2022-2023学年广东省深圳市福田中学高三上学期第二次月考数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市福田中学高三上学期第二次月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳市福田中学2022-2023学年高三上学期第二次月考
数学试卷
一、单选题
1．设集合A＝{x|m﹣3＜x＜2m+6}，B＝{x|log2x＜2}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（　　）
A．∅ B．[﹣3，﹣1] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3]
2．“幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数”是“函数g（x）＝2x﹣m2•2﹣x为奇函数”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝1，，若函数f（x）＝sin（2x+B）在上存在零点，则B＝（　　）
A．或 B．或 C． D．
4．已知函数的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g（x）的图象，且g（x）的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年．该书前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．函数f（x）＝（1﹣）cosx的图象大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
7．把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．在△ABC中，点D为线段BC的黄金分割点（BD＞DC），AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，则•＝（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）的定义域是R，f（）＝，若对于任意的x∈R都有f'（x）+4x＜0，则当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）﹣cos2α＜0的解集为（　　）
A．（，） B．（，）
C．（0，）∪（，2π） D．（0，）∪（，2π）
二、多选题
（多选）9．已知复数，则（　　）
A．
B．z的虚部为﹣1
C．z2为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第一象限
（多选）10．若，则（　　）
A．a0＝1
B．a1+a2+a3+⋯+a2022＝1
C．展开式中的各项系数之和为0
D．展开式中所有项的二项式系数之和为22022
（多选）11．已知向量，，则下列命题正确的是（　　）
A．若，则
B．若在上的投影向量为||，则向量与夹角为
C．与共线的单位向量只有一个为
D．存在θ，使得
（多选）12．设函数，若f（x）在[0，π]有且仅有5个最值点，则（　　）
A．f（x）在（0，π）有且仅有3个最大值点
B．f（x）在（0，π）有且仅有4个零点
C．ω的取值范围是
D．f（x）在上单调递增
三、填空题
13．某智能机器人的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表：
广告费用x（万元）
2
3
5
6
销售额y（万元）
28
31
41
48
根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为　 　万元．
14．已知二项式（1+x）n展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（1﹣x）（1+x）n展开式中一次项系数为　 　．
15．函数f（x）＝x2+x﹣2lnx的最小值　 　．
16．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为（a2+b2﹣c2），且c＝4，则△ABC的周长的取值范围是 　 　．
四、解答题
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，5asinC＝3c且C为钝角．
（1）求cosA；
（2）若，b＝5，求△ABC的面积；
（3）求．
18．设向量＝（sin（2x+），2），＝（1，sin2x），函数f（x）＝•．
（1）求f（x）的最小正周期及其图像的对称中心；
（2）若x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域．
19．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、…、[90，100]，统计结果如图所示．
（1）试估计这100名学生得分的平均数；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望；
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s2＝42.25．所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．

20．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，点B，D，F为f（x）与x轴的交点，点C，E分别为f（x）的最高点和最低点，而函数f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在处取得最小值．
（1）求参数ω和φ的值；
（2）若A＝1，求向量与向量夹角的余弦值；
（3）若点P为函数f（x）图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，•≥1恒成立，求A的取值范围．

21．定义在上的函数f（x）＝（x﹣m）sinx．
（1）当时，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；
（2）f（x）的所有极值点为x1，x2，…，xn，若f（x1）+f（x2）+…+f（xn）＝0，求m的值．
22．已知函数f（x）＝x﹣alnx，（a∈R）．
（1）若函数y＝f（x）只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
（2）若函数f（x）≥（a+1）x﹣xex恒成立，求实数a的取值范围．





















广东省深圳市福田中学2022-2023学年高三上学期第二次月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．设集合A＝{x|m﹣3＜x＜2m+6}，B＝{x|log2x＜2}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（　　）
A．∅ B．[﹣3，﹣1] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3]
【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
【分析】因为A∪B＝A，所以B⊆A，进而求解结论．
【解答】解：∵集合A＝{x|m﹣3＜x＜2m+6}，B＝{x|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，
∵A∪B＝A，可得B⊆A，
∴，可得﹣1≤m≤3，
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．“幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数”是“函数g（x）＝2x﹣m2•2﹣x为奇函数”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【考点】充分条件与必要条件；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】利用幂函数的概念及其单调性列式求得幂函数f（x）在（0，+∞）上为增函数时的m值，再利用奇偶性的定义求出函数g（x）为奇函数的m值即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数，
∴，解得m＝1，
若函数g（x）＝2x﹣m2•2﹣x为R上奇函数，
则g（0）＝1﹣m2＝0，∴m＝±1，
经检验知，当m＝±1时，g（x）＝2x﹣2﹣x为奇函数，∴m＝±1，
∴“幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数”是“函数g（x）＝2x﹣m2•2﹣x为奇函数”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查奇偶性的定义，幂函数的概念及性质，属于中档题．
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝1，，若函数f（x）＝sin（2x+B）在上存在零点，则B＝（　　）
A．或 B．或 C． D．
【考点】正弦函数的图象；正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理可得sinB＝，可求B＝，或B＝，分类讨论，利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：在ΔABC中，由正弦定理可得＝，即sinB＝，
从而B＝，或B＝，
若B＝，则f（x）＝sin（2x+）在（0，）上没有零点，不符合题意；
若B＝，则f（x）＝sin（2x+）在（0，）上存在零点，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理，正弦函数的性质的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．
4．已知函数的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g（x）的图象，且g（x）的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的对称性求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），
把函数的图象向左平移φ个单位长度后得到：g（x）＝2sin（2x+2φ+）的图象，
由于函数g（x）的图象关于y轴对称，
故：g（0）＝±2，
即：2sin（2φ+）＝±2，
所以：2φ+＝kπ+，（k∈Z），
解得：φ＝kπ+，（k∈Z），
当k＝0时，可得|φ|的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年．该书前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先根据题意计算该学生从这7章里任选4章进行选修的总情况数，再计算学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的情况数，最后利用古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：该书前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，共＝35种情况，
学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章，共有•＝20种情况．
所以，学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为＝．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型概率公式，属于基础题．
6．函数f（x）＝（1﹣）cosx的图象大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用当0＜x＜时，f（x）＜0，利用排除法进行判断即可．
【解答】解：f（x）＝•cosx，则f（﹣x）＝•cos（﹣x）＝•cosx＝﹣f（x），
则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当0＜x＜时，f（x）＞0，排除C，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及排除法是解决本题的关键，是基础题．
7．把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．在△ABC中，点D为线段BC的黄金分割点（BD＞DC），AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，则•＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【分析】在△ABC中，由余弦定理可求得BC的长，由“黄金分割”的定义知，＝＝，而•＝（+）•，再代换成以，为基底，并结合平面向量数量积的运算法则，即可得解．
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC＝4+9﹣2×2×3×＝7，
∴BC＝，
由题意知，＝＝，
∴＝，
∴•＝（+）•＝（+）•＝•+2
＝•（﹣）+2
＝•﹣2+2，
＝2×3×﹣22+×7＝．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的线性和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．已知函数f（x）的定义域是R，f（）＝，若对于任意的x∈R都有f'（x）+4x＜0，则当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）﹣cos2α＜0的解集为（　　）
A．（，） B．（，）
C．（0，）∪（，2π） D．（0，）∪（，2π）
【考点】二倍角的三角函数．
【分析】由题意构造函数g（x）＝f（x）+2x2﹣1，进而利用导函数求解．
【解答】解：由题意构造函数g（x）＝f（x）+2x2﹣1，则g′（x）＝f′（x）+4x＜0，
∴函数g（x）在R上为减函数，
∵f（）＝，
∴g（）＝f（）+2×（）2﹣1＝0，
又f（sinα）﹣cos2α＜0，
∴g（sinα）＝f（sinα）+2sin2α﹣1＝f（sinα）﹣cos2α＜0＝g（），
∴sinα＞，
∵α∈[0，2π]，
∴α∈（，），
∴不等式f（sinα）﹣cos2α＜0的解集为（，）．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数判断函数单调性，考查学生构造函数的能力及三角函数单调性应用，属于中档题．
二、多选题
（多选）9．已知复数，则（　　）
A．
B．z的虚部为﹣1
C．z2为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第一象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算；复数的模．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，先对z化简，再结合复数模公式，虚部和纯虚数的定义，以及复数的几何意义，即可依次求解．
【解答】解：，
对于A，，故A正确，
对于B，z的虚部为﹣1，故B正确，
对于C，z2＝（﹣1﹣i）2＝2i，故C正确，
对于D，，在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查合复数模公式，虚部和纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
（多选）10．若，则（　　）
A．a0＝1
B．a1+a2+a3+⋯+a2022＝1
C．展开式中的各项系数之和为0
D．展开式中所有项的二项式系数之和为22022
【考点】二项式定理．
【分析】A：令x＝0，即可判断；令x＝1，即可判断选项B，C；根据二项式系数和公式即可判断D．
【解答】解：A：令x＝0，则a0＝1，故A正确，
B：令x＝1，则a0+a1+...+a2022＝（1﹣1）2022＝0，所以a1+a2+...+a2022＝0﹣1＝﹣1，故B错误，
C：令x＝1，则展开式的各个项的系数和为0，故C正确，
D：因为n＝2022，所以展开式的所有二项式系数和为22022，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
（多选）11．已知向量，，则下列命题正确的是（　　）
A．若，则
B．若在上的投影向量为||，则向量与夹角为
C．与共线的单位向量只有一个为
D．存在θ，使得
【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的性质及其运算；向量的投影．
【分析】本题考查向量中的数量积问题，并考查向量中单位向量及向量夹角，投影相关概念．
【解答】解：A选项：若，则，
∴，∴．故A选项错误；
B选项：∵ 即：，
∴，
又∵，
∴，
∴．故B选项正确；
C选项：与，
∵，
∴，
故此单位向量为或
故C选项错误；
D选项：要使得等式成立，即．故，
．
故存在θ使等式成立．故D选项正确．
故选：BD．
【点评】本题主要是向量中基本概念问题．明确向量中相关概念．
（多选）12．设函数，若f（x）在[0，π]有且仅有5个最值点，则（　　）
A．f（x）在（0，π）有且仅有3个最大值点
B．f（x）在（0，π）有且仅有4个零点
C．ω的取值范围是
D．f（x）在上单调递增
【考点】正弦函数的单调性．
【分析】根据三角函数的极值点（也是整个定义域上的最值点）的性质，求出最值点，然后根据在[0，π]上有五个极值点，构造出关于k的不等式在[0，π]上恰有五个整数解，然后列出关于ω的不等式组，解出ω的范围，然后再进一步判断每一项．
【解答】解：显然f（x）的最值点满足ωx+＝kπ+，k∈Z，解得x＝，k∈Z，因为f（x）在[0，π]有且仅有5个极值点，所以k＝0，1，2，3，4，
则只需≤π，且＞π，解得≤ω＜，故C正确；
因为f（0）＝sin＞0，根据“五点法“作图可知k＝0时，x1＝是极大值点，再根据正弦型三角函数的极大值点与极小值点交替出现的规律可知，k＝2，k＝4时为极大值点，另两个为极小值点，故A正确；
同理如图可知，在A点之前必有四个零点，但x＝π也可能落在C点的右侧，从而使f（x）在（0，π）有5个零点，故B错误；
当ω＝时，周期最小，此时第一个极大值点为x1＝＝＞，而f（x）在（0，）上单调递增，故f（x）在（0，）上单调递增，故D正确．
故选：ACD．

【点评】本题考查三角函数的图像和性质，属于中档题．
三、填空题
13．某智能机器人的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表：
广告费用x（万元）
2
3
5
6
销售额y（万元）
28
31
41
48
根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为　57　万元．
【考点】线性回归方程．
【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，求出，即可求出线性回归方程，再将x＝8代入上式，即可求解．
【解答】解：由表中数据可得，，，
∵回归方程，
∴，解得，
故此模型预报广告费用为8万元时销售额为5×8+17＝57万元．
故答案为：57．
【点评】本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于基础题．
14．已知二项式（1+x）n展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（1﹣x）（1+x）n展开式中一次项系数为　11　．
【考点】二项式定理．
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得（1﹣x）（1+x）n展开式中一次项系数．
【解答】解：∵二项式（1+x）n展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n＝12，
由（1+x）n展开式的通项公式为 Tr+1＝•xr＝•xr，
故（1﹣x）（1+x）n展开式中一次项系数为﹣＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
15．函数f（x）＝x2+x﹣2lnx的最小值　　．
【考点】利用导数研究函数的最值．
【分析】求出函数的导数，利用函数的单调性转化求解函数的最小值．
【解答】解：因为，
易知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．
16．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为（a2+b2﹣c2），且c＝4，则△ABC的周长的取值范围是 　（4+4，12]　．
【考点】余弦定理．
【分析】根据△ABC的面积公式和余弦定理，列方程组求出锐角C的值，
由正弦定理与三角形内角和定理，根据角的取值范围和三角恒等变换，
即可求出a+b的取值范围，以及△ABC的周长取值范围．
【解答】解：△ABC的面积为S＝（a2+b2﹣c2），
即absinC＝（a2+b2﹣c2）；
又cosC＝，
∴absinC＝•2abcosC，
化简得tanC＝；
又C为锐角，∴C＝；
又c＝4，由正弦定理得，
＝＝＝＝，
∴a＝sinA，b＝sinB，
又A+B＝，且A、B为锐角，
∴＜A＜，
且B＝﹣A；
∴a+b＝sinA+sin（﹣A）
＝[sinA+sin（﹣A）]
＝（sinA+cosA）
＝×（sinA+cosA）
＝8sin（A+），
∵＜A＜，∴＜A+＜，
∴＜sin（A+）≤1，
∴4＜a+b≤8，
∴4+4＜a+b+c≤12，
即△ABC的周长取值范围是（4+4，12]．
故答案为：（4+4，12]．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换与三角函数图象和性质的应用问题，是中档题．
四、解答题
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，5asinC＝3c且C为钝角．
（1）求cosA；
（2）若，b＝5，求△ABC的面积；
（3）求．
【考点】解三角形；正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，可得sinA的值，再由同角三角函数的平方关系，得解；
（2）先利用余弦定理，求出c的长，再由S＝bcsinA，得解；
（3）根据二倍角公式求得sin2A和cos2A的值，再由两角和的正弦公式，展开运算，得解．
【解答】解：（1）由正弦定理及5asinC＝3c，知5sinAsinC＝3sinC，
因为sinC≠0，所以，
因为角C为钝角，所以角A为锐角，
所以．
（2）由（1），
由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
所以18＝25+c2﹣2•5•c•，即c2﹣8c+7＝0，解得c＝7或c＝1，
因为c＝1＜b，不合题意，舍去，所以c＝7，
故△ABC的面积S＝＝．
（3）由（1）知sinA＝，cosA＝，
所以sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，
所以＝sin2A+cos2A＝×+×＝．
【点评】本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．设向量＝（sin（2x+），2），＝（1，sin2x），函数f（x）＝•．
（1）求f（x）的最小正周期及其图像的对称中心；
（2）若x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数的周期性．
【分析】（1）先将函数化简为f（x）＝Asin（ωx+φ）+b的形式，再根据三角函数性质求解；
（2）由x的范围，求得ωx+φ的范围，再得到f（x）的值域．
【解答】解：（1）f（x）＝•＝sin（2x+）+2sin²x
＝
＝
＝sin（2x﹣）+1，
即f（x）＝sin（2x﹣）+1，所以f（x）的最小正周期为T＝．
令2x﹣＝kπ（k∈Z），解得x＝（k∈Z），
所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．
（2）因为x∈[﹣，]，即设t＝2x﹣∈[﹣，]，
根据图像分析可得：sint∈[﹣]，
所以函数f（x）的值域为[﹣]．
【点评】本题主要考查三角函数的值域和对称中心，属于中档题．
19．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、…、[90，100]，统计结果如图所示．
（1）试估计这100名学生得分的平均数；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望；
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s2＝42.25．所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．
【分析】（1）根据频率分布直方图求平均数即可；
（2）求得ξ的可能取值及对应概率，完成分布列，进而求得期望；
（3）根据正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数＝（45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01）×10＝70．
（2）参加座谈的11人中，得分在[90，100]的有11×＝2人，
所以ξ的可能取值为0，1，2，
所以P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝．
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P



∴E（ξ）＝0×+1×+2×＝．
（3）由（1）知，X～N（70.5，6.52），
所以P（X＞77）＝P（X＞μ+σ）＝＝0.15865，
∴E（X）＝2000×0.15865≈3.17，
得分高于77分的人数最有可能是317．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
20．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，点B，D，F为f（x）与x轴的交点，点C，E分别为f（x）的最高点和最低点，而函数f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在处取得最小值．
（1）求参数ω和φ的值；
（2）若A＝1，求向量与向量夹角的余弦值；
（3）若点P为函数f（x）图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，•≥1恒成立，求A的取值范围．

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出ω，利用在处取得最小值求出φ；
（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；
（3）设P（x，y），利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点P位置，然后根据最小值大于等于1可得A的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为2，
所以T＝4∴，
∴，
又时，g（x）取最小值，
则，k∈Z，
∴，k∈Z，
又∵|φ|＜π，则，
即，φ＝；
（2）因为A＝1，所以，
则，，，
则，
则，
即向量与向量夹角的余弦值为；
（3）因为P是f（x）上动点，，，，
又∵恒成立，
设，
则，，
则＝，
易知在或处有最小值，在或处有最大值，
所以当或时，有最小值，
即当P在C或E时，有最小值，此时或，
当P为时，，，，得，
又A＞0，则，
当P为时，，，
∴，解得，
综上，，
即A的取值范围为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
21．定义在上的函数f（x）＝（x﹣m）sinx．
（1）当时，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；
（2）f（x）的所有极值点为x1，x2，…，xn，若f（x1）+f（x2）+…+f（xn）＝0，求m的值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；
（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解．
【解答】解：（1）当m＝时，f（x）＝（x﹣）sinx，f′（x）＝sinx+（x﹣）cosx，
则f（）＝0，f′（）＝．
所以曲线y＝f（x）在点（，0）处的切线方程为y＝（x﹣），
即3x﹣2y﹣π＝0；
（2）f′（x）＝sinx+（x﹣m）cosx，
当﹣＜x＜时，f′（x）＝cosx（tanx+x﹣m），
由函数y＝tanx+x在区间（﹣，）上递增，且值域为R，
所以存在唯一x0∈（﹣，），使得tanx0+x0＝m，
此时当﹣＜x＜x0时，f′（x）＜0，当x0＜x＜时，f′（x）＞0，
所以x＝x0为函数f（x）的极小值点，
同理，存在唯一x0'∈（，），使得tanx0'+x0'＝m，
此时，当＜x＜x0'时，f′（x）＞0，当x0'＜x＜时，f′（x）＜0，
所以x＝x0'为函数f（x）的极大值点，
所以函数f（x）在（﹣，）上有且仅有2个极值点，
不妨设x1＜x2，则x1＝x0，x2＝x0'，
因为f′（x1）＝0，x1﹣m＝﹣tanx1，f（x1）＝cosx1﹣，同理，f（x2）＝cosx2﹣，
由f（x1）+f（x2）＝0，
整理得（cosx1+cosx2）（1﹣）＝0，
又﹣＜x1＜＜x2＜，所以cosx1cosx2≠1，则有cosx1＝﹣cosx2＝cos（x2﹣π），
由﹣＜x2﹣π＜，得x1＝x2﹣π或x1＝﹣（x2﹣π），
又m＝x1+tanx1＝x2+tanx2，当x1＝x2﹣π时，不满足，舍去，
所以x1＝﹣（x1﹣π），即x1+x2＝π，
所以tanx1＝﹣tanx2，
所以m＝＝，
综上m＝．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．
22．已知函数f（x）＝x﹣alnx，（a∈R）．
（1）若函数y＝f（x）只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
（2）若函数f（x）≥（a+1）x﹣xex恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的最值．
【分析】（1）a＝0时，f（x）＝x在x∈（0，+∞）上无零点．函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）（x∈（0，+∞））只有一个零点⇔y＝与函数g（x）＝有且仅有一个交点．
利用导数研究函数g（x）的单调性即可得出结论．
（2）函数f（x）≥（a+1）x﹣xex恒成立⇔xex﹣a（x+lnx）≥0，x∈（0，+∞）．令h（x）＝xex﹣a（x+lnx），x∈（0，+∞）．h′（x）＝（x+1）ex﹣a（1+）＝（x+1）（ex﹣），对a分类讨论，函数h（x）的单调性与极值及其最值即可得出结论．
【解答】解：（1）a＝0时，f（x）＝x在x∈（0，+∞）上无零点．
函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）（x∈（0，+∞））只有一个零点⇔y＝与函数g（x）＝有且仅有一个交点．
g′（x）＝，
∴x∈（0，e）时，g′（x）＞0；x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．
∴函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
x＝e时，g（x）取得极大值即最大值，g（e）＝．
画出图象，
∴当＝或≤0时，解得a＝e，或a＜0
∴实数a的取值所构成的集合为{e}∪（﹣∞，0）．
（2）函数f（x）≥（a+1）x﹣xex恒成立⇔xex﹣a（x+lnx）≥0，x∈（0，+∞）．
令h（x）＝xex﹣a（x+lnx），x∈（0，+∞）．
h′（x）＝（x+1）ex﹣a（1+）＝（x+1）（ex﹣），
对a分类讨论，
a≤0时，h′（x）＞0，函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
x→0，lnx→﹣∞，xex﹣a（x+lnx）＞0，∴a≤0满足条件．
a＞0时，令h′（x）＝0，存在x0＞0，使得＝，x0＝lna﹣lnx0，
x∈（0，x0），h′（x）＜0；x∈（x0，+∞），h′（x）＞0．
∴函数h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴x＝x0时，函数h（x）取得极小值即最小值，
∴h（x0）＝x0﹣a（x0+lnx0）＝a﹣alna≥0，解得0＜a≤e．
综上可得：实数a的取值范围为（﹣∞，e]．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．