2022-2023学年河南省实验中学TOP二十名校高三上学期12月调研考试考试文科数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省实验中学TOP二十名校高三上学期12月调研考试考试

文科数学试卷

注意事项：

1．本试卷共4页，考试时间120分钟，卷面总分150分。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。

3．全部答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．若复数z满足，则（    ）

A．     B．1     C．     D．2

3．设x，y满足约束条件则的最小值为（    ）

A．     B．2     C．4     D．6

4．下列点中，曲线的一个对称中心是（    ）

A．     B．     C．     D．

5．已知，则（    ）

A．     B．     C．     D．

6．执行如图所示的程序框图，若输出的S为1，则判断框内应该填入的条件是（    ）

A．     B．     C．     D．

7．有一组样本数据，该样本的平均数和方差均为2，在该组数据中加入1个数2得到新的样本数据，则两组样本数据相同的为（    ）

A．平均数和中位数     B．中位数和方差     C．方差和极差     D．平均数和极差

8．已知函数的定义域为R，若为奇函数，为偶函数．设，则（    ）

A．     B．0     C．1     D．2

9．已知正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则（    ）

A．                     B．平面平面

C．点E到平面的距离为1     D．三棱锥的体积为

10．已知数列满足，则的前n项积的最大值为（    ）

A．1     B．2     C．3     D．4

11．已知O为坐标原点，，则（    ）

A．的极小值为     B．的最大值为

C．的最小值为1     D．的最大值为2

12．已知抛物线的焦点为F，A是C的准线与x轴的交点，P是C上一点，的平分线与x轴交于点B，则的最大值为（    ）

A．     B．     C．     D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为____________．

14．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在y轴上，离心率为2，写出C的一个方程____________．

15．已知四面体的各顶点都的球O的表面上，，E，F分别为的中点，O为的中点．若，直线与所成的角为，，则球O的表面积为____________．

16．在中，D为边上一点，，若，则____________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）

电机（或变压器）绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级，电机与变压器中常用的绝缘材料耐热等级分为如下7个级别：

某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐温（单位：），其频率分布直方图如下：

（1）若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件，估计其中耐热等级达到C级的产品数；

（2）若规定产品耐热等级达到C级为合格，除此之外均为不合格．完成以下表格，并判断是否有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关？

参考公式：，其中．

参考数据：

18．（本小题满分12分）

已知数列为等差数列，数列满足，且．

（1）求的通项公式；

（2）证明：．

19．（本小题满分12分）

如图，在平行四边形中，．以为折痕将折起，使点M到达点D的位置，E，F分别为的中点．

（1）证明：；

（2）设，求．

20．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的长轴比短轴长2，焦距为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知，过点P的直线l与C交于A，B两点，延长到D，延长到E，且满足轴．证明：D，E两点到直线的距离之积为定值．

（二）选考题：共10分。请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程分别为（t为参数），（为参数）．

（1）将的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设的第一象限的交点为A，求以为直径的圆的极坐标方程．

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数．

（1）设，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求m的取值范围．

2022-2023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考

高三文科数学参考答案

1．【答案】C

【解析】，则．故选C．

2．【答案】A

【解析】因为，所以，所以．故选A．

3．【答案】C

【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，结合图形可知，当直线过点时，z取最小值，．

4．【答案】C

【解析】．令，则，即，故对称中心可以是．故选C．

5．【答案】D

【解析】，所以．

6．【答案】C

【解析】执行该程序框图，，执行第1次循环；执行第2次循环；执行第3次循环；当时不满足，输出．故选C．

7．【答案】D

【解析】新样本的平均数为，方差；因为加入的2是原样本数据的平均值，故不是最大和最小的数，所以极差不变但中位数有可能发生改变．故选D．

8．【答案】A

【解析】因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称．因为为偶函数，所以，即，所以的图象关于直线对称．则有，即．故选A．

9．【答案】D

【解析】连接，由，可知与不平行，A选项不正确；连接交于点G，连接，因为，所以，则四边形为平行四边形，则有，因为，所以，因为，F为的中点，所以，所以平面，故平面平面，B选项不正确；因为平面，所以的长度即为点E到平面的距离，，C选项不正确；由等体积变换可知，D选项正确．故选D．

10．【答案】B

【解析】由类比得，两式相除得，即．

由，得，设的前n项积为，则有，…，则数列是以3为周期的数列，的最大值为2．故选B．

11．【答案】D

【解析】由，可得点A的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，根据向量减法的几何意义，由，可得点B的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，如图所示．当点B在坐标原点位置时，取最小值0，当点B在射线与圆A的交点位置时，取最大值2，A，B选项错误．根据向量数量积的几何意义，当点B在坐标原点位置时，在方向上的投影取最小值0，此时取最小值0，当点B在射线与圆A的交点位置时，在方向上的投影取最大值2，此时取最大值2，C选项错误，D选项正确．故选D．

12．【答案】B

【解析】不妨设点P在第一象限，作垂直准线于点，则有，由角平分线定理得，当直线与抛物线相切时，最大，最大，设直线的方程为，由整理得，由，得，则当直线与抛物线相切时，则，设O为原点．则，由上可知，，整理得，则，当直线与抛物线相切时取最大值．故选B．

13．【答案】

【解析】设切点的坐标为，由题意得，则该切线的斜率，解得，则切线的斜率．

14．【答案】（答案不唯一）

【解析】由题意可知，即，所以C的方程可以为．

15．【答案】

【解析】依题意，作出球O的内接正四棱柱．因为，所以或，又，则．因为，则，在中，，则，则球O的表面积．

16．【答案】

【解析】在中，由正弦定理可得．又，可得，且，则有①．又②，①②联立，得，即，则，整理得，解得或（舍去）．故．

17．【答案】见解析

【解析】（1）由频率分布直方图可知，

65万件产品中，耐热等级达到C级的产品数为（万件），

故耐热等级达到C级的产品数约为52万件．

（2）由频率分布直方图可知，

采用甲工艺生产的产品中，达到C级的件数为，

未达到C级的件数为．

采用乙工艺生产的产品中，达到C级的件数为，

未达到C级的件数为．

完成表格如下：

由列联表可得，，

所以有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关．

18．【答案】见解析

【解析】（1）由，可知数列为等差数列，且的公差相等，设为d．

由，得，则．

由，得，即．

因为，所以，则有，则，

故数列的通项公式为，则

数列的通项公式．

（2）由（1）可知，

则

．

19．【答案】见解析

【解析】（1）取的中点G，连接．

因为，所以．

因为，所以．

又，

所以平面．

又平面，所以．

（2）在中，．

由余弦定理得，，则．

因为，所以．

因为，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面．

作垂直于H，连接．

所以平面，又平面，

所以．

由题意可知，

在中，．

20．【答案】见解析

【解析】（1）当时，，

，设，

，

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增．

故的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由，得．

当时，．

令，

当时，，

在上单调递增；

当时，，

在上单调递减，

故．

此时，满足题意．

综上，实数a的取值范围为．

21．【答案】见解析

【解析】（1）由长轴比短轴长2，则，即①，

由焦距为，则，即     ②，

①②联立，得，

则，

所以C的方程为．

（2）由题意可知，直线l的斜率不为0．

当l的斜率不存在时，直线l的方程为，

由对称性可知，四边形为矩形，

则D，E两点到直线的距离之积为．

当l的斜率存在时，设l的方程为，

结合题意可设．

由，可得，

整理得，

．

由A，Q，D三点共线，可知，即     ①，

由B，Q，E三点共线，可知，即     ②，

①×②得：，

又，则．

，

则．

故D，E两点到直线的距离之积为定值．

22．【答案】见解析

【解析】（1）由的参数方程得，

两式相减得，

所以的普通方程为．

由的参数方程得的普通方程为．

（2）由得到

所以A的直角坐标为．

以为直径的圆的圆心的极坐标为，半径为1，

则为直径的圆的极坐标方程为，

所以所求圆的极坐标方程为．

23．【答案】见解析

【解析】（1）由，则，

当时，，则；

当时，成立，则，

综上，不等式的解集为．

（2）因为恒成立，所以恒成立，

设

当时，在上单调递增，

当时，．

所以函数的最小值为m，以，

故m的取值范围为．