2023届上海市南洋模范中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

2023届上海市南洋模范中学高三上学期10月月考数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则_____________.

【答案】

【分析】求出集合、，然后利用交集的定义求出集合.

【详解】，，

故答案为.

【点睛】本题考查集合的交集运算，同时与考查了具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.

2．若复数满足，则的虚部为______.

【答案】.

【解析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.

【详解】由题.故虚部为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.

3．二项式展开式中的常数项为__________．

【答案】

【详解】由题额意得，

二项式的展开式的通项为，

令，所以，所以展开式的常数项为．

4．集合，，若，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】先化简集合，再根据集合间的基本关系，与集合进行集合包含关系运算即可，注意讨论子集中的空集的情况.

【详解】，若，则是的子集，

当时，，所以，

当时，，所以，

综上，实数的取值范围是．

故答案为: .

5．函数的值域为________．

【答案】

【分析】求出函数的定义域，并化简函数的解析式，利用反比例函数的值域可求得函数的值域.

【详解】由，可得且，函数的定义域为且，

，

所以且，

所以函数的值域为．

故答案为：．

6．一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中（单位：）是小球相对于平衡点的位移，（单位：）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为______.

【答案】

【分析】求导后，代入即可得到结果.

【详解】，，

即小球在时的瞬时速度为.

故答案为：.

7．直线是曲线的切线，则的最小值为__________．

【答案】2

【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，可得，再根据基本不等式可得的最小值.

【详解】设直线与曲线相切于点，

当时，直线不是曲线的切线，故,

由得，

所以切线方程为，

即，

所以，

所以，

当且仅当时，等号成立，所以．

故答案为：2.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题.

8．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，（其中是自然对数的底数），若，则实数的值为______.

【答案】3

【分析】根据题意，由函数的奇偶性和分析可得，即函数是周期为4的周期函数，进而可得，结合函数的解析式分析可得的值，即可得答案．

【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，

又由，则，

则有，变形可得，即函数是周期为4的周期函数，

若，则有，

又由函数是定义在上的奇函数，则，

又由当时，，则有，变形可得；

故答案为：3

【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．

9．有五张写有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽4次，则抽到的最大数与最小数的差小于4的概率是________

【答案】

【解析】五张不同的卡片，有放回的抽4次，共有种不同的取法，最大数与最小数的差小于4的取法指所选的数字均来自1，2，3，4或者2，3，4，5的情况，再去掉重复的部分——所选的数字均来自2，3，4的情况，再利用概率公式即可求概率.

【详解】有五张写有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽4次，

共有种不同的取法，差值可能为1、2、3、4，

最大数与最小数的差等于4，则4 次抽取中5或1没有抽到，没有抽到1的有

没有抽到5的有 ，5和1都没有抽到的有种，所以抽到的最大数与最小数的差小于4有种，

所以抽到的最大数与最小数的差小于4的概率

故答案为：

【点睛】本题主要考查古典概型求概率，涉及排列组合知识，属于中档题.

10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，平有“数学王子”的称号.为了纪念高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，已知，则函数的值域为______.

【答案】

【分析】先利用奇函数的定义判定是奇函数，利用分离常数法化简函数的解析式，判定函数的单调性且求出的值域，分情况讨论与的可能取值.

【详解】，

因为

，

即，所以为奇函数；

因为，所以，，，

则，即的值域为，

又因为在上单调递增，且，

所以当时，，当时，；

当时，，，

此时，，，，

则；

当时，，，

此时，，，，

则；

当时，，

此时，则；

综上所述，，

即的值域为.

故答案为: .

11．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】先求出的零点为，设函数的零点为，根据“零点相邻函数”的定义得到，则函数在上有零点，再根据二次函数的图象列式可求出结果.

【详解】因为，且函数为单调递增函数，所以为函数的唯一零点，

设函数的零点为，

又因为函数与互为“零点相邻函数”，

所以，解得，

所以函数在上有零点，

所以或或，

即或或，

所以.

故答案为：.

12．定义域为集合上的函数满足：①；②（）；③、、成等比数列；这样的不同函数的个数为________

【答案】

【分析】分析出f（x）的所有可能的取值，得到使f（x）中f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f（x）的个数即可．

【详解】解：经分析，f（x）的取值的最大值为x，最小值为2﹣x，并且成以2为公差的等差数列，故f（6）的取值为6，4，2，0，﹣2，﹣4．

f（12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，

所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有两种情况：

①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．

|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．

（1）当f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．

从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为10种．

从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为15种．

根据分步乘法原理，共有10×15＝150种方法．

（2）当f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．

从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到﹣2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为5种．

从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从﹣2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为1种．

根据分步乘法原理，共有5×1＝5种方法．

综上，满足条件的f（x）共有：150+5＝155种．

故填：155．

【点睛】解决本题的难点在于发现 f（x）的取值规律，并找到使f（1）、f（6）、f（12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．

二、单选题

13．设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】D

【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理以及面面平行、垂直的判定定理进行判断.

【详解】因为，，所以，

因为，过作平面与平面交线为，

则，，因为，

由面面垂直的判定定理可得，

故选项D正确，选项A错误；

因为，，所以或，

又因为，所以与的位置关系不确定，

即选项B、C错误；

故选：D.

14．设函数 ，其中常数满足．若函数（其中 是函数的导数）是偶函数，则等于（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件求出的解析式，然后再根据为偶函数得到的值．

【详解】∵，

∴，

∴．

∵函数为偶函数，

∴，

∴．

∵，

∴．

故选A．

【点睛】关于三角函数奇偶性的结论与方法

(1)函数y＝Asinωx是奇函数，y＝Acosωx是偶函数．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数φ＝kπ(k∈Z)；函数函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数φ＝kπ＋ (k∈Z)．

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数φ＝kπ＋ (k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数φ＝kπ(k∈Z)．

15．设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得．

【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；

②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；

③函数为偶函数，，令，，

则，存在．

故选：．

【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题．

16．在平面直角坐标系中，函数的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出函数图像，由图可知，直线，当时，由，解得其中一根，

当时，联立直线和函数方程，由韦达定理及三根之和为0，即可求解.

【详解】解：当，

当

所以，画出图像：

设直线方程为：，当时，直线l与函数的图像的交点个数不可能是3个,

故，依题意可知，关于x的方程有三个不等实根，

当时，由，可解得，不妨令，

当时，由可得，

，

则关于x的方程（*）有两个不等负实根，

则由韦达定理可得，，

依题意可知，

则，

直线方程为：，故直线恒过定点，

故选：A.

三、解答题

17．如图，在直三棱柱中，.

(1)若，求证：平面；

(2)若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离等于.

【答案】(1)证明见解析

(2)当点为棱的中点时，使点到平面的距离等于

【分析】（1）先证明和，再根据直线与平面垂直的判定定理可证平面；

（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：设，利用点面距的向量公式列式可求出结果.

【详解】（1）在直三棱柱中，平面，所以，，

又因为，，所以平面，所以，

因为，，所以四边形为正方形，所以，

因为，所以平面.

（2）由（1）知，两两垂直，

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：

因为，则，，，，

设，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则，则，

取，则，，

所以点到平面的距离等于，

又已知点到平面的距离等于，所以，

解得，（舍），

所以点为棱的中点时，使点到平面的距离等于.

18．已知.

（1）若，求的取值范围；

（2）设的三边分别是，，，周长为1，若，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用倍角公式，结合辅助角公式进行化简，根据角的范围，对函数取值范围进行求解．

（2）根据三角形的周长，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．

【详解】（1），

由

.

（2）

即

又，可得，

，

，

由余弦定理：

而，代入上式得：

，

即面积的最大值为.

【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．

19．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年，为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为该项目赢利．

（1）试求 的表达式；

（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．

【答案】(1)；（2）.

【详解】试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出.

试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），

第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×

=（千万元）．

∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．

（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，

∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；

当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．

又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．

∴该项目将从第8年开始并持续赢利．

答：该项目将从2023年开始并持续赢利；

方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，

令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．

从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；

当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．

又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．

∴该项目将从第8年开始并持续赢利．

答：该项目将从2023年开始并持续赢利．

20．已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）

【详解】试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.

试题解析：（1）当时，

由,解得.

∴在上是减函数，在上是增函数.

∴的极小值为，无极大值.

（2）.

①当时，在和上是减函数，在上是增函数；

②当时，在上是减函数；

③当时，在和上是减函数，在上是增函数.

（3）当时，由（2）可知在上是减函数，

∴.

由对任意的恒成立，

∴

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

由于当时，，∴.

【解析】1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.

21．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且.

(1)求椭圆方程；

(2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点；

(3)根据（2）中配对点的定义，若点有配对点，试问：点和点的横坐标应满足什么关系，点的横坐标的取值范围是什么？并说明理由.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)，的取值范围是

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆方程.

（2）设，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算来证得结论成立.

（3）根据求得的取值范围，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由求得与的关系.

【详解】（1）由于椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且，

所以，解得，

所以椭圆方程为.

（2）由（1）得，由于在椭圆内，

所以，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆必有两个交点，

设此时直线的方程为，

由消去并化简得，

设，则，

设，

所以

，

所以，所以，

所以点是左焦点的配对点.

（3）依题意，点有配对点，

设直线的方程为，由于，

所以必须在之间，而在椭圆上，结合椭圆的对称性以及直线与坐标轴不平行，

可知的取值范围是.

此时在椭圆的内部，直线必与椭圆有两个交点，

由消去并化简得，

设，则，

由于，所以，

即

，

所以.

【点睛】在圆锥曲线中，求解角度相等的题（），可转化为斜率问题来进行求解，联立直线的方程和圆锥曲线的方程，化简写出根与系数关系后的解题关键点一个是运算要准确，另一个是利用方程的思想来进行求解.