2023届陕西省定、靖、横“新三边”教育联盟高三上学期第一次联考数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届陕西省定、靖、横“新三边”教育联盟高三上学期第一次联考数学（理）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省定、靖、横“新三边”教育联盟高三上学期第一次联考数学（理）试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数的单调性解出对数型不等式，然后得出两集合间的关系.【详解】由，∴，∴，∴，故选：A.2．已知角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义求得的值，再结合正弦二倍角公式即可得的值.【详解】解:角的终边经过点，所以，，则.故选：D.3．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】根据台体的体积计算公式即可计算．【详解】由台体的体积公式可知，，，故选：C．4．某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（    ）A．18种 B．24种 C．36种 D．72种【答案】C【分析】除了甲乙外，再选2人，从而利用倍缩法进行求解.【详解】先从丙、丁、戊3人中选2人，有种，再把4人排列满足甲在前、乙在后，有，∴总共有种．故选：C5．记为等差数列的前项和．若，，则公差（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】设出公差，根据通项公式和求和公式列出方程组，求出公差.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得：故选：C6．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据垂直向量的数量积为0及数量积的运算化简即可得解.【详解】由题意，又向量与的夹角为且为单位向量，∴，解得.故选：D7．设，为实数，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据指数函数与对数函数的单调性解不等式，求出解集，由，但，求出答案.【详解】∵在上单调递增，∴由得：；∵在上单调递减，∴由得，由，但，∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B8．已知如图，椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，若，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，得到，再根据点差法解决中点弦问题，求出离心率.【详解】设，，∵，∴，．则，得，由，两式相减得：，即，其中，且，解得：，故，故，解得，故，∴.故选：C9．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的2倍（    ）A．4天 B．5天 C．6天 D．7天【答案】A【分析】由蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，又由莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，根据，列出方程，即可求解.【详解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，∴蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，又∵．即，解得．故选:. 10．已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（    ）A．B．在上单调递增C．在上的最小值为D．若为偶函数，则【答案】D【分析】根据已知条件逐一求参数,再应用三角函数性质分别判断选项即可.【详解】由题知，∵，，∴是的一个对称轴；即，解得：，又，∴，故A错误；∴当时，，∴在上单调递减，故B错误；当时，，∴当时，取最小值，故C错误；函数为偶函数，∴，∴，故D正确．故选:.11．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派甲、乙、丙、丁4名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每项工作至少1人参加，若表示事件：“甲参加登记这项工作”；事件表示“乙参加登记这项工作”；事件表示“乙参加接种这项工作”，则下列结论正确的是（    ）A．事件与相互独立 B．事件与相互独立C． D．【答案】D【分析】计算出，，验证得到，，故AB错误；利用条件概率公式求出，得到C错误，D正确.【详解】先将甲、乙、丙、丁4名医务工作者分为3组，1组2人，2组1人，则有种选择，再将分好的3组人员与参加登记、接种、留观3项工作全排列，故共有种基本事件，若甲与另外一人，共同参加登记这项工作，则只需将乙、丙、丁与登记、接种、留观3项工作全排列即可，此时由种选择，若甲单独参加登记这项工作，则先将剩余的乙、丙、丁分为两组，再和接种、留观2项工作全排列，有种选择，故事件包含的基本事件数为：，则，同理，事件包含的基本事件数为：，则，事件包含两种情况，一是甲单独参加登记这项工作，乙单独参加接种这项工作，则剩余的两人参加留观工作，此时由种选择，二是甲乙两人，有1人不是单独参加工作，此时有种选择，故事件包含的基本事件数为：，则∵，故A错误；∵，故B错误；∵，故C错误；∵，故D正确．故选：D.12．已知二次函数（其中）的图象经过点和．记为三个数，，的最大值，则的最小值为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】根据，代入解析式得到，，结合且得到或．进而得到当时，，当时，，求出最小值.【详解】由得，故，，由且得：或．当时，，当时，或，故当时，，当时，，当时，，当时，，∴.故选：A 二、填空题13．若复数，其中为虚数单位，则_______．【答案】【分析】由复数的运算法则和模长公式计算即可.【详解】，故答案为:.14．已知直线与曲线相切，则实数的值为_______．【答案】【分析】首先求出函数的导函数，设切点为，即可得到方程组，解得即可；【详解】∵，∴，设切点为，则，解得．故答案为: .15．已知正方体的棱长为2，点为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点的轨迹所围成的周长为_______．【答案】【分析】连接交平面于，连接，可证平面，所以，由求出，根据四面体为正三棱锥，求出和，可得在平面内的轨迹是以为圆心，半径为的圆，根据圆的周长公式可求出结果.【详解】如图所示，连接交平面于，连接，因为平面，所以，又，且与相交，所以平面，所以，同理可得，又，所以平面，∴是平面所成的角，∴．由可得，，即．在四面体中，，平面，所以，所以为的中心，又，．∴四面体为正三棱锥，如图所示：在等边三角形中，，，∵，∴，即在平面内的轨迹是以为圆心，半径为的圆，∴周长为.故答案为：16．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，直线分别与的左、右两支交于点，．若，，则的最小值为_______．【答案】3【分析】由双曲线的定义知，利用余弦定理得，求出，根据及，代入化简利用基本不等式求最小值即可.【详解】如图所示：由双曲线定义可知：，在中，由余弦定理得：，解得，所以，解得，又 ，故，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：3 三、解答题17．已知的内角，，所对的边分别为，，，周长为，且．(1)求的值；(2)若，求角的大小．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角形的周长结合正弦定理列方程可求解的值；（2）由（1）可得，又，结合余弦定理求解的值，即可得角的大小．【详解】（1）解：∵三角形周长为，∴，∵，∴由正弦定理可得，∴，解得．（2）解：由（1）知，又由余弦定理得又，∴．18．随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜爱．某新能源汽车销售企业在2017年至2021年的销售量（单位：万辆）数据如下表：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代号12345销售量（万辆）75849398100 (1)请用相关系数判断关于的线性相关程度（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确到小数点后两位）；(2)求出关于的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆？参考数据：，，附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距【答案】(1)与有很强的线性相关性；(2)，109.2万辆. 【分析】（1）根据公式求出线性相关系数，从而可得出结论；（2）利用最小二乘法求出线性回归方程，再代入的值，即可得出预计值.【详解】（1）解：由表中数据可得，，∴，又，，∴，所以与有很强的线性相关性；（2）解：由表中数据可得，则，∴，又2022年对应的代号为6，故，由此预计2022年该新能源汽车企业的销售量为109.2万辆．19．如图，直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，，，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面平行判定定理，构造三角形中位线，证明线线平行，即可证得线面平行；（2）根据图形建立空间直角坐标系，按照空间向量的运算求解平面与平面夹角的余弦值，即可得正弦值．【详解】（1）证明：连接交于点，连接，在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，所以与平行且相等，四边形为平行四边形，则是的中点，又是中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：在直三棱柱中，又，则分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，设平面的一个法向量，则，取，得，则，所以平面与平面所成角的正弦值为.20．已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，．(1)求抛物线的方程；(2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值【答案】(1)(2)11 【分析】（1）由过焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，结合抛物线的定义得，即可解决问题；（2）设直线的方程为，代入抛物线中写出韦达定理，又以为直径的圆经过点，则，转化为向量，利用数量积的坐标表示得出相应的关系式；利用抛物线的定义表示出，转化成函数求的最小值即可.【详解】（1）由题知，∴，∴，抛物线的方程为．（2）设直线的方程为，设点，，由方程组得:，∴，即，且，∴，，∵以为直径的圆经过点，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴∴或若，直线：过点，不合题意，舍去．，∴．则，所以当时，最小，且最小值为11.21．已知函数在处取极大值，．(1)求的值；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用函数在处取极大值,得到,计算即可.（2）移项构造新函数,求导应用函数单调性求出最小值,即证明即可.【详解】（1）因为，，又函数在处取极大值，所以，所以．经检验时，,函数在上是单调递增的, ,函数在上是单调递减的,故函数在处取极大值，所以．（2）由（1）知，，故要证，即证．令，则，．令，,得到在上单调递增，因为，所以，使得，即所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为，即，所以，所以，即，即得证．22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的直角坐标方程和的参数方程；(2)若曲线，的交点为A，，已知，求．【答案】(1)曲线的直角坐标方程为；的参数方程为（为参数）(2) 【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式求出与的直角坐标方程，再将的直角坐标方程化为参数方程；（2）写出的参数方程，与的普通方程联立，利用的几何意义求出的值.【详解】（1）由的极坐标方程为，由，故其直角坐标方程为：，曲线极坐标方程为，两边平方得：，得其直角坐标方程为：，∴其参数方程为（为参数）．（2）∵满足，即在上，且的倾斜角为，∴标准参数方程为（为参数）；将标准参数方程代入直角坐标方程得：即．设A，对应的参数分别为，，则．23．已知函数(1)求不等式的解集；(2)若，，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）含绝对值的不等式分类讨论去绝对值符合再解不等式即可；（2）根据（1）中集合，可得，，再利用作差法证明，即可得证.【详解】（1）解：当时，不等式化为，解得当时，不等式化为，解得当时，不等式化为，解得；综上，不等式的解集为．（2）证明：法一：∵，，∴，．∵，∴法二：∵，，∴，，∵，∴．