2023届山西省运城市稷山中学高三上学期11月考（重组六）数学试题（解析版）

2023届山西省运城市稷山中学高三上学期11月考（重组六）数学试题

一、单选题

1．在等比数列中，，，则（    ）

A．-8 B．16 C．32 D．-32

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式即可求解．

【详解】设等比数列的公比为

则，所以

故

故选：D

2．设等差数列的前项的和为，若，则（    ）

A．17 B．34 C．51 D．102

【答案】B

【分析】根据等差数列通项求公差，进而根据求和公式即可求解.

【详解】设公差为，则由得，

即，故.

故选：B

3．空间四边形中,点在上,且, 为中点,则等于(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】按照向量运算律计算即可

【详解】因为,所以

因为为BC中点,所以

所以

故选：B

4．正四面体内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设正四面体的棱长为2a，由正四面体几何性质得出a与外接球半径R的关系式，即可求比值

【详解】设正四面体的棱长为2a，正四面体的外接球心为O，的内心为M，则平面ABC，由平面ABC，则，

由，则.

故选：C

5．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）

A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)

【答案】C

【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．

【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，

∴在R上是减函数，

∴，解得，

∴a的取值范围是．

故选：C．

6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）

A．42 B．56 C．63 D．70

【答案】C

【分析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，利用等比数列求和公式，结合，即可得到答案；

【详解】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，

由，可得，解得，两边取对数得，

则，所以，

故需要的天数约为.

故选：C

二、多选题

7．已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（    ）

A． B．

C． D．、均为的最大值

【答案】BD

【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解

【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；

因为，所以，故B正确；

因为，故C错误；

因为由题意得，，所以，，故D正确；

故选：BD

8．已知正三棱柱的所在棱长均为2,P为棱上的动点,则下列结论中正确的是（    ）

A．该正三棱柱内可放入的最大球的体积为

B．该正三棱柱外接球的表面积为

C．存在点P,使得

D．点P到直线的距离的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据正三棱柱内可放入的最大球的半径为的内切圆半径,求出球的体积;

根据正三棱柱的外接球半径公式即可求出外接球表面积;

当为中点时, 构造等腰三角形,易证平面即可;

建立空间直角坐标系,利用两异面直线距离的向量计算公式即可求出点P到直线的距离的最小值.

【详解】关于A选项:该正三棱柱内可放入的最大球的半径为的内切圆半径,

体积为,故A错误;

关于B选项:该正三棱柱的外接球半径,表面积为,故B正确;

关于C选项:如图所示,当为中点时,记与的交点为,

正三棱柱,面为正方形,且,

,

为中点, ,

,

在和中由勾股定理可知,

为中点,在中由三线合一可得,

平面,平面,

平面,,得证,故C正确;

关于D选项:为棱上的动点, 到直线的距离的最小值即为异面直线与的距离最小值,

中点为原点,以的方向为x轴,以方向为y轴, 以方向为y轴

记中点为,以方向为z轴如图所示建立空间直角坐标系,

记异面直线与的公共垂向量为,,

,即,

令,

,可得D正确,

故选BCD.

三、填空题

9．曲线在处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得；

【详解】解：因为，所以，

，所以，

所以切线方程为，即；

故答案为：

10．在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.

【答案】##

【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线的夹角.

【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则，，，，

设直线与所成角为，

则

故答案为：

11．已知在三棱锥中，平面，且，则三棱锥外接球的体积为_______.

【答案】##

【分析】将三棱锥补成直三棱柱，根据直三棱柱的外接球运算求解.

【详解】因为平面，

我们可以将三棱锥补成直三棱柱如图所示，该直三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，而直三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上，

设外接圆半径为，直三棱锥的外接球半径为，

由正弦定理可得：，所以，

则，所以直三棱锥外接球的体积为.

故答案为：.

12．已知函数，若正实数满足，则的最小值为______________.

【答案】1

【分析】由知为奇函数,求导分析为增函数,故利用

可以算得的关系,再利用基本不等式的方法求的最小值即可.

【详解】,故为奇函数,又,所以为增函数.又,

故,所以

,当且仅当时取得最小值1.

故答案为1

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.

四、解答题

13．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinxcosx（x∈R）.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）求函数f（x）在区间[，]上的最大值和最小值.

【答案】（1）[]（k∈Z）；（2）最大值为1，最小值为﹣2.

【分析】试题分析：（1）利用倍角公式以及两角和的正弦对函数解析式进行化简，再由正弦函数的单调减区间，求出函数的递增区间；（2）由，求出的范围，进而求出最值.

【详解】（1）函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinxcosx＝﹣cos2xsin2x＝﹣2sin（2x）.

令（k∈Z），

解得：（k∈Z），

故函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）；

（2）由于，

所以，

所以当时，即x时，函数的最大值为1，

当，即x时，函数的最小值为﹣2.

【点睛】本题主要考查三角函数的周期性、三角函数的图象变换及最值，属于基础题.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过和、差、倍角公式把函数化为的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.

14．已知的内角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）若，如图，为线段上一点，且，求的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理将化为，结合，化简整理可得，从而可求出，进而可求出角的值；

（2）在中利用余弦定理可求出，从而可得，则有，而，所以

【详解】解：（1）根据正弦定理得，

整理得

因为，所以，又，可得

（2）在中，由余弦定理得：

将（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即

在中，可知，有，

因为，

所以.

15．已知直三棱柱中中，为正三角形，E为AB的中点，二面角的大小为.

(1)求证：平面；

(2)求直线BC与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明过程见解析；

(2).

【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可.

【详解】（1）连接交于，连接，显然是的中点，

因为E为AB的中点，所以，

而平面，平面，

所以平面；

（2）设的中点为，连接交于，

因为为正三角形，所以也是正三角形，

所以有，因为三棱柱是直三棱柱，

所以平面平面，而平面平面，

所以平面，

因为三棱柱是直三棱柱，

所以侧面是矩形，因此平面，

于是建立如图所示的空间直角坐标系，设，

所以，

设平面的法向量为，

，

所以有，

因为平面，

所以设平面的法向量为，

因为二面角的大小为，

所以有（负值舍去），

则，

设直线BC与平面所成角的正弦值为，

所以.

16．已知数列是等比数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和，并证明：.

【答案】(1)；

(2)，证明见解析.

【分析】（1）利用等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）运用裂项相消法进行运算证明即可.

【详解】（1）设等比数列的公比是q，首项是.

由，可得.

由，可得，所以，

所以；

（2）证明：因为，

所以

.

又，所以.