2022-2023学年福建省厦门市湖滨片区高三上学期期中考试数学试题（word版）

厦门市湖滨片区2022-2023学年高三上学期期中考试

数学

考试时长：    120   分钟

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

3．在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（    ）

A． B． C．      D．

5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（      ）

A．          B．           C．        D．

6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：

①将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；

②点为图象的一个对称中心；              ③；

④在区间上单调递增．

其中正确结论的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．已知，且满足，为自然对数的底数，则（    ）

A．       B．        C． D．

二、多选题

9．已知向量，，，则（    ）

A．          B．        C． D．与的夹角为

10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（    ）

A．     B．     C．的面积为      D．的周长为

11．已知函数 ，则（    ）

A．在单调递增                              B．有两个零点

C．在点处切线的斜率为       D．是奇函数

12．已知函数，的定义域均为R，且，．若的图象关于点对称，则（    ）

A．      B．   C． D．

三、填空题

13．已知{}是等差数列，是其前项和.若，=10，则的值是_____.

14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________．

15．已知的展开式中常数项为20，则___________.

16．已知函数（其中a为常数）有两个极值点，若恒成立，则实数m的取值范围是______.

四、解答题

17．内角A，B，C的对边分别为，，，且.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

18．数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

19．在直四棱柱中，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

20．奥密克戎BA.5变异毒株的潜伏期又缩短了，但具体到个人，感染后潜伏期的长短还是有个体差异的．潜伏期是指已经感染了奥密克戎变异株，但未出现临床症状的和体征的一段时期，奥密克戎潜伏期做核算检测可能为阴性，建议可以多做几次核算检测，有助于明确诊断．某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，得到如下表：

(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均值．

(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300 人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关．

(3)为了做好防疫工作，各个部门、单位抓紧将各项细节落到实处，对“确诊”、“疑似”、“无法明确排除”和“确诊密接者”等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密接接触”，现医护人员要对这5人进行逐一“单人单管”核酸检测，只要出现一例阳性，则该小区将被划为“封控区”．假设每人被确诊的概率为且相互独立，若当时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求．

附：，其中

21．已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．

22．已知和有相同的最大值.（）

(1)求的值；

(2)求证：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点且，使得成等比数列.

厦门市湖滨片区2022-2023学年高三上学期期中考试

数学答案

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

3．在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

4．如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（      ）

A． B．

C． D．

【答案】D

6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

7．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：

①将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；

②点为图象的一个对称中心；

③；

④在区间上单调递增．

其中正确结论的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

8．已知，且满足，为自然对数的底数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

二、多选题

9．已知向量，，，则（    ）

A． B．

C． D．与的夹角为

【答案】ABD

10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（    ）

A． B． C．的面积为 D．的周长为

【答案】ABD

11．已知函数 ，则（    ）

A．在单调递增

B．有两个零点

C．在点处切线的 斜率为

D．是奇函数

【答案】AC

12．已知函数，的定义域均为R，且，．若的图象关于点对称，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

三、填空题

13．已知{}是等差数列，是其前项和.若，=10，则的值是_____.

【答案】

14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________．

【答案】

15．已知的展开式中常数项为20，则___________.

【答案】

16．已知函数（其中a为常数）有两个极值点，若恒成立，则实数m的取值范围是______.

【答案】

四、解答题

17．内角A，B，C的对边分别为，，，且.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合两角和公式化简整理；（2）根据题意求得，利用余弦定理和倍角公式可得解．

(1)

因为

由正弦定理，所以

，

即，

故.

(2)

因为，又，所以.

.

18．数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，得，两式相减得，即可得到数列的计算项与偶数项分别成等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得．

（2）由（1）可得，再利用裂项相消法计算可得；

(1)

解：数列满足，①，

所以，即，

②，②①得，即数列奇数项以为首项，为公差的等差数列，偶数项以为首项，为公差的等差数列，

为奇数时，；为偶数时，．

(2)

解：由（1）可知

记数列的前n项和为，则

19．在直四棱柱中，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）取中点，连接，由题意证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出.

（2）利用等体法，由图可得：，根据三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】（1）证明：取中点，连接，

∵该几何体为直四棱柱，∴平面，∴

∵，，∴

∵，，

∴四边形为正方形，∴

∴，∵，∴

∵，，，平面

∴平面

（2）由图可得：

由（1）中证明知：平面，∴，∴

又∵∴

【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离以及三棱锥的体积公式，考查了立体几何的基本知识，属于基础题.

20．奥密克戎BA.5变异毒株的潜伏期又缩短了，但具体到个人，感染后潜伏期的长短还是有个体差异的．潜伏期是指已经感染了奥密克戎变异株，但未出现临床症状的和体征的一段时期，奥密克戎潜伏期做核算检测可能为阴性，建议可以多做几次核算检测，有助于明确诊断．某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，得到如下表：

(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均值．

(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300 人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关．

(3)为了做好防疫工作，各个部门、单位抓紧将各项细节落到实处，对“确诊”、“疑似”、“无法明确排除”和“确诊密接者”等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密接接触”，现医护人员要对这5人进行逐一“单人单管”核酸检测，只要出现一例阳性，则该小区将被划为“封控区”．假设每人被确诊的概率为且相互独立，若当时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求．

附：，其中

【答案】(1)

(2)没有的把握认为潜伏期与年龄有关

(3)

【分析】（1）根据平均数公式计算可得；

（2）完善列联表，计算出卡方，即可判断；

（3）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式求出至少检测了4人该小区被确定为“封控区”的概率，设，利用导数求出函数的极大值点，即可得解；

（1）

解：根据统计数据，计算平均数为

（天）；

（2）

解：依题意潜伏期不超过天的抽取人，

超过天的抽取人，

所以可得列联表如下：

根据列联表计算，

所以没有的把握认为潜伏期与年龄有关；

（3）

解：至少检测4人该小区被测定为“封控区”包含两种情况：

①检测4次被确定，②检测5次被确定．

则至少检测了4人该小区被确定为“封控区”的概率为．

设，

，

，当时，当时，

即在上单调递增，在上单调递减，

所以时函数取得极大值即最大值，

当时，最大，

．

21．已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由椭圆的离心率及点在椭圆上，列方程组求椭圆参数，即可得椭圆C的方程；

（2）讨论直线斜率的存在性，设及l为，联立椭圆方程，应用判别式求t、k的关系，结合韦达定理及已知条件求t的范围，再应用向量数量积的坐标表示得到关于t的关系式，进而其范围，注意直线斜率不存在时的值.

(1)

由题意，，又，解得．

所以椭圆C为.

(2)

设，

若直线l的斜率存在，设l为，联立，

消去y得：，，

则，又，

故且，即，则，又，

所以，

整理得，则且恒成立．

，

又，且，故.

当直线l的斜率不存在时，，又，又，解得，则．

综上，的取值范围为．

22．已知和有相同的最大值.（）

(1)求的值；

(2)求证：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点且，使得成等比数列.

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）分别用导数法求出与的最大值，由最大值相等建立等式即可求解；

（2）画出和的图象，设和的图象交于点，则当直线经过点时，直线与两条曲线和共有三个不同的交点，可得，再结合函数的单调性与等比数列的定义求解即可

（1）

的定义域为，且，，

当时，，递增；当时，，递减；

所以，

的定义域为，且，

当时，，递增；当时，，递减；

所以，

又和有相同的最大值，

所以，解得，

又，

所以；

（2）

由（1）可知：

在递增，在递减，且，

在递增，在递减，且，

和的图象如图所示：

设和的图象交于点，

则当直线经过点时，直线与两条曲线和共有三个不同的交点，

则，且，

因为，

所以，即，

因为，且在递增，

所以，

所以，

因为，

所以，即，

因为，且在递减，

所以，

所以，

所以，即，

所以得成等比数列

【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，最值，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得的数量关系