2023届上海市崇明中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届上海市崇明中学高三上学期10月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市崇明中学高三上学期10月月考数学试题 一、填空题1．设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝_______．【答案】｛x｜－1≤x＜2｝【详解】试题分析：因为，，所以.【解析】一元二次不等式的解法、集合的运算.2．幂函数在区间上是减函数，则__________.【答案】0【分析】由幂函数在上的单调性，可得幂指数正负的不等式，求出m的范围即可得解.【详解】因幂函数在区间上是减函数，则，解得，而，则0.故答案为：03．已知等式恒成立，其中为常数，则____．【答案】【分析】首先将等式转化，然后根据等式恒成立,即可得出结果.【详解】因为等式恒成立，所以恒成立，则,即得故故答案为：.4．设，求方程的解集__________.【答案】【解析】分四种情况去绝对值求解即可.【详解】当时，原方程化为：，即，故此时；当时，原方程化为：，即，故此时，与矛盾，舍掉；当时，原方程化为：，即，解得，与矛盾，舍掉；当时，原方程化为：，即，故此时；综上所述：方程的解集为：.故答案为：.5．已知､分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________.【答案】【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意､分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，，即.故答案为：6．已知，且，则的最小值是_____．【答案】25【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：257．已知函数．则曲线的斜率等于的切线方程为_________．【答案】【分析】求导，利用切点处的导数值为切线的斜率，即可求解切点，进而由点斜式即可求解直线方程.【详解】由题意得，令，则，所以切点为，因此切线方程为：，即，故答案为：8．若实数满足，且，则实数值为__________.【答案】【分析】现结合指数与对数的互化公式，表示出，再结合换底公式表示出，最后结合对数运算即可求解【详解】由可得，又，即，求得故答案为：【点睛】本题考查指数和对数的互化，换底公式的用法，对数的运算性质，属于基础题9．已知下列三个方程，，至少有一个方程有实根，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数的取值范围，再求其补集即可得答案.【详解】解：假设三个方程，，都没有实数根，所以，即，解得：所以，三个方程组，至少有一个方程有实根，则实数的取值范围为.故答案为：10．不等式的解集为__．【答案】且【分析】将分式不等式化为整式，然后进行因式分解，即可得到其解集.【详解】因为即因式分解可得，对于，因为所以恒成立，所以，即又因为为分式，所以，即综上所述，且故答案为:且11．已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】问题可转化为，分类讨论结合即可得出结论.【详解】，，即对任意的 ，都存在，使 恒成立，有，当时，显然不等式恒成立；当时，，解得 ；当时，，此时不成立.综上，.故答案为：12．已知，，直线与函数的图象从左至右相交于点，直线与函数的图象从左至右相交于点、，记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值是_____．【答案】8【分析】根据题意分别表示出各个点的横坐标为进而表示出，，和，利用基本不等式求最小值.【详解】设各个点的横坐标为则所以所以所以，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以，故答案为:8. 二、单选题13．若函数，，，则由表中数据确定、、依次对应（    ）x120.20.2550253.210200200102.4 A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】D【分析】将表格中对应的值与函数解析式进行比较即可求解.【详解】因为，所以；因为，所以；因为，所以，故选：.14．设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【详解】若函数在上严格递增，对任意的、且，，由不等式的性质可得，即，所以，在上严格递增，所以，“在上严格递增”“在上严格递增”；若在上严格递增，不妨取，则函数在上严格递增，但函数在上严格递减，所以，“在上严格递增”“在上严格递增”.因此，“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.15．已知，，且，则错误的选项是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据均值不等式即可判断AD；根据不等式的性质结合指数函数的性质即可判断B；根据基本不等式结合对数的运算及对数函数的性质即可判断C.【详解】解：对于A，由，得，所以，当且仅当时，取等号，故A正确；对于B，由，，且，得，则，所以，故B正确；对于C，，因为，所以，即，当且仅当时，取等号，故C错误；对于D，由，得，所以，当且仅当时，取等号，故D正确.故选：C.16．若关于的不等式的解集为，则实数的范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，，由，画出的图象，结合图象得出实数的范围.【详解】令，，则恒成立，即任意满足，作出的图象，由图可知.故选：D 三、解答题17．已知为全集，集合，集合．(1)求集合A；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）将分式不等式化为，解出解集，得到集合A；（2）由（1）得到，根据得到，从而列出不等式，求出实数的取值范围.【详解】（1），即，，等价于，解得：，故；（2）由（1）得：，所以或，因为，所以，又，因为，故，则或，解得：或，综上：实数的取值范围为.18．已知二次函数，若不等式的解集为．（1）解关于x的不等式：；（2）是否存在实数，使得关于x的函数（）的最小值为-4？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出与的值，再求不等式的解集；（2）用换元法，得函数，求出最小值为−4时的a的值即可．【详解】解：（1）∵，且的解集为，∴方程的两个实数根是−1，，且，，解得，代入得，解得解集为；（2）设，且，时，，函数，对称轴是，，解得或（舍去），∴存在实数．【点睛】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了换元法的应用问题，是中档题．19．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?【答案】（1）120米（2）米【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得米（2）设总造价为万元，，设，(0舍去)当时，；当时，，因此当时，取最小值，答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.20．已知函数(常数)．(1)若，且，求的值；(2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数；(3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）由题意利用换元法令可得，解出的值进而即可求出的值；（2）利用定义法（作差法），分别取且，，然后作差比较与的大小，根据单调性的定义证明即可；（3）根据奇函数可得，由（2）可知当时，则原不等式可转化为存在使得不等式成立，对进行分类讨论即可求解.【详解】（1）由，可得，设可得即，解得，所以，即.（2）设且，，由可得即，由可得，故，又，所以，所以即，所以函数在上是严格增函数.（3）因为的定义域为，当为奇函数时，由解得，所以，检验：，满足题意，由（2）可知当时在上是严格增函数，所以，则原不等式可转化为存在使得不等式成立，只需的最小值小于0即可，因为一元二次函数的开口向上，对称轴为，①即时，当时，函数取得最小值，解得，所以；②当即时，当时，函数取得最小值，解得或，所以；③当即时，当时，函数取得最小值，解得，所以；综上的取值范围.【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；②存在解；恒成立；③存在解；恒成立；④存在解；恒成立21．已知函数.（1）当时，若，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的解析式；（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据对数函数单调性以及定义域化简解不等式，再解分式不等式得结果；（2）先根据奇函数性质求得，再根据奇函数以及条件将要求自变量转化到已知区间，最后根据已知区间解析式求结果;（3）先根据函数性质解得一个周期下的不等式解集，再根据范围确定包含关系，解得结果.【详解】解：（1）原不等式可化为，∴，且，且，得.（2）∵是奇函数，∴，得，当时，，.当时， ， .∴（3）∵ ,即周期为4，因为为奇函数，且当时，， 所以当时，因为，所以当时，，当时，，所以在一个周期内，记，当时，，因为关于的不等式在上恒成立，∴，解得.当时，，因为关于的不等式在上恒成立，所以，解得.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查解对数不等式、函数解析式、利用函数奇偶性、单调性解解不等式，考查综合分析求解能力，属较难题.