2023届上海市新中高级中学高三上学期期中数学试题（解析版）

2023届上海市新中高级中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．若，且，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分必要条件的定义分别进行判断即可．

【详解】当时，不成立；当时，不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．

【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题．

2．若向量 、、满足，且，则、、中最大的是（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【分析】依题意可得，根据数量积的运算律得到，同理得到、，再作差判断即可；

【详解】解：由，可得，两边平方，

即．

同理可得、，

，

所以，

所以，

所以，

所以，即

则、、中最大的值是．

故选：A．

3．已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ）

A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称

C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称

【答案】D

【分析】由选项所给条件直接列举对应模拟图象（不唯一），根据图象判断即可

【详解】如图所示. 对选项D，易得，，显然D项无最大值，

故D项符合，

故选：D

4．已知平面上的线段l及点P，任取l上的一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作，若曲线C是边长为4的等边三角形，则点集所表示的图形面积为（      ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件可画出满足题意的点集所表示的图形，分别求解区域各个构成部分的面积，进而即得.

【详解】由题意，点集D所表示的图形如图，是边长为4的正三角形，

其中，，，，，

，，

所以扇形的面积为，

，，

，

所以的面积为，

又，

所以四边形的面积为，

又四边形的面积为，

点集所表示的图形面积为：

.

故选：B．

二、填空题

5．直线 的倾斜角为_______.

【答案】##

【分析】由斜率直接求出倾斜角.

【详解】由直线可得：斜率为.

设倾斜角为，所以，解得：.

故答案为：

6．若，，用列举法表示         .

【答案】

【分析】解决该试题的关键是对于t令值，分别得到x的值，然后列举法表示.

【详解】因为集合，而集合B中的元素是将集合A中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即，

；；,

，

那么用列举法表示.

本试题主要是考查了集合的描述法与列举法的准确运用，属于基础题.

7．若复数（i为虚数单位），则________.

【答案】

【解析】由复数的运算法则得，由复数模的概念即可得解.

【详解】由题意，所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了复数的运算和复数模的概念，属于基础题.

8．设点P从点（1,0）出发，沿着圆心在原点的单位圆顺时针方向运动：弧长到达点Q，则劣弧的长为_______.

【答案】##

【分析】利用弧长公式求得正确答案.

【详解】依题意，劣弧的长为.

故答案为：

9．已知则 ________.

【答案】0

【分析】根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可.

【详解】由，可得，故.

故答案为：0

10．已知且，则向量在向量方向上的投影向量为________.

【答案】

【分析】先求出与向量方向相同的单位向量，根据投影向量的定义可直接得出结果.

【详解】与向量方向相同的单位向量，

所以向量在向量方向上的投影向量为.

故答案为：.

11．已知集合若，且，则实数a的取值范围为______.

【答案】

【分析】解分式不等式求得集合，根据的关系列不等式，从而求得的取值范围.

【详解】，解得，所以.

由于，且，所以，

所以的取值范围是.

故答案为：

12．若在上为严格减函数，则的最大取值为_______

【答案】

【分析】首先求的范围，根据函数的单调性，比较端点，求的最大取值.

【详解】，，

函数在区间上为严格减函数，，且，

，

所以的最大取值为.

故答案为：

13．已知 ， 且， 则 的最小值为_____.

【答案】

【分析】利用基本不等式可求最小值.

【详解】，

而，当且仅当时等号成立，

由可得或，

故，当且仅当或等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

14．定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则k的取值范围为________.

【答案】.

【分析】化简，从而作函数与的图象，利用数形结合求解.

【详解】解：由题意得，

，

作函数与的图象如下，

结合图象可知，，

故答案为：.

【点睛】本题考查了根据函数零点的个数求参数的范围，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题.

15．若对任意，存在实数，使得成立，则实数的最小值是__________.

【答案】

【分析】根据题意得对任意，存在实数，使得成立，再结合将问题转化为对任意恒成立，进而利用基本不等式求解即可.

【详解】解：因为对任意，存在实数，使得成立，

所以对任意，存在实数，使得成立，

因为，当且仅当时等号成立，

所以有对任意恒成立，

即对任意恒成立，

由于，当且仅当，即时等号成立；

所以，即.

所以实数的最小值是

故答案为：

【点睛】本题考查不等式恒恒成立问题与存在性问题的解法，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于注意运用绝对值三角不等式的性质和基本不等式求最值.

16．已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.

【答案】3

【分析】设，

，得到共线，再由余弦定理求出取最大值为1，此时面积最大，则O到AB的距离最远，当且仅当关于y轴对称时，最小，求出O到AB的距离的最大值，从而得到的最小值.

【详解】由题意得：，

令，

，

故有共线，

为定值，在中，由余弦定理可得：

，

当且仅当时，取最大值为1，此时面积最大，

则O到AB的距离最远，当且仅当关于y轴对称时，最小，

此时O到AB的距离为,

所以，即

故答案为：3

【点睛】对于向量相关的几何最值问题，数形结合结合解三角形，基本不等式或三角函数等知识点，综合性较强，要能灵活掌握

三、解答题

17．设是四个正数.

(1)已知，求证：;

(2)已知，求证：中至少有一个小于1.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据为正数，，将展开利用基本不等式即可证明成立；（2）采用反证法证明即可.

【详解】（1）证明：

，

当且仅当成立，得证.

（2）证明：假设都大于等于1，那么有

四式相乘可得与小于16矛盾.

故假设错误，即中至少有一个小于1.

18．已知的周长为 且.

(1)求的长;

(2)若的面积为，求角的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角互化得，又的周长为，即可求边的长；

（2）根据的面积为，可得的值，再利用余弦定理即可求.

【详解】（1）解：根据题意由正弦定理得，

因为，

所以，解得.

（2）解：因为，

所以，又，

由余弦定理得，

又因为，所以.

19．如果有一张长80cm、宽50cm的环保板材，先在它的四个角上截去边长为x的四个小正方形，做一只无盖长方体容器（允许剪切与焊接，焊接处理厚度与损耗不计）.

(1)写出容积y关于x的函数，并写出该函数的定义域；

(2)当x为何值时，函数有最大值，并求出此最大值.

【答案】(1)，定义域是

(2)时，取到最大值，且最大值为

【分析】（1）根据长方体的体积公式求得，并求得函数的定义域.

（2）利用导数求得最大值，并求得此时对应的的值.

【详解】（1）依题意，，

由，解得，所以的定义域为.

（2），

所以在区间递增；

在区间递减，

所以当时，取到最大值，且最大值为.

20．如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4).

（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.

【答案】(1)；(2)2x−y+5=0或2x−y−15=0.(3).

【详解】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.

试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.

（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，

所以，于是圆N的半径为，从而，解得.

因此，圆N的标准方程为.

（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.

设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，

则圆心M到直线l的距离

因为

而

所以，解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

（3）设

因为，所以……①

因为点Q在圆M上，所以…….②

将①代入②，得.

于是点既在圆M上，又在圆上，

从而圆与圆有公共点，

所以解得.

因此，实数t的取值范围是.

【解析】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算

【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.

21．已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在个不同的实数，使得（其中，则称为的“重覆盖函数”，如，是，的“4重覆盖函数”．

(1)试判断，是否为，的“2重覆盖函数”，并说明理由；

(2)若为,的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围；

(3)若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值．

【答案】(1)不是，理由见解析；

(2)

(3)61

【分析】（1）当时，根据“重覆盖函数”的定义即可判断；

（2）将问题转化为对于任意的，方程恰好有3个不同的根，然后分三种情况分别求解即可；

（3）将问题转化成对于任意的，方程，在内有9个不同的根，利用数形结合的思想即可求解．

【详解】（1）当时，，

而,即只有唯一解，所以， 的“2重覆盖函数”；

（2）因为,为增函数，所以,的值域为，

故对于任意的，方程在内都恰好有个不同的根，

①当时，，

若，由，得，

若，则，

此时方程在内最多只有个不同的根，不合题意；

②当时， 方程在内最多只有一个根，在内最多有两个根，

所以在内有个不同的根，在内有两个根，

因为，，

所以，解得.

③当时，在上单调递增，

故方程需在内有2个不同根，在内有1个根，

当时，，且，

所以 ，

解得，

综上，实数的取值范围是；

（3）因为函数，为单调递减函数，所以的值域为，

对于任意的，方程，在内有9个不同的根，

即与直线在轴右侧有9个不同的交点，

由图可知，，即，

由，

得，解得，

故的最大值为.

【点睛】关键点点睛：根据函数的单调性结合函数图象是解题的关键．