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2023届上海市川沙中学高三上学期9月月考数学试题(解析版)
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这是一份2023届上海市川沙中学高三上学期9月月考数学试题(解析版),共15页。试卷主要包含了填空题,单选题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届上海市川沙中学高三上学期9月月考数学试题 一、填空题1.已知集合,,则________【答案】【解析】直接根据交集的概念运算即可.【详解】解:因为集合,,.故答案为:.【点睛】本题考查集合交集的运算,是基础题.2.函数的导数______.【答案】【分析】由基本初等函数的导数公式求解即可.【详解】∵,∴由基本初等函数的导数公式.故答案为:.3.函数的单调减区间是______.【答案】【分析】先判断其奇偶性,再结合幂函数的性质得出其单调减区间.【详解】令,其定义域为因为,所以为偶函数因为在上单调递增,所以在上单调递减故答案为:4.在的二项展开式中,项的系数是______(用数值表示).【答案】160【分析】由二项式展开式的通项公式,直接求得答案.【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为:,,当时,展开式中含有,故的系数为 ,故答案为:160.5.方程的解为______.【答案】【分析】利用对数的运算性质得出,然后将对数式化为指数式,结合真数大于零可解出的值.【详解】,所以,,解得.因此,方程的解为.故答案为.【点睛】本题考查对数方程的解,解题时要充分利用对数的运算性质,还应注意真数大于零,考查运算求解能力,属于中等题.6.已知或,或,若是的必要条件,则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】是的必要条件,即,分,两种情况讨论分析,即得解【详解】设或,或若是的必要条件,则(1)当时,即,此时,成立;(2)当时,即,若,此时,无解.综上:故答案为:7.已知定义在上且周期为的函数,且满足.且当时,,则______.【答案】【分析】结合已知条件分析出函数的对称轴,再利用函数的周期及时的函数解析式,转化即可得到答案.【详解】因为,所以函数的图象关于直线对称,又因为函数是周期为的周期函数,且当时,,所以故答案为:.8.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率 是_______(结构用最简分数表示).【答案】【详解】任意选择3天共有种方法,其中3天是连续3天的选法有8种,故所求概率为.【解析】古典概型. 9.函数的图象与轴有公共点,则实数的取值范围是______.【答案】【分析】利用分离常数法,结合基本不等式求得的取值范围.【详解】依题意,函数的图象与轴有公共点,,,由于,当且仅当时等号成立,所以,即的取值范围是.故答案为:10.设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是________.【答案】【解析】判断的奇偶性和单调性,据此等价转化不等式,则问题得解.【详解】由f(x)=ln(1+|x|)-,且其定义域为,故f(x)为上的偶函数,于是f(x)>f(2x-1)即为f(|x|)>f(|2x-1|).当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-,在均是单调增函数,所以f(x)为[0,+∞)上的增函数,则由f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|,两边平方得3x2-4x+1<0,解得<x<1.故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断,涉及利用函数性质解不等式,属综合基础题.11.函数的图象绕着坐标原点旋转弧度,若仍是函数图象,则可取值的集合为________【答案】【解析】以对勾函数的渐近线为参照并结合其为奇函数,利用数形结合即可得到时,绕着坐标原点旋转弧度时,可取值的集合.【详解】根据对勾函数的性质可知函数的渐近线方程为和,若仍是函数图像,则函数的图象与垂直于轴的直线仅有一个交点,结合图象可知 两条渐近线的夹角为,以两条渐近线为参照,结合函数为奇函数,可知时逆时针旋转时,仍为函数.故答案为:【点睛】本题主要考查对勾函数的性质,函数的概念及函数的奇偶性,属于中档题.12.已知集合,集合P的所有非空子集依次记为:,设分别是上述每一个子集内元素的乘积,(如果P的子集中只有一个元素,规定其积等于该元素本身),那么___________________.【答案】【分析】由题可得函数的展开式中所有项数之和减去1即为所求.【详解】集合所有子集的“乘积”之和为函数展开式中所有项数之和;因为,所以.故答案为:5.【点睛】关键点点晴:本题主要考查的集合子集的判定,构造函数求解,属于难题.本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数,把问题转化为求展开式项系数和. 二、单选题13.下列四组函数中,表示相同函数的一组是( )A.B.C.D.【答案】A【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同,由此可得结果.【详解】对于A,与定义域均为,,与为相等函数,A正确;对于B,定义域为,定义域为,与不是相等函数,B错误;对于C,定义域为,定义域为,与不是相等函数,C错误;对于D,定义域为,定义域为,与不是相等函数,D错误.故选:A.14.不等式的解集为,则函数的图像为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】根据不等式的解集为,求出,可得与的解析式,根据解析式可得图象.【详解】因为不等式的解集为,所以,且和是一元二次方程的两个实根,所以,解得,所以,,其图象开口向下,零点为和,所以图象为.故选:B【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.15.如果函数图象上任意一点的坐标都满足方程,那么正确的选项是( )A.是区间上的减函数,且B.是区间上的增函数,且C.是区间上的减函数,且D.是区间上的减函数,且【答案】C【分析】由给出的方程得到函数图象上任意一点的横纵坐标的关系式,利用基本不等式求出的范围,整理出,可得函数在上的增减性,二者结合可得正确答案.【详解】 (当且仅当时取等号) ,解得:由得:当时,为减函数 在上为减函数故选【点睛】本题考查了函数单调性的判断,利用基本不等式求最值等知识,关键是能利用对数方程得到真数之间的关系,属于基础题.16.关于函数的周期有如下三个命题:甲:已知函数和定义域均为,最小正周期分别为、,如果,则函数一定是周期函数;乙:不是周期函数,一定不是周期函数;丙:函数在上是周期函数,则函数在上也是周期函数.其中正确的命题的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】根据周期的定义,依次判断即可.【详解】对甲:设,,则,设,对于任意的,则,故甲说法正确;对乙:不是周期函数,但是周期函数,故乙说法错误;对丙:函数在上是周期函数,则存在非零常数,对任意都有,故当时,也有,即仍是周期为的函数,故丙说法正确.故选:C【点睛】本题主要考查对周期的定义的运用,属于中档题. 三、解答题17.设全集为,集合,.(1)求;(2)若,求的取值范围.【答案】(1)或(2) 【分析】(1)先解不等式求出和,再求出,即可出;(2)求出在不同的取值范围内的集合,再根据,即可求得的取值范围.【详解】(1)不等式,∴,不等式,∴,∴,∵,∴或.(2)不等式,①当时,,不等式,解集为,∴,此时成立,满足题意;②当时,,或,∴或,∵或∴若,则有,解得,∴此时,的取值范围是;③当时,,或,∴或,∵或∴若,则有,解得,∴此时,的取值范围是,综上所述,实数的取值范围是.18.已知函数().(1)若函数为偶函数,求实数的值;(2)若对任意的,都有,求的取值范围.【答案】(1);(2). 【分析】(1)由算出答案即可;(2)分2种情况进行讨论:以及,分析求出每种情况下函数的恒成立的条件,可得的值,进而综合2种情况,可得答案.【详解】(1)若函数为偶函数,则,所以,,所以;(2)由可得:,即,因为当时,函数 单调递减,其最大值为1,所以,即,由可得,即,当时,单调递减,且无限趋近于0,所以,即综合可得:.19.住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200的十字形区域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛,造价为4200元/,在四个相同的矩形上(阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210元/,再在四个空角上铺草坪,造价为80元/.(1)设总造价为S元,AD的边长为,试建立S关于的函数关系式;(2)计划至少要投入多少元,才能建造这个休闲小区?【答案】(1)S=4000x2++38000,( );(2)至少要投入118000元,才能建造这个休闲小区.【解析】(1)根据由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域,四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM的函数表达式,最后建立建立S与x的函数关系即得;(2)利用基本不等式求出(1)中函数S的最小值,并求得当x取何值时,函数S的最小值即可.【详解】(1)由题意,可得AM=,由,可得 ;则S=4200x2+210(200-x2)+80×2×;S=4200x2+42000-210x2+=4000x2++38000;∴S关于x的函数关系式:S=4000x2++38000,( );(2)S=4000x2++38000≥2+38000=118000;当且仅当4000x2=时,即x=时,∈(0,10),S有最小值;∴当x=米时,Smin=118000元.故计划至少要投入118000元,才能建造这个休闲小区.20.设函数,且对任意恒成立.(1)求的值;(2)求函数在上的最值;(3)设实数且,证明:.【答案】(1)1;(2)函数在上的最大值为4,最小值为-16;(3)证明见解析. 【分析】(1)令代入,即可求解;(2)求出导函数,研究单调性求出最值;(3)先证明出,分别把,代入,相加后整理即可证明.【详解】(1)因为函数,且对任意恒成立所以当时,有,即,解得:.(2)因为,故,.令,解得:;令,解得:或;所以函数在上单增,在上单减.因为,,,所以函数在上的最大值为4,最小值为-16.(3)由(1)知,故.由(2)知,当时,.所以.当实数且,有.所以,,,相加得:.即证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数; (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)利用导数证明不等式.21.已知函数和的定义域分别为和,若对任意的都存在个不同的实数,使得(其中),则称为的“重覆盖函数”.(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”?请说明理由;(2)求证:是的“4重覆盖函数”;(3)若为的“2重覆盖函数”,求实数a的取值范围.【答案】(1)不是的“2重覆盖函数”理由见解析;(2)证明见解析;(3). 【分析】(1):根据两个函数的值域,结合偶函数的性质进行判断即;(2):可根据两个函数的值域,结合余弦函数的周期性进行判断即可;(3):将题转化为对任意,有2个实根,根据的性质即可求解.【详解】(1)由可知:,函数的图像如图所示:当时, ,当时,解得,所以不是的“2重覆盖函数”;(2)证明:因为,所以,又因为,又因为, 所以,所以,又因为,所以,又因,可得为奇函数且单调递增,作出两函数的内的大致图像,如图所示:,而函数在上单调递增,且,所以,由此可知在内有4个解.所以是在的“4重覆盖函数”;(3)可得的定义域为,即对任意,存在2个不同的实数,使得(其中),∵,∴,所以,所以,即,即对任意,有2个实根,当时,已有一个根,故只需时,仅有1个根,当时,,符合题意,当时,则需满足,解得,当时,抛物线开口向下,有最大值,不能满足对任意,仅有1个根,故不成立.综上,实数a的取值范围是.【点睛】在处理两函数图像交点问题时,可通过分离变量交点问题转化为与两个函数的图像交点情况.
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