2023届湖北省襄阳市第五高级中学高三上学期12月月考数学试题（含答案）

襄阳市第五高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题

 考试时间：12月24日

一、单选题(每小题5分,共40分  每小题只有一个选项符合题意)

1．已知i是虚数单位，复数，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．根据新课改要求，襄阳五中对学校的课程进行重新编排，其中对高三理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（    ）

A．144种 B．72种 C．36种 D．18种

3．已知，，，，则（    ）

A．或B．C． D．

4．已知函数，则（    ）

A．404 B．4044 C．2022 D．2024

5．襄阳五中近期迎来120周年校庆，学生会制作了4种不同的精美卡片，在学校书店的所有书本中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买书本6册，那么小明获奖的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数．设，则（    ）

A． B． C． D．

7．己知的上、下焦点分别是，，若椭圆C上存在点P使得，，则其离心率的值是（    ）

A． B． C． D．

8．数列满足，，则下列说法错误的是（    ）

A．若且，数列单调递减B．若存在无数个自然数，使得，则

C．当或时，的最小值不存在D．当时，

二、多选题(每小题5分,共20分)

9．下列命题是真命题的有（    ）

A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30

B．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4

C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67

D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5

10．若，且，则（    ）

A．B．C． D．

11．如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．该几何体外接球的体积为

C．若为中点，则平面 D．的最小值为

12．如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A．B．

C．

D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率

三、填空题(每小题5分,共20分)

13．设，其中，，，成公差为d的等差数列，，，成公比为3的等比数列，则d的最小值为______.

14．空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是，，的中点，则的值为___________.

15．已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，分别为的重心、内心，若平行于轴，则的外接圆面积为___________.

16．已知函数，其中．若恒成立，则a的取值范围是_________．

四、解答题(共70分)

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且______.

(1)求；

(2)求的取值范围.

18．数列满足，．

(1)证明：数列为等差数列．(2)若，求数列的前项和．

19．四棱柱中，底面为正方形，面，点M，N，Q分别为棱的中点．

(1)求证：平面∥平面；

(2)若，棱上存在点P，使得二面角的余弦值为，求的值．

20．多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额，的数据（，2，，12），该团队建立了两个函数模型：①②，其中均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令，计算得如下数据：

(1)设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？

附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②参考数据：.

21．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.

22．已知函数.

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

．

12.24参考答案：

BACBBBCBBDBDACDBCD

1314．.15．16．18.(2) .

19．（1）∵分别为棱中点，，，四边形MQBD为平行四边形，，又平面，平面，平面，∵N为棱AD的中点，，

又，，∵平面，平面，平面.

又，平面，平面∥平面.

（2）由题意知两两垂直，以为原点，方向分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

设（），，则，

故，，设，则由可得，，

则设平面的一个法向量为，则，

取，则，设平面MNQ的一个法向量为，则，

取，则，由题知，

解得或（与矛盾，舍去），故，即.

20．(1)模型的拟合程度更好(2)（i）（ii）预测下一年的研发资金投入量是亿元

21．（1）易知点是抛物线的焦点，，依题意，

所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，设该椭圆的方程为，

则，，故点的轨迹的方程为.

（2）易知直线1的斜率存在，

设直线1：，

由得：，，

即①又，故，将，代，得：，

将②代入①，得：，即，

即，即，且，即或.

22．（Ⅰ）和.

（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；

而，所以，即；

同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以是中的较大者，

若，即时，；

若，即时，；

所以当最小时，，此时.

．