2023届山西省新高考高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届山西省新高考高三上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届山西省新高考高三上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.【详解】对于A，当集合时，不是的子集，故A错误；对于B，当集合时，不是的子集，故B错误；对于C，当集合时，，故C错误；对于D，因为，，且，所以，故D正确.故选：D.2．已知，，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求解分式不等式，结合集合之间的包含关系，即可判断充分性和必要性.【详解】由，解得或，所以.因为不是的子集，且是的子集，所以是的必要不充分条件.故选：B.3．在数列中，.则（    ）A．36 B．15 C．55 D．66【答案】C【分析】利用递推公式，代入计算即可.【详解】由题意得，则.故选：C.4．已知数列的前n项和为，且满足，，则（    ）A．0 B． C．l D．【答案】C【分析】由求解即可.【详解】解：．故选:C．5．已知数列满足，，则数列（    ）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】A【分析】根据递推公式求得，再根据的单调性，即可判断和选择.【详解】因为，，所以当时，；当时，，故，因为函数在区间上单调递减，所以当，时，是递减数列.又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为.故选：A.6．已知数列是等差数列，且．若是和的等差中项，则的最小值为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】易知是正项等比数列，根据，得到，再根据是和的等差中项，得到，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】解：因为数列是等差数列，所以是正项等比数列，又，所以 ，解得 或-1（舍），又因为是和的等差中项，所以，则，即．所以，令，则，所以，当且仅当时，即时取等号．故选：A．7．对于数列，若存在常数M，使得对任意，与中至少有一个不小于M，则记作，那么下列命题正确的是（    ）A．若，则数列各项均大于或等于MB．若，，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】通过数列为1，2，1，2，1，2…，当时，判断A；当时，判断C；当数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，时，判断B；直接根据定义可判断D正确.【详解】对于A：在数列1，2，1，2，1，2…中，，数列各项均大于或等于不成立，故A错误；对于B：数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，，而各项均为3，则不成立，故B错误； 对于C：在数列1，2，1，2，1，2…中，，此时不正确，故C错误；对于D：若，则中，与中至少有一个不小于，故正确，故选：D．8．已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，由此可确定唯一零点为，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到.【详解】，为偶函数，图象关于轴对称，的零点关于轴对称，又有唯一零点，的零点为，即，，即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列为等比数列. 二、多选题9．已知数列的通项公式为，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由题，由通项求出至，再由定义求出即可判断【详解】由题，，故A错；，故B对；，故C对；，故D错.故选：BC10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式分别检验各项即可判断.【详解】解：由题意得：对于选项A：取，则，解得，即A正确；对于选项B：由A可知，，则，即B正确；对于选项C：因为，即C错误；对于选项D：因为，且，即D正确.故选：ABD.11．已知函数，则（    ）A．的最小正周期为 B．是奇函数C．的图象关于直线对称 D．不存在单调递㓕区间【答案】BD【分析】对A，由周期定义结合即可判断；对B，由奇函数定义判断即可；对C，由对称定义结合即可判断；对D，由导数法判断即可.【详解】对A，因为，，所以，则不是的最小正周期，A错；对B，令，则，故，所以函数是奇函数，B对；对C，因为，，所以，则的图象不关于直线对称，C错；对D，因为（两等号不能同时成立），所以不存在单调递减区间，D对.故选：BD.12．对于正整数，是不大于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：.则（    ）A． B．数列为等比数列C．数列不单调 D．【答案】BC【分析】根据题目定义列出满足函数的数列即可各个选项一一判断求解.【详解】不大于28且与28互质的数有1，3，5，9，11，13，15，17，19，23，25，27，共12个，所以，故A错误；因为与互质的数有1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共个，所以，则数列为2为首项,3为公比的等比数列，故B正确；因为，，所以，故数列不单调递增.又，所以数列不单调递减，所以数列不单调，故C正确；因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有（个），所以，故D错误.故选：BC. 三、填空题13．已知锐角满足，则_______________.【答案】【分析】利用同角三角函数基本关系及倍角公式变形计算即可.【详解】因为，所以.又为锐角，所以，即，所以，所以.故答案为：14．已知数列是等差数列，，则______________.【答案】##【分析】根据等差数列的通项公式，进而写出数列的通项公式，可得答案.【详解】令，因为，，所以，，则的公差为，所以，故，所以.故答案为：.15．某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）【答案】2036【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立相邻两年的关系，用待定系数法构造等比数列，求出通项公式即可求解.【详解】设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中，由题意得，并且， 设，则，则0.2x＝100，则x＝500，∴，即数列{}是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则，令，则，即，即，所以，因此.2022+14=2036年年初存栏数首次突破8900，故答案为：2036 四、双空题16．如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，.记，如记为，记为，记为……依此类推.设数列的前项和为，则______________，______________.【答案】     43     【分析】根据点按一定的规律性变化的特点，找到所在位置即可求解.【详解】由题意知第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即……依此类推，可得第圈的个点对应的项的和为0，即.设在第圈，则，当时,,由此可知前22圈共有2024个数，故，点的坐标为，则，点的坐标为，则，所以.故答案为: 43;. 五、解答题17．已知数列满足，设.(1)证明：数列为等比数列；(2)设数列，记数列的前项和为，请比较与1的大小.【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由，可得，再根据等比数列的定义可证得结论，（2）由（1）可得，从而可得，则，然后利用裂项相消法可求出，从而可与1比较大小【详解】（1）证明：因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列（2）由（1）可得，所以，所以，所以，因为，所以，所以18．记数列的前项和为，已知，.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，，数列中的最大项是第项，求正整数的值.【答案】(1)(2)2 【分析】(1)已知与的关系，则用即可得到通项公式.(2)的前项和为可用错位相减法求得，将求得结果代入，通过判断数列的后一项与前一项的大小关系得到中的最大项.【详解】（1）（1）当时，，解得；当时，由①，得②，①-②，得，即.又，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以.当时，符合.所以的通项公式为（2）由（1）得，所以③，④，③-④，得，所以，所以，所以.令，得.又，所以.当时，可得，此时数列单调递减.故数列中的最大项为第2项，即.19．在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求证：；(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得，即可证明结论；（2）利用（1）的结论将边化角，结合三角恒等变换可得，由基本不等式可求得答案.【详解】（1）证明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.∵，∴,∵，∴，故.（2）由（1）得，∴，，由（1），得，当且仅当时等号成立，所以当时，的最小值为.20．已知函数，．(1)当时，比较与2的大小；(2)求证：，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）当时，求得导函数，再根据，分不同范围讨论即可.（2）由（1）中结论可知，当时，，然后换元，即可得，结合对数运算从而可证得结论.【详解】（1）当时，，，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，（2）由（1）知，当时，，即，令，，则有，即，所以，即，．21．记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，.(1)求，的通项公式；(2)将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和.【答案】(1)，.(2)15080 【分析】（1）根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；（2）由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.【详解】（1）由，得，因为，所以.结合，可得，，，解得，，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.（2）由（1）可知，当时，.又，所以，，，，，，，，，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以数列的前100项中与数列中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为的前8项中的偶数项.将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，则的前100项为数列的前100项中剔除与数列相同的4项后剩余的96项与的前8项中剔除与数列相同的4项后剩余的4项，所以的前100项和为.22．已知函数，.(1)求的极值；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)无极大值，极小值为.(2). 【分析】（1），令，解出，根据原函数，导函数，极值之间的关系即可得到答案.（2）对原不等式变形得对任意的恒成立，则构造函数，，而，转化为在区间上单调递增，对其求导转化为在区间上恒成立，最终得到在区间上恒成立，得到范围.【详解】（1），，则令，解得.当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值，且极小值为.（2）根据题意，得对任意的恒成立，即对任意的恒成立.令，，则对任意的恒成立.下面证对任意的恒成立.令，，则在区间上恒成立，故在区间上单调递减，所以，即，.所以对任意的恒成立，只需在区间上单调递增，即在区间上恒成立，在为单调增函数，故所以在区间上恒成立，所以，故实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：第二问的关键利用同构的方法，变形出，这样才能构造出函数，从而降低函数的复杂性，从而求出范围.结论点睛：常见的放缩不等式：①(仅当取等号)，②(仅当取等号)，③(仅当取等号)④(仅当取等号).