函数性质求的最小值.【详解】因为，所以，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.16．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】不等式转化为，构造函数，判断函数单调递增得到，转化为，构造函数，根据函数的单调区间计算最大值即得到答案.【详解】，即，设，恒成立，故单调递增.原不等式转化为，即，即，设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求最值解决参数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中通过变形构造函数，利用单调性解决问题是答题的关键. 四、解答题17．已知等比数列的前项和为为常数）.(1)求的值，并写出数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由已知求、，由为等比数列求出，写出通项公式；（2）由（1）写出通项公式，由奇偶项和为定值，用并项求和法求.【详解】（1）由，当时， .当时，.因为数列为等比数列，所以适合，所以，（2）由，则所以18．如图，斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点，且．(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理，及面面垂直的判定定理即可得证；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角.【详解】（1）取的中点，连接DO，即点在底面上的射影为，平面又平面，又，平面ABED ，则平面又平面，所以平面平面（2）取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设则，，，，则，，设平面的法向量为则，令，则设直线与平面所成角为，则19．在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，．(1)求四边形ABCD面积的最大值；(2)求对角线AC长的取值范围．【答案】(1)；(2)． 【分析】(1)四边形ABCD面积由两个三角形面积组成，表示出面积，用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最大值.(2)对角线长由余弦定理表示为，结合正弦定理，用辅助角公式化简求取值范围.【详解】（1）因为AD＝BD＝1，，所以三角形ABD为正三角形．设BC＝a，CD＝b．在三角形BCD中，由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，所以四边形ABCD的面积，即最大值为；（2）设，在三角形BCD中，由正弦定理得，，所以，在三角形ABC中，由余弦定理得，，因为，所以，所以．20．已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点，且，如图．(1)求圆的方程；(2)如图，过点的直线与椭圆相交于 两点，求证：射线平分．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据直线被圆截得的弦长公式求出圆心和半径即可求解；（2）将问题转化为证明,利用韦达定理可证明.【详解】（1）依题意，设圆心，，，解得，所以所求圆方程为：.（2）代入圆方程，得或，所以,若过点的直线斜率不存在，此时在轴上，,射线平分;若过的直线斜率存在，设其方程为，联立整理得设，所以射线平分．综上，射线平分.21．已知椭圆的离心率为，为的左焦点，，是上的两个动点，且直线经过的右焦点，的周长为．(1)求的标准方程；(2)若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），证明：的面积为定值．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由离心率可得，的关系，再由的周长可得的值，进而求出的值，可得的值，求出椭圆的方程；（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的代数式，再由向量的关系，可得的横纵坐标与，的坐标的关系，将的坐标代入椭圆方程，可得参数的值，求出到直线的距离，代入三角形的面积公式可得为定值．【详解】（1）由题意可得，，可得，，所以，所以椭圆的标准方程为：；（2）证明：设，，，，，，因为，即有可得，，由题意显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，整理可得，因为直线经过焦点，其在椭圆内部，显然，且，，，所以，因为在椭圆上，所以，可得，整理可得，可得或（舍，所以，点到直线的距离，所以为定值．【点睛】结论点睛：圆锥曲线中的弦长公式：弦长，其中为直线与圆锥曲线联立的关于的一元二次方程的二次项系数，若直线引入的参数为，则弦长，其中为直线与圆锥曲线联立的关于的一元二次方程的二次项系数.22．已知函数，，.(1)若直线与在处的切线垂直，求的值；(2)若函数存在两个极值点，，且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义得到在处的切线斜率，然后根据直线与切线垂直列方程求解即可；（2）根据有两个极值点，得到，，将证明转化为证明或，然后构造函数，利用函数的单调性证明即可.【详解】（1）∵，∴在处的切线斜率，∵直线与切线垂直，∴，∴.（2）由题意得，，由函数有两个极值点，则，在上有两个不等的实根，即，在有两个不等式的实根，，∵，，，∴，则，且，，方法一：要证，即证，则，同理可得：，则，，令，，则，，由，则，，则，则，则在上单调递增，∴，∴，即，∴成立.方法二：要证，即证：，又，又，所以，又所以只需证明：，，令，，求导，，，由，则，，则，则，则在上单调递增，∴所以，即.【点睛】利用导数证明不等式的策略：（1）差值函数法，例如证明时，可以转化为证明，构造函数，利用导数分析的单调性、最值，去说明；（2）特征分析放缩法，可以根据不等式的特征进行适当放缩；（3）切线放缩法，例如：，等；（4）隔离分析最值法：一般地，证明h(x)= A(x)-B(x)≥0，当研究h(x)的单调性困难时，可以“一分为二”成A(x)≥B(x)，考虑证A(x)mⅰn ≥B(x)max 是一种有效途径；（5）换元法.