2023届湖北省十堰市东风高级中学高三8月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届湖北省十堰市东风高级中学高三8月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖北省十堰市东风高级中学高三8月月考数学试题 一、单选题1．设集合，，则=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解集合与集合，利用集合的并集运算进行求解.【详解】解：因为，且，故集合；因为，且，故集合；所以.故选：D.2．直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出特殊角的三角函数值，将直线化为斜截式方程，即可得出.【详解】由已知可得，直线方程为，化为斜截式方程为.所以，直线的斜率为.故选：A.3．已知平面向量，，若，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据解得，再结合平面向量的夹角公式计算即可【详解】由可得，即，解得，所以，，则又所以与的夹角为故选：B.4．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】，，，，，，所以.故选：C5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图：则其外接球的半径为球的表面积为；故选B． 6．在中，角的对边分别为，，，，设边上的高为h，则h=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理先求出，然后求出，结合三角函数的定义进行求解即可．【详解】∵，，，∴，则，则.故选：D.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于常考题.7．若，则下列不等式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数,利用导数研究函数单调性，从而可判断AB；构造函数,利用导数研究函数单调性，从而可判断CD.【详解】构造函数，则，又当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，的大小不确定．所以A、B均不正确；构造函数，则，所以在上为增函数，所以，即，所以．故选:D．8．过点作圆与圆的切线，切点分别为､，若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先根据，圆与的半径相等，为直角三角形，得到，进而得到点在线段的垂直平分线上；然后求出此平分线表达式，得到点的只含有的坐标，代入，得到二次函数，求其最小值即可.【详解】解：如图所示，由圆的切线的性质得，在中有，由题知，，所以点在线段的垂直平分线上；由题知，所以与的中点的坐标为，与所在直线的斜率为，所在直线的斜率为，直线的方程为，即，点在，所以点的坐标满足，所以，故选：B.【点睛】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将表示为只含有一个未知数的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点所在的一条直线，进而用一个未知数表示出其坐标，进而求得的最小值. 二、多选题9．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（    ）A．成绩在的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】ABC【分析】因为成绩出现在[70，80]的频率最大，故A正确；不及格考生数为10×（0.010+0.015）×4000＝1000，故B正确；根据频率分布直方图估计考试的平均分为70.5，C正确；估计中位数为71.67，D错误．【详解】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；考生竞赛成绩的平均分约为，故C正确；因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，所以中位数为，故D错误.故选ABC.【点睛】本题考查了频率分布直方图，以及用频率分布直方图估计样本的平均数与中位数等，考查计算能力．属于基础题．10．已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（    ）A．双曲线的方程为B．双曲线的两条渐近线所成的锐角为C．到双曲线渐近线的距离为D．双曲线的离心率为【答案】ABD【分析】由左焦点，得，再根据的面积为，由，求得双曲线的方程，再逐项判断.【详解】因为双曲线的左焦点为，所以，又因为过与轴垂直的直线与双曲线交于，所以的面积为，即，又，所以，所以双曲线的方程为，故正确;则双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的夹角为，故B正确;到双曲线渐近线的距离为,故C错误﹔双曲线的离心率为.故D正确;故选：ABD11．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（    ）A．为奇函数 B．周期为2C． D．是奇函数【答案】AD【分析】由于的定义域为，且关于中心对称，可知是奇函数，又关于对称，由此即可求出函数的周期，根据函数的奇偶性及周期性判断各项的正误.【详解】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确；因为关于直线对称，即，所以，所以函数的周期，故B项错误；，故C项错误；，所以是奇函数，故D项正确.故选：AD.12．已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（    ）A．的最小值是 B．的最大值为3C．的最小值为3 D．的最小值是2【答案】ACD【分析】AD选项：利用基本不等式求最值即可；B选项：令，然后利用三角函数求最值即可；C选项：消元后根据二次函数的单调性求最值即可.【详解】对于A，，当且仅当，即，时取“=”，A正确；对于B，令，，其中锐角由确定，显然，则当，即时，，因此，当时，取最大值，B不正确；对于C，，当时，取得最小值3，C正确；对于D，，当且仅当a=b=1时取“=”，D正确.故选：ACD. 三、填空题13．已知直线被圆截得的弦长为2，则____【答案】【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案.【详解】由圆的方程，则其圆心为，圆心到直线的距离，弦长的一半为1，，故答案为：14．如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别为，的中点，点在线段上，且，若，则______．【答案】【解析】以为一组基向量，首先，再将逐步地用基向量表示，最后合并整理得出结果.【详解】由，分别为，的中点，点在线段上，且，所以 ，则，故答案为：.15．焦点是F（0,5），并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________．【答案】＝1【解析】设直线被椭圆所截弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）．用“点差法”建立弦中点坐标，弦所在直线斜率与椭圆方程中的关系，结合可求得结论．【详解】设所求的椭圆方程为＝1（a＞b＞0），直线被椭圆所截弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.将A，B两点坐标代入椭圆方程中得两式相减并化简得＝－·＝－2×＝3，所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25.故所求椭圆的标准方程为＝1.故答案为：＝1.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，已知直线与椭圆相交弦中点，可用“点差法”建立的关系．16．若函数，当时函数有极值，则过点与曲线相切的直线方程为__________.【答案】或.【分析】根据极值点和极值列出方程组，求出，得到解析式.然后先判断点是否在曲线上，若是，先求出曲线在点处的切线方程；然后设出切点，结合导数的几何意义求出其他的切线方程.【详解】由已知，当时函数有极值，所以，即，解得，则，解，可得或；解，可得或；解，可得.所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，函数有极大值，满足.所以，.因为，所以点在的曲线上.若切点为，则根据导数的几何意义有，，此时切线方程为，化为一般式方程为；若不是切点，设切点为，，切线斜率为，根据导数的几何意义有，，又，所以，有，整理可得，，解得或（舍去）.所以，此时切线斜率为，又直线过，所以切线方程为，化为一般式方程为.综上所述，切线的方程为或.故答案为：或 四、解答题17．在△中，角，，所对的边分别为，，．若，，求△面积的最小值．【答案】【分析】利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，求得以及，利用余弦定理以及基本不等式求得的最小值，进而求得三角形面积的最小值.【详解】由正弦定理得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴,由可知，，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，即，，则，即，当且仅当时取等号，则.所以△面积的最小值为.18．已知等比数列{}的公比，且，．(1)求数列{}的通项公式；(2)设数列{}的前n项和为，求数列{}的前n项和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可；（2）利用错位相消法进行求解即可.【详解】（1）由，或（舍去），所以；（2）由（1）可知，所以，所以，设数列{}的前n项和为，，，，得，即.19．吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子粽子装有10个，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外外观完全相同，从中任意选取3个.(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；(2)求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率．(3)设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列与期望.【答案】(1)(2)(3)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型的概率计算，可得答案；（2） 计算出所选3个粽子有肉粽的可能选法的种数，再计算所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有几种，根据条件概率的计算可得答案；（3）确定ξ的可能取值，计算每个值对应的概率，即可得分布列，进而计算其期望.【详解】（1）令A表示事件“三个粽子中有1个肉粽”， 从中任意选取3个有种可能,其中恰有1个肉粽的可能选法有种,∴由古典概型的概率计算公式有.（2）所选3个粽子有肉粽的可能选法有种，所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有种，故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为.（3）由题意知，ξ可能取的值为，则∴，，，故ξ的分布列为： 012  则的期望为.20．如图，是一个三棱锥，是圆的直径，是圆上的一点，垂直于圆所在的平面，分别是棱的中点.(1)求证：平面；(2)若二面角是，，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）， ，由线面垂直的判定定理可得平面，再由三角形中位线定理可得答案；（2）以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立的空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【详解】（1）因为是圆的直径，所以，因为垂直于圆所在的平面，平面，所以，又因为，平面，平面PAC，所以平面，因为分别是棱的中点，所以，从而有平面；（2）由（1）可知，平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，从而有，则，又，得，以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，,，，，，所以，，,设是平面的一个法向量，则，即，可取，故，所以AE与平面ACD所成角的正弦值为.21．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据抛物线的定义与方程求解；（2）利用向量处理，结合韦达定理代换整理，注意讨论直线l斜率是否存在．【详解】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．由得，因为，所以，即，所以，因为，所以；因为，所以，即，所以，所以因为，所以①．（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．由得，所以，且，所以（*），因为，所以，即，所以，所以，得，因为，所以，即，所以，所以则所以，得，所以②，代入（*）得，，所以③，由②得，所以④，所以，所以，⑤由④，⑤知，综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．22．已知函数.（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，且，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）求出函数在处的导数，求出，即可求出切线方程，得出定点；（2）由题可得，可得，令，则，构造函数，二次求导得出单调递增，即可求出，再利用基本不等式即可证明.【详解】（1），则，即切线斜率为，又，则切线的方程为，即，可得当时，，故切线恒过定点；（2）是的零点，，且，则，即，，即，令，则，则，令，则。令，则，则单调递增，，即，则单调递增，，，即，即，则（由于，故不取等号），得证.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决双变量问题，解题的关键是将其转化为，利用导数求出单调性，得出.