2023届贵州省贵阳市五校高三上学期联合考试（三）数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届贵州省贵阳市五校高三上学期联合考试（三）数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的定义域化简集合，再根据集合交集的定义求解即可.
【详解】由对数函数的定义域可得或，
所以或，
所以，
故选：C.
2．若是纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.
【详解】解：，因为是纯虚数，所以，则.
故选：C．
3．甲乙两位射击运动员参加比赛，抽取连续5轮射击比赛的成绩情况如下：
甲：80、70、80、90、90；乙：70、80、80、80、70
则下列说法中正确的是（ ）
A．甲平均成绩高，甲成绩稳定B．甲平均成绩高，乙成绩稳定
C．乙平均成绩高，甲成绩稳定D．乙平均成绩高，乙成绩稳定
【答案】B
【分析】分别求甲、乙的平均值和方差分析即可.
【详解】由题意可得
甲：，
，
乙：，
，
因为且，
故选：B．
4．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．25B．40C．44D．55
【答案】D
【分析】由等差数列的性质求解.
【详解】等差数列中，，则，则.
故选：D．
5．设向量，，若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量平行的坐标表示即可得解.
【详解】因为向量，，，
所以，得.
故选：D.
6．2022年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织6名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240B．150C．690D．180
【答案】A
【分析】利用分类计数原理及排列组合的意义，对高三志愿者人数进行分类讨论即可.
【详解】第一种：当高三的志愿者有3人时，其他两个年级有1个年级1人，有1个年级2人，则有种；
第二种：当高三的志愿者有2人时，其他两个年级也分别有2人，则有种；
第三种：当高三的志愿者有4人时，其他两个年级分别有1人，则有种，
所以不同的分配方法有：种，
故选：A.
7．下列可能是函数对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换将函数整理成余弦型函数，按照余弦函数对称中心求解，即可判断.
【详解】解：
令，，则，对称中心为，，
当时，对称中心为.
故选：B．
8．已知双曲线的右焦点为，点是其渐近线上的一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离结合双曲线的几何意义求解即可.
【详解】由题可知，双曲线渐近线为，
则右焦点到渐近线距离为，
所以，
故选：A．
9．某三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图和俯视图均是正方形且其外接球表面积为，则该几何体的体积是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】由三视图还原得到在正方体中截取的三棱锥，计算正方体的棱长，再计算体积即可.
【详解】由三视图还原如图可知，该三棱锥是在正方体中截取的三棱锥．三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设正方体的边长为，其外接球的半径为r，则由题可知 ，
解得，所求体积是正方体减4个一样的三棱锥：.
故选：A
10．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．5
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.
【详解】抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为，
由消去y并整理得：，设，，则，
弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图，
令交抛物线于点P，在抛物线上任取点，过作于点，连接，
即有，，
当且仅当点与P重合时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
11．已知是定义在R上的函数，是的导函数，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合题目条件与选项构造新函数，通过新函数的单调性求解.
【详解】令，则，则是增函数，所以，即，所以.
故选：D．
12．已知，，，则、、这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的单调性及对数运算法则，结合换底公式与基本不等式即可判断得、、的大小.
【详解】因为，所以，即，
因为，
所以，
综上：.
故选：C.
二、填空题
13．已知为函数（）的最大值，则的展开式中的常数项为______.
【答案】
【分析】先由正弦型函数的最值求得，再利用二项式定理求得展开式通项公式，从而可求得常数项.
【详解】由已知，为函数的最大值，所以，
则，其展开式通项公式为：，
故当时，展开式的常数项为.
故答案为：.
14．记的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，面积为，，且，则______________．
【答案】4
【分析】先利用面积公式求，再利用余弦定理求角.
【详解】，则，
，
解得．
故答案为：4.
15．已知函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为______________．
【答案】
【分析】利用奇函数的定义求，再根据导数的几何意义求解即可.
【详解】因为为奇函数，
所以即，解得，
则，所以切点，，
所以切线斜率，切线方程为，
故答案为：.
16．已知函数若方程有四个不同的实根，满足，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】画出函数的图象，由有四个根，可得，结合图象，找到四个根，的关系可解决.
【详解】由图可知，
且，所以，又因为，由二次函数的对称性可知，则，，令
，所以函数单调递增，
由二次函数求值域可知.
故答案为：
三、解答题
17．已知数列的前项和为，为等差数列的前项和，且满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由 计算可得结果.
（2）求等差数列乘以等比数列的前n项和通过错位相减法可得结果.
【详解】（1）①当时，；
②当时，，
③将n=1代入中得： 符合.
∴，
设等差数列的公差为d，
则，解得：，
∴.
（2）由（1）知：，
∵
∴ ①
②
∴得：
即：，
∴.
18．为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，收集数据如下：
(1)在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．
（ⅰ）证明：“对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数关于天数具有线性关系（即为常数）”；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】(1)选择为回归方程较宜
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】(1)根据散点图趋势选择；(2)将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型，结合所给数据求解.
【详解】（1）作出散点图如图所示．
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围，
故选择为回归方程较宜．
(2)（i）证明：由已知：令，则，
则，，即．所以繁殖个数的对数关于天数具有线性关系．
（ii）由（i）知繁殖个数的对数关于天数可以用线性回归方程来拟合．由表中数据可得，
，
，
得到关于的线性回归方程为，又，
因此细菌的繁殖个数关于天数的非线性回归方程为．
19．如图，在三棱锥中，，且，为的中点，点在棱上，，若是边长为1的等边三角形，且.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形与勾股定理证得与，从而由线面、面面垂直的判定定理证得平面平面；
（2）依题意建立空间直线坐标系，求得平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示求得，从而求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1），为中点，，
又在中，，，，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）如图，在中，过点作的垂线交于点，
由（1）知，，，故以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，故，
所以，
故直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.
20．已知动圆M过定点，并且在定圆的内部与其内切，O为坐标原点．
(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；
(2)设过点P的直线l与E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)最大值为，或．
【分析】（1）由题设条件结合两圆内切列出两圆圆心距满足的式子，再结合椭圆的定义得到动圆圆心M的轨迹，进而可求出其轨迹方程.
（2）结合题目条件设出直线l的方程和A，B两点的坐标，再把直线方程与椭圆方程联立，得到和韦达定理，用求出三角形的面积，再运用基本不等式求出面积的最大值并得到此时直线l的方程.
【详解】（1）由题设条件知动圆的半径，定圆的圆心，半径，
由已知，，即，
又，，
由椭圆定义知，动圆圆心的轨迹是以两点为焦点的椭圆，
则.
故：所求轨迹的方程为．
（2）由题设条件知，直线的斜率不为0，故设的方程为：，，，
联立，消，得，
恒成立，
则，异号，
，
当且仅当，即时等号成立，
面积的最大值为，此时，直线的方程为，
即或．
故：面积的最大值为，直线的方程为或．
【点睛】方法点睛：
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
(3)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21．已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)求证：（其中是自然对数的底数）.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论与两种情况，利用导数研究的图像性质得到，再分别在与上证得各有一个零点，从而确定的取值范围；
（2）由的零点得到，再利用换元法对式子进行变形得到，构造函数，利用导数证得，从而证得.
【详解】（1）由得，的定义域为，，
当时，，则在上单调递减，显然至多只有一个零点，不满足题意；
当时，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
要使有两个零点，则，故，
下面证明当时，在与上各有一个零点，
因为，所以，
因为在上单调递减，，
所以在上存在唯一零点；
令，则，
再令，则，故在上单调递增，
所以，即，故在上单调递增，
所以，因为，
所以，即，则，故，
又由，即当时，，即，故，
又因为在上单调递增，
所以在上存在唯一零点；
综上：当时，有两个零点，故.
（2）由题意得，，即，即，
由（1）知，不妨设，且，
则，故，
所以，
先证，即证，即证，即证，
令，则，故在上单调递增，
故，即，即，
即，所以，
又，故.
故.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（，t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)已知直线l与x轴的交点为F，且曲线C与直线l交于A，B两点，求的值．
【答案】(1)，．
(2)8
【分析】（1）根据完全平方公式以及基本不等式，结合整体换元，利用极坐标等量公式，可得答案；
（2）利用直线的直角坐标系方程，求得点的坐标，根据直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理，可得答案.
【详解】（1）由曲线C的参数方程为，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
故曲线的直角坐标方程：，
由，且直线l的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程：.
（2）由直线方程为，则，
直线的参数方程为（为参数），代入曲线：，
可得，
所以，由直线参数方程的意义可知，
所以．
23．已知．
(1)当时，求的解集；
(2)若的解集包含，求a的取值范围．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）通过讨论的范围解不等式.
（2）结合的解集包含来化简不等式，进而解出不等式，再利用解集包含求出a的取值范围.
【详解】（1）当时，
当时，不等式为，解得，故；
当时，不等式为，解得，无解；
当时，不等式为，解得，故，
综上所述，不等式的解集为．
故答案为：.
(2)的解集包含，即在上成立，
即的解集包含， 即，解得，
由已知可得解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
天数
1
2
3
4
5
6
繁殖个数
6
12
25
49
95
190
3.50
62.83
3.53
17.50
596.57
12.09