2023届山东省东营市广饶县第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届山东省东营市广饶县第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届山东省东营市广饶县第一中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题
1．已知集合，，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由交集定义得，解得，从而，由此能求出.
【详解】∵集合，，，
∴，∴，
解得，∴，
∴.
故选：D.
【点睛】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
2．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】先求得，进而求得、，从而确定正确答案.
【详解】由图可知，
所以，
所以，对应点在第二象限.
故选：B
3．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果.
【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，
，，，
由全概率公式可得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.
4．若数列，，，，是等比数列，则的值是（    ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等比数列得到，结合得到答案.
【详解】数列，，，，是等比数列，则，故，
，故.
故选：C
5．若函数的最小正周期为，则下列区间中单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出函数的图象，可得出函数的最小正周期与单调递增区间，可求得的值，结合正切型函数的图象与单调性可求得函数的增区间，即可得解.
【详解】作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数的最小正周期为，且其增区间为，
对于函数，其最小正周期为，可得，则，
由，解得，其中，
所以，的单调递增区间为，
所以，函数在上递减，在上不单调，在上递增，在上递减.
故选：C
6．已知，．则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，然后结合三角恒等变换的知识求得正确答案.
【详解】，解得，
由于，所以，，
.



.
故选：C
7．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】本题通过基底法，得到，再通过立体图得到的值，以及的最小值，最终代入数据得到最小值.
【详解】如图为棱长为8的正方体外接球的一条直径,为球心，为正方体表面上的任一点

则球心也就是正方体的中心，
所以正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径,
它等于棱长的一半，即长度为4，,的长为正方体的对角线长，为，
我们将三角形单独抽取出来如下图所示：



所以的最小值为.
故选：B.
【点睛】将空间向量知识与正方体结合考察最值问题，难度较大，需要一定空间想象能力以及向量基底法的熟练运用，平时要多加训练.
8．已知函数及其导函数的定义域均为R，且是偶函数，记，也是偶函数，则的值为（    ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据是偶函数，可得 ，求导推得，从而求得，再根据为偶函数，可推得，即4是函数的一个周期，由此可求得答案.
【详解】因为是偶函数，所以 ，
两边求导得 ，即，
所以 ，即，
令 可得 ，即 ，
因为为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
，所以4是函数的一个周期，
所以,
故选∶C．
【点睛】方法点睛：此类有关抽象函数的求值问题，一般方法是要根据题意推导出函数具有的性质，比如函数的奇偶性单调性以及周期性，然后利用周期性求值.

二、多选题
9．立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（    ）

A．图中的x值为0.020 B．这组数据的极差为50
C．得分在80分及以上的人数为400 D．这组数据的平均数的估计值为77
【答案】ACD
【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由，可解得，故选项A正确；
频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；
得分在80分及以上的人数的频率为，
故人数为，故选项C正确；
这组数据的平均数的估计值为：
故选项D正确.
故选：ACD.
10．已知，则下列命题中，真命题的是（    ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则是钝角三角形
D．若，则是等边三角形
【答案】CD
【分析】直接利用诱导公式和关系式的变换及函数的性质的应用判定的结果．
【详解】解：对于选项，
利用诱导公式，整理得或，
所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于选项，整理得或，
故，或，故错误；
对于选项，必有一个负值，
假若为，则，
所以，故为钝角三角形，故正确．
对于选项：由于，
所以，
故，
整理得，
所以为等边三角形．
故正确．
故选：．
11．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边为1，侧棱长为a，M是CC1的中点，则（    ）
A．任意a＞0，A1M⊥BD
B．存在a＞0，直线A1C1与直线BM相交
C．平面A1BM与底面A1B1C1D1交线长为定值
D．当a＝2时，三棱锥B1－A1BM外接球表面积为3π
【答案】AC
【分析】对于A，证线线垂直即证线面垂直；
对于B，根据异面直线的定义可得；
对于C，根据基本事实3找出交线，然后求出交线长即可；
对于D，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积.
【详解】，，，，平面，
∴平面，平面，∴，A对.
平面，平面，∴平面
∴与异面不相交，B错.
延长，交于点，为中点，，

∴，∴，，∴，
平面平面，平面与底面交线为，
其中为中点，，C对.
，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆
圆心设为，半径（知D错）
取中点，则平面，，

∴，∴，，D错；
故选：AC.
12．若，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】选项A. 取特殊值可判断；选项B.由条件可得，利用均值不等式得到，从而可判断；选项C.由可判断；选项D. 先证明结论成立，从而可得，即可判断.
【详解】当时，满足，，故选项A不正确.
，∴，∴，故选项B对.
由，即，所以
，则，设，则
所以在上单调递增，则
所以，所以，故选项C对.
对于选项D.
先证明成立
要证明，即证明
设，即证明，即证明
设，则
设，则 （ ）
所以在上单调递增，即
所以在上恒有
所以在上单调递增，则
所以成立.
由，，所以，
又，则，故选项D对，
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的性质以及指数函数、对数函数的性质，考查构造函数利用单调性证明不等式，解答本题先根据条件得出，对于选项D根据指数均值不等式的结论证明.属于难题.

三、填空题
13．已知正数x，y满足，求x＋y的最小值______．
【答案】
【分析】先求得的关系式，然后利用基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意，正数x，y满足，
即，所以，
由基本不等式得，（当且仅当时等号成立）
所以，
由于，所以，
所以的最小值为.
故答案为：
14．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东方向上，测得塔顶P的仰角为 ，已知灯塔高为．则巡逻船的航行速度为______．

【答案】
【分析】解直角求得，在中利用正弦定理，即可求得答案.
【详解】由题意知在 中，,故,即，
解得 ，
在 中， ，
则，而 ，
所以，
所以，
即船的航行速度是每小时千米，
故答案为：
15．已知数列的前项和为，，，则数列_____________．
【答案】
【分析】根据可得，再利用累乘法即可求解.
【详解】由题意可得，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
故答案为：
16．所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，这两个平行的面称为上下底面，它们之间的距离称为拟柱体的高．生产实际中，我们经常看到黄沙、碎石、灰肥等堆积成上下底面平行，且都是矩形的形状，这种近似于棱台的形体就是一种特殊的拟柱体（如图所示），已知其高为h，上底面、下底面和中截面（经过高的中点且平行于底面的截面）面积分别为，和，请你用，，，h表示出这种拟柱体的体积V＝______．

【答案】
【分析】利用台体的体积减去若干棱锥的体积来求得拟柱体的体积.
【详解】根据拟柱体的定义，任一拟柱体都可看作是过某棱台的若干顶点，截去个倒立小棱锥与个正立小棱锥后余的凸多面体.当时，就是原棱台，即棱台是特殊的拟柱体.
设原棱台的高为，上底面、下底面、中截面面积分别为，
拟柱体的上底面、下底面、中截面的面积分别是，和，
设截去的个倒立小棱锥的底面面积分别是，
截去的个正立小棱锥的底面面积分别是，
那么拟柱体的体积为


①，
因为棱锥的中截面面积等于底面面积的，
所以，
即②，
由棱台的中截面性质可知，
所以③，
将③代入②得：

，
从而可知，代入①并整理得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查拟柱体的体积的求法，在立体几何教材中有拟柱体的体积的推导过程.圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、圆台、棱台、球、球冠、球缺等各有自己的体积公式，但这些公式，都可以统一为拟柱体公式.

四、解答题
17．已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项的和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分为奇数和为偶数，求解通项公式；
（2）利用分组求和求解.
【详解】（1）当为奇数时，，
所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，
所以，
当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；
（2）.
18．在锐角中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：；
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)证明详见解析
(2)

【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，求得，进而证得.
（2）结合三角恒等变换、函数的单调性等知识求得的取值范围，进而求得的取值范围，从而求得的最大值.
【详解】（1）依题意，是锐角三角形，
，由正弦定理得，
所以，
由余弦定理得，
则，
即，所以，
由正弦定理得，，
，，
，，则，，，
则或（舍去），
所以，所以.
（2）由于，
由于都是锐角，所以，解得，则，
所以，
对于函数，
任取，
，
由于，
所以，
所以在区间上递减，
所以在上递减，
，则，
所以.
由于，
所以，则，所以，
所以的最大值为.
19．某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为万元，其中．
(1)若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在什么范围内？
(2)若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为（其中x为产品订单的金额），试问m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）令，求导，解即可求出结果；
（2）该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立，参变分离得到，构造函数，求出的最小值即可.
【详解】（1）当时，，所以，令，即，又因为，因此，所以该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在；
（2）令，该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立，
所以，即，设，则，
令，
则，
所以在上单调递减，且，所以在上，即在上恒成立，故，所以，故，
因此当时，该企业加工生产将不会出现亏损.
20．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点.

(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：AD∥平面B1PQ;
(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为，求点P到平面BQB1的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）取BB1中点E，连接AE，EH，结合已知条件易得EH∥B1Q、AE∥PB1，根据线面平行的判定可证面，面，再由面面平行的判定及性质即可证结论.
（2）连接PC1，AC1有PC1⊥AA1，由面面垂直的性质可得PC1⊥面ABB1A1，过P作PR⊥AA1交BB1于点R，进而构建空间直角坐标系，设=λ=λ(0,-2,2)，λ∈[0,1]，确定相关点坐标，求面PQB1、面AA1C1C的法向量，根据已知二面角的余弦值求参数λ，进而可得，连接BP，应用等体积法求P到平面BQB1的距离.
【详解】（1）如图，取BB1中点E，连接AE，EH，由H为BQ中点，则EH∥B1Q.
在平行四边形AA1B1B中，P、E分别为AA1，BB1的中点，则AE∥PB1，
由EH∩AE=E且面，面，
所以面，面，又PB1∩B1Q=B1，
所以面EHA∥面B1QP，而AD面EHA，
∴AD∥面B1PQ.

（2）连接PC1，AC1，由四边形A1C1CA为菱形，则AA1=AC=A1C1=4.
又∠C1A1A=60°，则△AC1A1为正三角形，P为AA1的中点，即PC1⊥AA1.
因为面ACC1A1⊥面ABB1A1，面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1，PC1面ACC1A1，
∴PC1⊥面ABB1A1，在面ABB1A1内过P作PR⊥AA1交BB1于点R.
建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0,0)，A1(0,2,0)，A(0,-2,0)，C1(0,0,2)，C(0,-4,2)，

设=λ=λ(0,-2,2)，λ∈[0,1]，则Q(0,-2(λ+1),2λ)，
∴=(0,-2(λ+1),2λ).
∵A1B1=AB=2，∠B1A1A=60°，则B1(,1,0)，
∴=(,1,0).
设面PQB1的法向量为=(x,y,z)，则,令x=1，则=1,-,-，
设面AA1C1C的法向量为=(1,0,0)，二面角B1-PQ-C1的平面角为θ，则，解得λ=或λ=-(舍)，
∴=且Q(0,-3,)，又B(,-3,0)，
∴=(,0,-)，故||=，=(,4,-)，故||=.
所以，即，
连接BP，设P到平面BQB1的距离为h，则××4××=××4××h，
∴h=，即点P到平面BQB1的距离为.
21．2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②

【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
（2）递推求解，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，满足.
【详解】（1）解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
，，
，，X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





期望．
（1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





期望．
（2）解析：递推求解
①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，
从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．
②由①可知，，，故．
22．已知函数，，曲线在处的切线的斜率为.
(1)求实数的值；
(2)对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设方程在区间内的根从小到大依次为、、、、，求证：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.

【分析】（1）由已知可得出，即可求得实数的值；
（2）由题意可知对任意的恒成立，验证对任意的恒成立；在时，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在区间上的最大值，可得出的取值范围，综合即可得解；
（3）令，利用导数分析函数在区间上的单调性，利用零点存在定理可知，求得，证明出，结合函数的单调性，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为，则，
由已知可得，解得.
（2）解：由（1）可知，对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，则有对任意的恒成立；
当时，，则，令，其中，
且不恒为零，
故函数在上单调递增，则，故.
综上所述，.
（3）证明：由可得，
令，则，
因为，则，
所以，，所以，函数在上单调递减，
因为
，，
所以，存在唯一的，使得，
所以，，则，
所以，
，
因为函数在上单调递减，故，即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.