2023届上海市曹杨第二中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届上海市曹杨第二中学高三上学期12月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市曹杨第二中学高三上学期12月月考数学试题 一、单选题1．如果,那么下列不等式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质可知A,D错误,当时可知选项C错误,故可选出答案.【详解】解:由题知,,,故选项A,D错误;,,故选项B正确;当时,,故选项C错误.故选:B2．“”是“函数在上是严格增函数”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据导数研究函数的单调递增区间，进而结合题意得在上是严格增函数时，，再结合充分不必要条件判断即可.【详解】解：，令得，所以，①当时，和时，，为单调递增函数，此时要使函数在上是严格增函数，则，即；②当时， 恒成立，在上单调递增，故满足函数在上是严格增函数；③当时，和时，，为单调递增函数，此时要使函数在上是严格增函数，则满足，即；，综上，要使“函数在上是严格增函数”，则.因为是的真子集，所以，“”是“函数在上是严格增函数”的充分不必要条件.故选：A3．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则下列结论错误的是（    ）A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为2C．若AB⊥AF2，则 D．λ的取值范围是【答案】D【分析】根据椭圆的定义结合椭圆焦点弦的几何意义，可判断A,B两个选项，再设直线的方程与椭圆方程联立．利用韦达定理求解参数的值或取值范围，即可判断CD选项．【详解】因为，所以，，三点共线，△周长是定值，所以A正确．根据椭圆的性质知，当时，此时经过焦点的弦最短，故，所以B正确．(证明如下：设，,，,．联立，整理得，即，，，由于，所以,当且仅当时，取最小值2，此时)，因为，在上下顶点处，不妨设，则，联立得．解得或，，，所以C正确．设，,，,．联立，整理得．即，，，当时，．当时，，所以，所以D错误．故选：D．4．已知函数，下列命题：①在上严格递增；②存在，使得函数为奇函数；③函数有且仅有2个零点.其中真命题的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意，对于①，求导即可判断；依据函数奇偶性的定义即可判断②；对于③，由，时，，时，，即可判断.【详解】对于①，由，因为，则，，则，所以在上严格递增，故①正确；对于②，令为奇函数，则恒成立，所以恒成立，则（负的舍去）满足要求，故②正确；对于③，，，当时，，则，当时，，则，可得函数有且只有一个零点，故③错误.故选:C. 二、填空题5．不等式的解集是________．【答案】【分析】原不等式等价于，解不等式组即可求出结果.【详解】原不等式等价于，解得．故答案为：6．若复数（为虚数单位），则___________.【答案】##【分析】根据共轭复数的定义以及复数的乘法、加法运算即可求解.【详解】由得，所以，故答案为：7．已知，，且，则的最大值为_________【答案】【分析】直接由基本不等式求解．【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．8．圆的圆心到直线：的距离    【答案】3【详解】试题分析：因为圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线的距离为．【解析】点到直线的距离． 9．函数在上的单调递减区间为______.【答案】【分析】令解不等式，再结合范围即可.【详解】令，解得，令得，所以函数在上的单调递增区间为.故答案为：.10．展开式中的系数为__________．【答案】14.【详解】，在中，的项系数为，对的项系数为，∴的系数为．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________．【答案】【详解】分析：由已知中事件A、B互斥，由它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，可求，进而根据对立事件概率减法公式得到答案.详解：事件A、B互斥，且P(A)＝2P(B)，它们都不发生的概率为解得，,.故答案为.点睛：本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，对立事件概率减法公式，难度不大，属于基础题.12．若直线与曲线相切，则实数的值为___________.【答案】【分析】求出原函数的导函数，利用导函数值为求解切点坐标，再把切点坐标代入切线方程即可求解值．【详解】由，得，直线与曲线相切，，解得，则，可得切点为，代入，得．故答案为：13．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的表面积为___________.【答案】##【分析】设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，由外接球的定义，结合圆柱的几何性质，确定球心在线段上，即可在直角三角形上根据几何关系求出外接球半径，即可由公式算球的表面积．【详解】由于AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，所以为直角三角形，，如图所示，设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，由外接球的定义，，易得在线段上，又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径，，则，解得，外接球表面积为．故答案为：14．双曲线右焦点为F，点P， Q在双曲线上，且关于原点对称． 若， 则的面积为______________．【答案】4【分析】由条件根据直角三角形的性质可得，由双曲线的定义及对称性可得，由此可求，再求的面积即可.【详解】因为双曲线的方程为，所以，，，设其左焦点为，右焦点因为，关于原点对称，所以，又由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得,所以，又，所以，所以，故答案为：4.15．如图，P为外接圆O上一个动点，若，，，则的最大值______.【答案】【分析】先利用余弦定理算出，外接圆的半径，设d是在上的投影，所以，然后作图画出在上的最大投影，即可求出答案【详解】解：由余弦定理得，所以，由正弦定理得外接圆半径，解法1：设d是在上的投影，即，则，过点O作交圆于点P，且作于，于，如图所示，此时在上的投影最大，即最大易得四边形是矩形，所以则，所以的最大值为；解法2：连接，，所以，，因为，所以所以的最大值为，故答案为：16．已知集合，.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为______.【答案】27【分析】先假设刚好为，分析这种情况的，再考虑为等差构成的情况即可【详解】设，则由得，，所以只需研究是否有满足条件的解，此时，m为等差数列项数，且.由，，∴，，于是满足条件的n最小值为27.故答案为：27【点睛】关键点点睛：本题需要分情况思考，先思考尾项刚好是2的幂的情况，然后在思考尾项为等差数列构成的情况 三、解答题17．已知向量，且，(1)求函数在上的值域；(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据向量的数量积为求得解析式进而求得值域.（2）利用余弦定理和基本不等式即可求得面积的最大值.【详解】（1）由已知，，所以所以，又因为 所以，所以，即在上的值域为（2）由（1）知：所以 ，又所以，所以，又因为 由余弦定理可得：，所以所以 ，当且仅当时取“=” 故面积的最大值为18．如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面为中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)连接与交于点,通过证明线线平行及线面平行的判定定理即可证明;(2)由题上所给的长度及角度,和平面,根据余弦定理求出二面角中各个棱长,过分别在平面,平面中做的垂线,发现垂足为同一点,根据余弦定理求二面角的大小的余弦值,进而求出二面角的大小即可.【详解】（1）证明:连接与交于点,连接如图所示:为平行四边形,为中点,为平行四边形,为中点,为中点,所以,在平面外,平面,平面;（2）由题知,是菱形,,,在中由余弦定理得:,解得:,平面,,由勾股定理可得:,是中点,则在直角三角形中,,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得:,,,,,与为全等的两个等腰三角形,取中点为,连接, 如图所示:,即为二面角的大小,,,,在中由余弦定理得:, 故二面角的大小为.19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】(1)(2)当x=80时，所获利润最大值为1300万元 【分析】对于（1），由利润=售价成本，结合题目条件可得答案.对于（2），由（1）解析式求最值即可.【详解】（1）售价固定为，当产量不足60万箱时，.当产量不小于60万箱时，.则.（2）设当时，.得在上单调递增，在上单调递减.则.当时，由基本不等式有当且仅当时取等号.又，得当x=80时，所获利润最大值为1300万元20．如图，已知、为抛物线Γ：的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于.(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：、、成等差数列，、、成等比数列；(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及面积的最小值.【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为(2)证明见解析(3)，4 【分析】利用定义直接写即可设切点，写切线方程，解出交点坐标即可证明设AB中点为，容易证明平行与 轴，从而把分成两部分计算面积之和即可【详解】（1）(1)抛物线的标准方程为,于是焦点坐标为,准线方程为。（2）(2),所以联立,得,而于是,即故成等差数列,成等比数列（3）由于A,F,B三点共线,设联立,得.即动点的轨迹方程为设AB中点为,则,即当时取等所以面积的最小值为4【点睛】关键点点睛：本题考查了阿基米德三角形的性质的证明.21．已知定义域为的函数.当时，若（，）是增函数，则称是一个“函数”.(1)判断函数（）是否为函数，并说明理由；(2)若定义域为的函数满足，解关于的不等式；(3)设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合：①对任意，都是函数；②，. 若对一切和所有成立，求实数的最大值.【答案】(1)是，理由见解析(2)(3) 【分析】（1）将代入解析式，根据整理表达式，判断是否为增函数即可；（2）由函数可知是上的增函数，有意义，需满足，显然时不等式不成立，设，转化不等式为，结合单调性即可判断；（3）由题可知是函数，也是函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当，或当时，，再讨论当，结合可判断，即满足当时，对一切成立.另证明任意均不满足要求：任意，定义函数满足条件②，满足条件①时符合，即可证明.【详解】（1）是，理由：由题，（，）为增函数，故（）是函数.（2）因为是函数，且，所以是上的增函数， 因为有意义，所以，显然，时不等式不成立，下设，此时等价于，由的单调性得，，即所求不等式的解集为.（3）由题意，是函数，故是增函数，从而当时，，即；而是函数，故是增函数，从而当时，，即，当时，同理可得，且，故且，故.因此 ，当时，对一切成立.下证，任意均不满足要求，由条件②知，.另一方面，对任意，定义函数，容易验证条件②成立.对条件①，任取，有，注意到是增函数，而对，当时，；当时，，均单调不减.因为，所以条件①成立.从而.此时，，故，从而为所求最大值.【点睛】关键点点睛：灵活利用已知函数值构造函数，借助函数的单调性来处理不等式问题.